2020學(xué)年下學(xué)期高三年級第八次模擬考試數(shù)學(xué)（文）學(xué)科試卷第卷（選擇題60分）一、選擇題（本大題包括12個小題，每小題5分，共60分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項填涂在答題卡上）1. 已知集合，則集合中元素的個數(shù)為A. B. C. D. 【答案】D【解析】由集合C的定義可得： ，集合C中元素的個數(shù)為5個.本題選擇D選項.2. 已知復(fù)數(shù)的實部和虛部相等，則A. B. C. D. 【答案】D【解析】令,解得故3. 已知是上的奇函數(shù)，則“”是“”的A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，所以，又是上的奇函數(shù)，則，得，所以原命題成立，若，則當(dāng)時，仍成立而不成立，所以逆命題不成立，故選A4. 如圖一銅錢的直徑為毫米，穿徑（即銅錢內(nèi)的正方形小孔邊長）為毫米，現(xiàn)向該銅錢內(nèi)隨機地投入一粒米（米的大小忽略不計），則該粒米未落在銅錢的正方形小孔內(nèi)的概率為A. B. C. D. 【答案】B【解析】由題意結(jié)合幾何概型公式可得：該粒米未落在銅錢的正方形小孔內(nèi)的概率為: .本題選擇B選項.點睛：數(shù)形結(jié)合為幾何概型問題的解決提供了簡捷直觀的解法用圖解題的關(guān)鍵：用圖形準(zhǔn)確表示出試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域，由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為事件A滿足的不等式，在圖形中畫出事件A發(fā)生的區(qū)域，通用公式：P(A).5. 設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若是方程的兩根，那么A. B. C. D. 【答案】B本題選擇B選項.6. 若向量與不共線，且，則向量與的夾角為A. B. C. D. 【答案】D【解析】由題意可得： ，故： ，即向量 與 的夾角為 .本題選擇D選項.7. 算法統(tǒng)宗是中國古代數(shù)學(xué)名著，由明代數(shù)學(xué)家程大位所著，該著作完善了珠算口訣，確立了算盤用法，完成了由籌算到珠算的徹底轉(zhuǎn)變，對我國民間普及珠算和數(shù)學(xué)知識起到了很大的作用如圖所示的程序框圖的算法思路源于該著作中的“李白沽酒”問題，執(zhí)行該程序框圖，若輸出的的值為，則輸入的的值為A. B. C. D. 【答案】C【解析】閱讀流程圖，程序運行如下：首先初始化： ，進入循環(huán)結(jié)構(gòu)：第一次循環(huán)： ，此時滿足 ，執(zhí)行 ;第二次循環(huán)： ，此時滿足 ，執(zhí)行 ;第三次循環(huán)： ，此時滿足 ，執(zhí)行 ;第四次循環(huán)： ，此時不滿足 ，跳出循環(huán)，輸出結(jié)果為： ，由題意可得： .本題選擇C選項.8. 已知函數(shù)，若，則A. B. C. D. 【答案】A【解析】f(x)的定義域是(0,+)， ，故f(x)在(0,+)遞減，而 ， ，即cba，故選：A.9. 公差不為零的等差數(shù)列的首項為，且依次構(gòu)成等比數(shù)列，則對一切正整數(shù)，的值可能為A. B. C. D. 【答案】C【解析】設(shè)公差為d,a2,a5,a14構(gòu)成等比數(shù)列，a25=a2a14，即(1+4d)2=(1+d)(1+13d)，化簡得d22d=0，公差不為0，公差d=2.數(shù)列an的通項公式為an=a1+(n1)d=1+(n1)2=2n1， 據(jù)此可排除AB選項；方程 沒有正整數(shù)解，當(dāng) 時， .本題選擇C選項.點睛:使用裂項法求和時，要注意正負(fù)項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的10. 0已知實數(shù)滿足不等式組若直線把不等式組表示的平面區(qū)域分成上、下兩部分的面積比為，則A. B. C. D. 【答案】A【解析】作出不等式組對應(yīng)平面區(qū)如圖(三角形ABC部分),A(0,1),B(1,1)，直線y=k(x+1)過定點C(1,0)，C點在平面區(qū)域ABC內(nèi)，點A到直線y=k(x+1)的距離，點B到直線y=k(x+1)的距離，直線y=k(x+1)把不等式組表示的平面區(qū)域分成上、下兩部分的面積比為1:2，解得 .本題選擇A選項.點睛：簡單的線性規(guī)劃有很強的實用性，線性規(guī)劃問題常有以下幾種類型：（1）平面區(qū)域的確定問題；（2）區(qū)域面積問題；（3）最值問題；（4）逆向求參數(shù)問題而逆向求參數(shù)問題，是線性規(guī)劃中的難點，其主要是依據(jù)目標(biāo)函數(shù)的最值或可行域的情況決定參數(shù)取值若目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)，則一般會知道最值，此時要結(jié)合可行域，確定目標(biāo)函數(shù)取得最值時所經(jīng)過的可行域內(nèi)的點（即最優(yōu)解），將點的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求得參數(shù)的值11. 