思考：如何求球的體積？,排液法：,H,球的體積與表面積,假設(shè)將圓n等分，則,A2,A1,An,O,A3,回顧：圓面積公式的推導(dǎo),延伸閱讀：割圓術(shù),早在公元三世紀(jì)，我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽為推導(dǎo)圓的面積公式而發(fā)明了“倍邊法割圓術(shù)”。他用加倍的方式不斷增加圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，使其面積與圓的面積之差更小，即所謂“割之彌細(xì)，所失彌小”。這樣重復(fù)下去，就達(dá)到了“割之又割，以至于不可再割，則與圓合體而無(wú)所失矣”。這是世界上最早的“極限”思想。,思考：能否也采取“分割”與“極限”思想，推導(dǎo)球的體積公式？,把半球分割成n個(gè)薄片,當(dāng)分割的層數(shù)不斷增加，每一層就越接近一個(gè)圓柱體。,O,R,當(dāng)n時(shí)，每個(gè)薄片近似于圓柱,設(shè)球的半徑為R，它的體積只與半徑R有關(guān)。將半球分割成n層，每一層都近似于圓柱形狀的“小圓片”。這些“小圓片”的體積之和就是球的體積。選第i層（由下而上），如右圖。厚度：下底面半徑：體積：,球的體積公式,用“祖暅原理”得到球體積公式,高等于底面半徑的旋轉(zhuǎn)體體積對(duì)比,球的表面積公式推導(dǎo),球面不能展開(kāi)成平面圖形，所以求球的表面積無(wú)法用展開(kāi)圖求出，如何求球的表面積公式呢?從球的體積公式的推導(dǎo)方法,得到啟發(fā)，可以借助極限思想方法來(lái)推導(dǎo)球的表面積公式。,則球的體積為：,球的表面積公式推導(dǎo),基本計(jì)算問(wèn)題,1.如圖,圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑,求證:(1)球的表面積等于圓柱的側(cè)面積.(2)球的表面積等于圓柱全面積的三分之二.,2.(1)把球的半徑擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，則體積擴(kuò)大為原來(lái)的_倍.(2)把球隊(duì)表面積擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，那么體積擴(kuò)大為原來(lái)的_倍.(3)三個(gè)球的表面積之比為1:2:3，則它們的體積之比為_(kāi).(4)三個(gè)球的體積之比為1:8:27，則它們的表面積之比為_(kāi).,用一個(gè)平面去截一個(gè)球O，截面是圓面,O,球的截面的性質(zhì)：球心和截面圓心的連線垂直于截面球心到截面的距離為d，球的半徑為R，則,截面問(wèn)題,截面問(wèn)題,1.一球的球面面積為256cm2，過(guò)此球的一條半徑的中點(diǎn)，作垂直于這條半徑的截面，求截面圓的面積.變式：在球內(nèi)有相距9cm的兩個(gè)平行截面，截面面積分別為49cm2和400cm2，求球的表面積.,兩種情況,2.過(guò)球面上三點(diǎn)A、B、C的截面和球心O的距離等于球的半徑的一半，且ABBCCA3，求球的體積.變式：在半徑為13cm的球面上有A、B、C三點(diǎn)，AB6cm，BC8cm，CA10cm，求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的截面與球心O之間的距離.,要點(diǎn)：準(zhǔn)確畫圖，利用基本三角形,“接”與“切”：,兩個(gè)幾何體相（內(nèi)）切:一個(gè)幾何體的各個(gè)面與另一個(gè)幾何體的各面相切兩個(gè)幾何體相接:一個(gè)幾何體的所有頂點(diǎn)都在另一個(gè)幾何體的表面上解決“接切”問(wèn)題的關(guān)鍵是畫出正確的截面，把空間“接切”轉(zhuǎn)化為平面“接切”問(wèn)題,球與正方體的“接切”問(wèn)題,典型：有三個(gè)球,一球切于正方體的各面,一球切于正方體的各側(cè)棱,一球過(guò)正方體的各頂點(diǎn),求這三個(gè)球的體積之比.,畫出正確的截面：(1)中截面；(2)對(duì)角面找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系,球與正方體的“接切”問(wèn)題,四面體與球的“接切”問(wèn)題,典型：正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，求其內(nèi)切球半徑r與外接球半徑R.思考：若正四面體變成正三棱錐，方法是否有變化？,1、內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等2、正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合3、正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不重合4、基本方法：構(gòu)造三角形利用相似比和勾股定理5、體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法,四面體與球的“接切”問(wèn)題,此頁(yè)不講，留給以后專題課,球與旋轉(zhuǎn)體的“接切”問(wèn)題,1.半圓O的直徑為直角梯形垂直于底的腰，且切AB、BC、CD于A、E、D點(diǎn)，將其繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)球與一個(gè)圓臺(tái)，若球的表面積與圓臺(tái)側(cè)面積的比為3:4，求球的體積與圓臺(tái)體積之比.2.一個(gè)倒立的圓錐形容器，它的軸截面是正三角形，在此容器內(nèi)注入水并且放入一個(gè)半徑為r的鐵球，這時(shí)水面恰好和球面相切，問(wèn)將球從圓錐內(nèi)取出后，圓錐內(nèi)水平面的高是多少？,軸截面,球堆問(wèn)題,1.把半徑為R的四個(gè)球壘成兩層放在桌面，下層放三個(gè)，上層放一個(gè)，兩兩相切，求上層小球最高點(diǎn)離桌面的距離.2.四個(gè)半徑為R的大球上層一個(gè)，下層三個(gè)兩兩相切疊放在一起，在它們圍成的空隙內(nèi)有一個(gè)小球與這四個(gè)大球都外切，另有一個(gè)更大的球與這四個(gè)大球都內(nèi)切，求小球的半徑r和更大球的半徑R.,化歸為以各球球心為頂點(diǎn)的多面體問(wèn)題,此頁(yè)2不講，留給以后專題課,平行于底面的截面與底面相似，且,S,S1,當(dāng)平行于底面的截面過(guò)棱錐高的中點(diǎn)時(shí)，這個(gè)截面常被稱為中截面，思考：,錐體截面性質(zhì),錐體截面問(wèn)題,1.用平行于圓錐底面的