2020年普通高考數(shù)學(xué)科一輪復(fù)習(xí)精品學(xué)案第6講 函數(shù)與方程一課標(biāo)要求：1結(jié)合二次函數(shù)的圖像，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù)，從而了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系；2根據(jù)具體函數(shù)的圖像，能夠借助計算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法。二命題走向函數(shù)與方程的理論是高中新課標(biāo)教材中新增的知識點，特別是“二分法”求方程的近似解也一定會是高考的考點。從近幾年高考的形勢來看，十分注重對三個“二次”（即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同時也研究了它的許多重要的結(jié)論，并付諸應(yīng)用。高考試題中有近一半的試題與這三個“二次”問題有關(guān)。預(yù)計2020年高考對本講的要求是：以二分法為重點、以二次函數(shù)為載體、以考察函數(shù)與方程的關(guān)系為目標(biāo)來考察學(xué)生的能力。（1）題型可為選擇、填空和解答；（2）高考試題中可能出現(xiàn)復(fù)合了函數(shù)性質(zhì)與函數(shù)零點的綜合題，同時考察函數(shù)方程的思想。三要點精講1方程的根與函數(shù)的零點（1）函數(shù)零點概念：對于函數(shù)，把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點。函數(shù)零點的意義：函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)。即：方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點。二次函數(shù)的零點：），方程有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點；），方程有兩相等實根（二重根），二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點；），方程無實根，二次函數(shù)的圖象與軸無交點，二次函數(shù)無零點。零點存在性定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點。既存在，使得，這個也就是方程的根。2.二分法二分法及步驟：對于在區(qū)間，上連續(xù)不斷，且滿足的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進(jìn)而得到零點近似值的方法叫做二分法給定精度，用二分法求函數(shù)的零點近似值的步驟如下：（1）確定區(qū)間，驗證，給定精度；（2）求區(qū)間，的中點；（3）計算：若=，則就是函數(shù)的零點；若，則令=（此時零點）；若0，f(x)在區(qū)間p，q上的最大值M，最小值m，令x0= (p+q)。若p，則f(p)=m，f(q)=M；若px0，則f()=m，f(q)=M；若x0q，則f(p)=M，f()=m；若q，則f(p)=M，f(q)=m。（3）二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的實根分布及條件。方程f(x)=0的兩根中一根比r大，另一根比r小af(r)0；二次方程f(x)=0的兩根都大于r 二次方程f(x)=0在區(qū)間(p，q)內(nèi)有兩根二次方程f(x)=0在區(qū)間(p，q)內(nèi)只有一根f(p)f(q)0，或f(p)=0(檢驗)或f(q)=0(檢驗)檢驗另一根若在(p，q)內(nèi)成立。四典例解析題型1：方程的根與函數(shù)零點例1（1）方程lgx+x=3的解所在區(qū)間為（ ）A(0，1) B(1，2) C(2，3) D(3，+)（2）設(shè)a為常數(shù)，試討論方程的實根的個數(shù)。解析：（1）在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=lgx與y=-x+3的圖象(如圖)。它們的交點橫坐標(biāo)，顯然在區(qū)間(1，3)內(nèi)，由此可排除A，D至于選B還是選C，由于畫圖精確性的限制，單憑直觀就比較困難了。