人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)(上),11.3.1角平分線的性質(zhì)（1）,北京市劍橋中學(xué)制作：田放,自學(xué)提綱,1.角平分儀為什么能平分一個(gè)角？P19,2.如何畫(huà)一個(gè)角的平分線？P19,4.角的平分線的性質(zhì)是什么？如何證明？用幾何符號(hào)如何表示？P20,6.課本中利用角平分線的性質(zhì)解決了一個(gè)什么實(shí)際問(wèn)題？P21,3.如何通過(guò)作一個(gè)平角的平分線得到直線的垂線？P19練習(xí),5.證明一個(gè)幾何命題的步驟是什么？P21,不利用工具，請(qǐng)你將一張用紙片做的角分成兩個(gè)相等的角。你有什么辦法？,再打開(kāi)紙片，看看折痕與這個(gè)角有何關(guān)系？,（對(duì)折）,情境問(wèn)題,1、如圖，是一個(gè)角平分儀，其中AB=AD,BC=DC。將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn),AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫(huà)一條射線AE,AE就是角平分線，你能說(shuō)明它的道理嗎?,情境問(wèn)題,A,D,B,C,E,如果前面活動(dòng)中的紙片換成木板、鋼板等沒(méi)法折的角，又該怎么辦呢？,2、證明：在ACD和ACB中AD=AB（已知）DC=BC（已知）CA=CA（公共邊）ACDACB（SSS）CAD=CAB（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）AC平分DAB（角平分線的定義）,根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣作一個(gè)角的平分線？（不用角平分儀或量角器）,O,探究新知,N,O,M,C,E,已知：(如圖)求作：的角平分線OC.,1、以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交OA于M，交OB于N。,2、分別以M、N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在AOB內(nèi)部交于點(diǎn)C。,3、作射線OC，射線OC即為所求。,作法：,證明:連結(jié)MC,NC由作法知:,1平分平角AOB2通過(guò)上面的步驟，得到射線OC以后，把它反向延長(zhǎng)得到直線CD，直線CD與直線AB是什么關(guān)系？3結(jié)論：作平角的平分線即可平分平角，由此也得到過(guò)直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線的方法。,實(shí)踐應(yīng)用(1),探究角平分線的性質(zhì),(1)實(shí)驗(yàn)：將AOB對(duì)折，再折出一個(gè)直角三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開(kāi)，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結(jié)論？,(2)猜想:角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.,證明：OC平分AOB（已知）1=2（角平分線的定義）PDOA，PEOB（已知）PDO=PEO（垂直的定義）在PDO和PEO中PDO=PEO（已證）1=2（已證）OP=OP（公共邊）PDOPEO（AAS）PD=PE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）,已知：如圖，OC平分AOB，點(diǎn)P在OC上，PDOA于點(diǎn)D，PEOB于點(diǎn)E求證:PD=PE,探究角平分線的性質(zhì),(3)驗(yàn)證猜想,角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。,(4)得到角平分線的性質(zhì)：,利用此性質(zhì)怎樣書(shū)寫(xiě)推理過(guò)程?(幾何符號(hào)語(yǔ)言）,角平分線的性質(zhì),定理：在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等,用符號(hào)語(yǔ)言表示為：,1=2,PDOA，PEOBPD=PE.,題設(shè)：一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線上,結(jié)論：它到角的兩邊的距離相等,思考：要在區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使它到公路，鐵路距離相等且離公路，鐵路的交叉處米，應(yīng)建在何處？（比例尺1：20000）,s,公路,鐵路,解：作夾角的角平分線OC，截取OD=2.5cm,D即為所求。,D,C,s,公路,鐵路,如圖：在ABC中，C=90AD是BAC的平分線，DEAB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF；求證：CF=EB,實(shí)踐應(yīng)用(2),分析:要證CF=EB,首先我們想到的是要證它們所在的兩個(gè)三角形全等,即RtCDFRtEDB.,現(xiàn)已有一個(gè)條件BD=DF(斜邊相等),還需要我們找什么條件,DC=DE(因?yàn)榻堑钠椒志€的性質(zhì))再用HL證明.,試試自己寫(xiě)證明。你一定行！,證明:AD平分C,D是AD上一點(diǎn)（已知）,如圖：在ABC中，C=90AD是BAC的平分線，DEAB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF；求證：CF=EB,DEAB,DCAC（已知）,在RTCDF和RTBDE中BD=DF（已知）DC=DE（已證）,RTCDFRTFDB(HL),CFB（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）,DCD(角平分線的性質(zhì)）,1.如圖，OC是AOB的平分線，PD=PE,PDOA，PEOB,2.如圖,在ABC中，ACBC，AD為BAC的平分線，DEAB，AB7，AC3，求BE=CM.,E,D,C,B,A,4,3.在RtABC中，BD平分ABC，DEAB于E，則：圖中相等的線段有;相等的角有：。哪條線段與DE相等？為什么？若AB10，BC8，AC6，求BE，AE的長(zhǎng)和AED的周長(zhǎng)。,BE=BC,DE=DC,ABD=CBD,BED=AED=C,6,8,10,回味無(wú)窮,2.定理角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等.OC是AOB的平分線,P是OC上任意一點(diǎn)PDOA,PEOB,垂足分別是D,E(已知)PD=PE(角平分線上的點(diǎn)到