四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的外接球的表面積為A. B. C. D. 【答案】C【解析】如圖所示,四棱錐PABCD.設(shè)OF=x,則，解得.該四棱錐的外接球的表面積為： .本題選擇C選項.12. 已知離心率為的雙曲線的右焦點為，若線段的垂直平分線與雙曲線一條漸近線的交點到另一條漸近線的距離為（為半焦距，），則實數(shù)的值是A. B. C. D. 【答案】A【解析】由題意，得，不妨設(shè)線段的垂直平分線與漸近線的交點為因此它到另一條漸近線，即的距離為.又由與可得，所以.本題選擇A選項.第卷（非選擇題，共90分） 本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22題、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.二、填空題（本大題包括4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在答題卡中的橫線上）13. 橢圓的短軸長為，則_【答案】2【解析】試題分析：由題意得考點：橢圓方程幾何性質(zhì)14. 已知，則_【答案】【解析】由題意可得： ，結(jié)合角的范圍和同角三角函數(shù)基本關(guān)系有： ，由誘導(dǎo)公式： .15. 已知、是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，有下列個命題：若，且，則；若，且，則；若，且，則；若，且，則其中真命題的序號是_（填上你認(rèn)為正確的所有命題的序號）【答案】【解析】試題分析：對于，根據(jù)線面垂直的判定可知，只有當(dāng)直線與平面的兩交線垂直時才有，故錯；對于，根據(jù)若一條直線垂直于兩平行平面中的一個，一定垂直與另一個，即若，且，則，故正確；對于，若，且，則或，故錯；對于，若，且，則或，故錯綜上所述只有為真命題，故填考點：空間直線與平面間的位置關(guān)系16. 已知圓，若直線上至少存在一點，使得以該點為圓心，為半徑的圓與圓有公共點，則實數(shù)的取值范圍為_【答案】【解析】解析：因圓的圓心坐標(biāo)為，由題設(shè)可知圓心到直線的距離，解之得，則實數(shù)的取值范圍是，應(yīng)填答案。三、解答題（本大題包括6個小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17. 已知的內(nèi)角的對邊分別為（）若，求；（）若，求【答案】（）；（）【解析】試題分析：（1）正弦定理，將 整理成關(guān)于的一元二次方程，可得的值，即得的值，由三角形內(nèi)角和可得角 的大??；（2）由余弦定理及可解得 的值，代入面積公式求解即可。試題解析：（1）由已知，結(jié)合正弦定理得：，于是或（舍）因為，所以，（2）由題意及余弦定理可知，由（1）得即，聯(lián)立解得，所以，.點睛：解三角形的三種方法(1)已知兩角和一邊(如 )，由求，由正弦定理求。(2)已知兩邊和夾角(如)，應(yīng)用余弦定理求邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用，求另一角。(3)已知兩邊和其中一邊的對角(如)，應(yīng)用正弦定理求 ，由求 ，再由正弦定理或余弦定理求邊，要注意解可能有多種情況。18. 為了響應(yīng)教育部頒布的關(guān)于推進中小學(xué)生研學(xué)旅行的意見，某校計劃開設(shè)八門研學(xué)旅行課程，并對全校學(xué)生的選課意向進行調(diào)查(調(diào)查要求全員參與，每個學(xué)生必須從八門課程中選出唯一一門課程).本次調(diào)查結(jié)果如下.圖中，課程為人文類課程，課程為自然科學(xué)類課程.為進一步研究學(xué)生選課意向，結(jié)合上面圖表，采取分層抽樣方法從全校抽取1%的學(xué)生作為研究樣本組（以下簡稱“組”）.（）在“組”中，選擇人文類課程和自然科學(xué)類課程的人數(shù)各有多少？（）某地舉辦自然科學(xué)營活動，學(xué)校要求：參加活動的學(xué)生只能是“組”中選擇課程或課程的同學(xué)，并且這些同學(xué)以自愿報名繳費的方式參加活動. 選擇課程的學(xué)生中有人參加科學(xué)營活動，每人需繳納元，選擇課程的學(xué)生中有人參加該活動，每人需繳納元.記選擇課程和課程的學(xué)生自愿報名人數(shù)的情況為，參加活動的學(xué)生繳納費用總和為元.當(dāng)時，寫出的所有可能取值；若選擇課程的同學(xué)都參加科學(xué)營活動，求元的概率.【答案】（）人文12人，自然科學(xué)類8人；（）；【解析】【試題分析】（）借助題設(shè)條件運用題設(shè)中提供頻率分布直方圖進行求解；（）依據(jù)題設(shè)借助列舉法將所有可能都列舉出來，運用古典概型的計算公式進行分析求解： ()選擇人文類課程的人數(shù)為(100+200+400+200+300)1%=12(人)；選擇自然科學(xué)類課程的人數(shù)為(300+200+300)1%=8(人).