實際上這是要比較與2的大小。當(dāng)x=2時，lgx=lg2，3-x=1。由于lg21，因此2，從而判定(2，3)，故本題應(yīng)選C。（2）原方程等價于即構(gòu)造函數(shù)和，作出它們的圖像，易知平行于x軸的直線與拋物線的交點情況可得：當(dāng)或時，原方程有一解；當(dāng)時，原方程有兩解；當(dāng)或時，原方程無解。點評：圖象法求函數(shù)零點，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。本題是通過構(gòu)造函數(shù)用數(shù)形結(jié)合法求方程lgx+x=3解所在的區(qū)間。數(shù)形結(jié)合，要在結(jié)合方面下功夫。不僅要通過圖象直觀估計，而且還要計算的鄰近兩個函數(shù)值，通過比較其大小進(jìn)行判斷。例2設(shè)函數(shù)在上滿足，且在閉區(qū)間0，7上，只有。（）試判斷函數(shù)的奇偶性；（）試求方程=0在閉區(qū)間2020，2020上的根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論。解析：由f(2x)=f(2+x),f(7x)=f(7+x)得函數(shù)的對稱軸為,從而知函數(shù)不是奇函數(shù),由,從而知函數(shù)的周期為又,故函數(shù)是非奇非偶函數(shù);(II)由(III) 又故f(x)在0,10和10,0上均有有兩個解,從而可知函數(shù)在0,2020上有402個解,在2020.0上有400個解,所以函數(shù)在2020,2020上有802個解。點評：解題過程注重了函數(shù)的數(shù)字特征“”，即函數(shù)的零點，也就是方程的根。題型2：零點存在性定理例3設(shè)函數(shù)，其中常數(shù)為整數(shù)。（1）當(dāng)為何值時，；（2）定理：若函數(shù)在上連續(xù)，且與異號，則至少存在一點，使得試用上述定理證明：當(dāng)整數(shù)時，方程在內(nèi)有兩個實根。解析：（1）函數(shù)f(x)=xln(x+m),x(m,+)連續(xù)，且當(dāng)x(m,1m)時,f （x）f(1m)當(dāng)x(1m, +)時,f （x）0,f(x)為增函數(shù),f(x)f(1m)根據(jù)函數(shù)極值判別方法，f(1m)=1m為極小值，而且對x(m, +)都有f(x)f(1m)=1m故當(dāng)整數(shù)m1時，f(x) 1m0(2)證明：由（I）知，當(dāng)整數(shù)m1時，f(1m)=1-m1時，類似地，當(dāng)整數(shù)m1時，函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),在 上為連續(xù)增函數(shù)且 f(1-m)與異號，由所給定理知，存在唯一的故當(dāng)m1時，方程f(x)=0在內(nèi)有兩個實根。點評：本題以信息給予的形式考察零點的存在性定理。解決該題的解題技巧主要在區(qū)間的放縮和不等式的應(yīng)用上。例4若函數(shù)在區(qū)間a,b上的圖象為連續(xù)不斷的一條曲線，則下列說法正確的是（ ）A若，不存在實數(shù)使得；B若，存在且只存在一個實數(shù)使得；C若，有可能存在實數(shù)使得； D若，有可能不存在實數(shù)使得；解析：由零點存在性定理可知選項D不正確；對于選項B，可通過反例“在區(qū)間上滿足，但其存在三個解”推翻；同時選項A可通過反例“在區(qū)間上滿足，但其存在兩個解”；選項D正確，見實例“在區(qū)間上滿足，但其不存在實數(shù)解”。點評：該問題詳細(xì)介紹了零點存在性定理的理論基礎(chǔ)。題型3：二分法的概念例5關(guān)于“二分法”求方程的近似解，說法正確的是（ ）A“二分法”求方程的近似解一定可將在a,b內(nèi)的所有零點得到；B“二分法”求方程的近似解有可能得不到在a,b內(nèi)的零點；C應(yīng)用“二分法”求方程的近似解，在a,b內(nèi)有可能無零點；D“二分法”求方程的近似解可能得到在a,b內(nèi)的精確解；解析：如果函數(shù)在某區(qū)間滿足二分法題設(shè)，且在區(qū)間內(nèi)存在兩個及以上的實根，二分法只可能求出其中的一個，只要限定了近似解的范圍就可以得到函數(shù)的近似解，二分法的實施滿足零點存在性定理，在區(qū)間內(nèi)一定存在零點，甚至有可能得到函數(shù)的精確零點。點評：該題深入解析了二分法的思想方法。例6方程在0，1內(nèi)的近似解，用“二分法”計算到達(dá)到精確度要求。那么所取誤差限是（ ）A0.05 B0.005 C0.0005 D0.00005解析：由四舍五入的原則知道，當(dāng)時，精度達(dá)到。此時差限是0.0005，選項為C。點評：該題考察了差限的定義，以及它對精度的影響。題型4：應(yīng)用“二分法”求函數(shù)的零點和方程的近似解例7借助計算器，用二分法求出在區(qū)間（1，2）內(nèi)的近似解（精確到0.1）。解析：原方程即。令，用計算器做出如下對應(yīng)值表x21012f(x)2.58203.0530279181.07944.6974觀察上表，可知零點在（1，2）內(nèi)取區(qū)間中點=1.5，且，從而，可知零點在（1，1.5）內(nèi)；再取區(qū)間中點=1.25，且，從而，可知零點在（1.25，1.5）內(nèi)；同理取區(qū)間中點=1.375，且，從而，可知零點在（1.25，1.375）內(nèi)；由于區(qū)間（1.25，1.375）內(nèi)任一值精確到0.1后都是1.3。故結(jié)果是1.3。點評：該題系統(tǒng)的講解了二分法求方程近似解的過程，通過本題學(xué)會借助精度終止二分法的過程。例8借助計算器或計算機(jī)用二分法求方程的近似解（精確到）。分析：本例除借助計算器或計算機(jī)確定方程解所在的大致區(qū)間和解的個數(shù)外，你是否還可以想到有什么方法確定方程的根的個數(shù)？略解：圖象在閉區(qū)間，上連續(xù)的單調(diào)函數(shù)，在，上至多有一個零點。點評：第一步確定零點所在的大致區(qū)間，可利用函數(shù)性質(zhì)，也可借助計算機(jī)或計算器，但盡量取端點為整數(shù)的區(qū)間，盡量縮短區(qū)間長度，通常可確定一個長度為1的區(qū)間；建議列表樣式如下：零點所在區(qū)間中點函數(shù)值區(qū)間長度1，2011，1.500.51.25，1.500.25如此列表的優(yōu)勢：計算步數(shù)明確，區(qū)間長度小于精度時，即為計算的最后一步。題型5：一元二次方程的根與一元二次函數(shù)的零點例9設(shè)二次函數(shù)，方程的兩個根滿足. 當(dāng)時，證明。證明：由題意可知，, , 當(dāng)時，。又, ,綜上可知，所給問題獲證。點評：在已知方程兩根的情況下，根據(jù)函數(shù)與方程根的關(guān)系，可以寫出函數(shù)的表達(dá)式，從而得到函數(shù)的表達(dá)式。例10已知二次函數(shù)，設(shè)方程的兩個實數(shù)根為和. （1）如果，設(shè)函數(shù)的對稱軸為，求證：；（2）如果，求的取值范圍.解析：設(shè)，則的二根為和。（1）由及，可得 ，即，即兩式相加得，所以，；（2）由, 可得 。又，所以同號。 ，等價于或,即 或解之得 或。點評：條件實際上給出了的兩個實數(shù)根所在的區(qū)間，因此可以考慮利用上述圖像特征去等價轉(zhuǎn)化。題型6：一元二次函數(shù)與一元二次不等式例11設(shè)，若，, 試證明：對于任意，有。解析： , , . 當(dāng)時，當(dāng)時，綜上，問題獲證。點評：本題中，所給條件并不足以確定參數(shù)的值，但應(yīng)該注意到：所要求的結(jié)論不是確定值，而是與條件相對應(yīng)的“取值范圍”，因此，我們可以用來表示。例12已知二次函數(shù)，當(dāng)時，有，求證：當(dāng)時，有解析：由題意知：， ， 。由時，有，可得 。 ,。（1）若，則在上單調(diào)，故當(dāng)時， 此時問題獲證. （2）若，則當(dāng)時，又， 此時問題獲證。綜上可知：當(dāng)時，有。點評：研究的性質(zhì)，最好能夠得出其解析式，從這個意義上說，應(yīng)該盡量用已知條件來表達(dá)參數(shù). 確定三個參數(shù)，只需三個獨(dú)立條件，本題可以考慮，這樣做的好處有兩個：一是的表達(dá)較為簡潔，二是由于正好是所給條件的區(qū)間端點和中點，這樣做能夠較好地利用條件來達(dá)到控制二次函數(shù)范圍的目的。要考慮在區(qū)間上函數(shù)值的取值范圍，只需考慮其最大值，也即考慮在區(qū)間端點和頂點處的函數(shù)值。