()()當(dāng)繳納費用S=4000時，只有兩種取值情況：;()設(shè)事件若選擇G課程的同學(xué)都參加科學(xué)營活動，繳納費用總和S超過4500元.在“組M”中，選擇F課程和G課程的人數(shù)分別為3人和2人.由于選擇G課程的兩名同學(xué)都參加，下面考慮選擇F課程的3位同學(xué)參加活動的情況.設(shè)每名同學(xué)報名參加活動用a表示，不參加活動用b表示，則3名同學(xué)報名參加活動的情況共有以下8種情況：aaa，aab，aba，baa，bba，bab，abb，bbb.當(dāng)繳納費用總和S超過4500元時，選擇F課程的同學(xué)至少要有2名同學(xué)參加，有如下4種：aaa，aab，aba，baa.所以，.19. 如圖所示，在三棱錐P ABC中，PA底面ABC，BCA90，APAC，點D，E分別在棱PB，PC上，且BC平面ADE.（）求證：DE平面PAC；（）若PCAD，且三棱錐PABC的體積為8，求多面體ABCED的體積【答案】（）（）【解析】試題分析：（）欲證DE平面PAC，觀察本題的條件，BC平面PAC易證，而BC|平面ADE結(jié)合DE=平面PBC平面ADE，可證得BC|ED，由此證法思路已明由（），結(jié)合PCAD，可證得AE面PBC，即得，再由，AP=AC可得出E是中點，ED是PBC的中位線.所以,根據(jù)，可得體積.試題解析：（）BC|平面ADE, BC平面PBC, 平面PBC平面ADE=DEBC|ED 2分PA底面ABC，BC底面ABC PABC. 3分又，ACBC.PAAC=A, BC平面PAC. 6分DE平面. 7分（）由（）知， DE平面PAC，PC平面PAC，DEPC， 8分又PCAD，ADDE=D， PC平面ADE， AEPC， 9分AP=AC, E是PC的中點，ED是PBC的中位線. 10分12分13分14分考點：直線與平面垂直的判定；柱錐臺體的體積20. 在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點是原點，以軸為對稱軸，且經(jīng)過點（）求拋物線的方程；（）設(shè)點在拋物線上，直線分別與軸交于點，.求直線的斜率.【答案】（）；（）1【解析】試題分析：(1)由題意求得,則拋物線的方程為；(2)由題意設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與拋物線的方程整理可得斜率為-1.試題解析：（）依題意，設(shè)拋物線的方程為由拋物線且經(jīng)過點，得， 所以拋物線的方程為 （）因為，所以，所以 ， 所以 直線與的傾斜角互補，所以 依題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，將其代入拋物線的方程，整理得設(shè)，則 ，所以以替換點坐標(biāo)中的，得所以 所以直線的斜率為點睛：(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式21. 設(shè)函數(shù).（）討論函數(shù)的單調(diào)性；（）如果對任意，都有，求實數(shù)的取值范圍【答案】（），時，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.（）【解析】試題分析：(1)結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的解析式討論可得，時，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.(2)構(gòu)造新函數(shù)令，結(jié)合的性質(zhì)可得實數(shù)的取值范圍是試題解析：（）.當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，有，此時當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增.綜上所述，時，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增. （）令，即.令，則，則在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，故.當(dāng)時，故當(dāng)在區(qū)間內(nèi)恒成立時，必有.當(dāng)時，由（）知函數(shù)在上單調(diào)遞減，即時，不符合題意，舍去.當(dāng)時，令，則，所以在時單調(diào)遞增，所以恒成立，即恒成立，滿足題意.綜上，. 請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分22. 選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程以坐標(biāo)原點為極點軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為.（）求曲線的參數(shù)方程；（）若曲線與軸的正半軸及軸的正半軸分別交于點在曲線上任取一點且點在第一象限，求四邊形面積的取值范圍.【答案】（）曲線C的參數(shù)方程為；（）【解析】試題分析：(1)結(jié)合曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；(2)利用題意得到關(guān)于四邊形OAPB面