題型7：二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)例13在下列圖象中，二次函數(shù)y=ax2+bx與指數(shù)函數(shù)y=（）x的圖象只可能是（ ）解析一：由指數(shù)函數(shù)圖象可以看出01.拋物線方程是y=a（x+）2，其頂點坐標(biāo)為（，），又由01，可得0.觀察選擇支，可選A。解析二：求y=ax2+bx與x軸的交點，令ax2+bx=0，解得x=0或x=，而10.故選A。點評：本題雖小，但一定要細(xì)致觀察圖象，注意細(xì)微之處，獲得解題靈感。例14設(shè)aR，函數(shù)f(x)=x2+|xa|+1,xR. （1）討論f(x)的奇偶性（2）求f(x)的最小值.解：（1）顯然a=0時，f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)a0時，f(a)=a2+1, f(a)=a2+2|a|+1f(a)f(a), f(a)+f(a)0 此時f(x)為非奇非偶函數(shù).（2）首先應(yīng)先去掉絕對值，再進(jìn)行討論.當(dāng)xa時，.若,則f(x)在區(qū)間（-，a上單調(diào)遞減， f(x)的最小值為f(a)=a2+1.(如圖(I)若，則f(x)在區(qū)間（-，a上的最小值為（如圖II).當(dāng)xa時，若，則f(x)在a,+上的最小值為（如圖III）。若，則f(x)在a,+上單調(diào)遞增。則f(x)在a,+上的最小值為f(a)=a2+1.(如圖IV)。綜上，當(dāng)時，f(x)最小值為。當(dāng)時，f(x)最小值為a2+1。當(dāng)時，f(x)最小值為。點評：該題考察到函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考察了分類討論的思想。題型8：二次函數(shù)的綜合問題例15已知函數(shù)和的圖象關(guān)于原點對稱，且。()求函數(shù)的解析式； ()解不等式； ()若在上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍。解析：()設(shè)函數(shù)的圖象上任意一點關(guān)于原點的對稱點為，則點在函數(shù)的圖象上()由當(dāng)時，此時不等式無解。當(dāng)時，解得。因此，原不等式的解集為。（）點評：本題主要考查函數(shù)圖象的對稱、二次函數(shù)的基本性質(zhì)與不等式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析和解決問題的能力。例16已知函數(shù)。（1）將的圖象向右平移兩個單位，得到函數(shù)，求函數(shù)的解析式；（2）函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，求函數(shù)的解析式；（3）設(shè)，已知的最小值是且，求實數(shù)的取值范圍。解析：(1)(2)設(shè)的圖像上一點，點關(guān)于的對稱點為，由點Q在的圖像上，所以 ，于是 即 （3）。設(shè)，則。問題轉(zhuǎn)化為：對恒成立. 即 對恒成立. （*）故必有.（否則，若，則關(guān)于的二次函數(shù)開口向下，當(dāng)充分大時，必有；而當(dāng)時，顯然不能保證（*）成立.），此時，由于二次函數(shù)的對稱軸，所以，問題等價于，即，解之得：。此時，故在取得最小值滿足條件。點評：緊扣二次函數(shù)的頂點式對稱軸、最值、判別式顯合力。五思維總結(jié)1函數(shù)零點的求法：（代數(shù)法）求方程的實數(shù)根；（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點。2學(xué)習(xí)二次函數(shù)，可以從兩個方面入手：一是解析式，二是圖像特征. 從解析式出發(fā)，可以進(jìn)行純粹的代數(shù)推理，這種代數(shù)推理、論證的能力反映出一個人的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)；從圖像特征出發(fā)，可以實現(xiàn)數(shù)與形的自然結(jié)合，這正是中學(xué)數(shù)學(xué)中一種非常重要的思想方法. 本文將從這兩個方面研究