2020年福建省高考模擬試題（1）數(shù)學(xué)（理科）試卷 （考試時(shí)間：120分鐘；滿分：150分）第卷（選擇題 共60分）考試說明：本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分。共21道題。滿分值：150分，考試時(shí)間：120分鐘。考生只交第卷答題卡和第卷.第卷（選擇題 共50分）一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1設(shè)，集合，則下列結(jié)論正 確的是（ ）A B C D 2已知向量，則（ ） A B. C. D. ABCDA1B1C1D1HGKLE3如圖：正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H、K、L分別為AB、BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA的中點(diǎn)，則六邊形EFGHKL在正方體面上的射影可能是（ ）HBCD4已知是虛數(shù)單位，使為實(shí)數(shù)的最小正整數(shù)為（ ）A B C D5已知?jiǎng)t等于（ ）A B C D6下列說法中,不正確的是（ ）A“”是“”的必要不充分條件；B命題，則，；C命題“若都是偶數(shù)，則是偶數(shù)”的否命題是“若不是偶數(shù)，則不是偶數(shù)”；D命題所有有理數(shù)都是實(shí)數(shù),正數(shù)的對(duì)數(shù)都是負(fù)數(shù)，則為真命題.7已知實(shí)數(shù)滿足,給出下列關(guān)系式 其中可能成立的有（ ）A個(gè) B個(gè) C個(gè) D個(gè)否開始是結(jié) 束輸出na=3151，b=1.105,n=2008a 8000n=n+18福建泉州市2020年的生產(chǎn)總值約為3151億元人民幣，如果從此泉州市生產(chǎn)總值的年增長(zhǎng)率為10.5%，求泉州市最早哪一年的生產(chǎn)總值超過8000億元人民幣？某同學(xué)為解答這個(gè)問題設(shè)計(jì)了一個(gè)程序框圖，但不慎將此框圖的一個(gè)處理框中的內(nèi)容污染而看不到了，則此框圖中因被污染而看不到的內(nèi)容應(yīng)是 （ ）A BC D9設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽+，若對(duì)于給定的正數(shù)，定義函數(shù) 則當(dāng)函數(shù),時(shí)，的值為（ ） A B CD10若在直線上存在不同的三個(gè)點(diǎn)，使得關(guān)于實(shí)數(shù)的方程有解（點(diǎn)不在上），則此方程的解集為（ ）(A) (B) (C) (D) 第卷（非選擇題 共100分）二、填空題:本大共5小題,每小題4分，滿分20分.11. 某體育賽事志愿者組織有1000名志愿者，其中參加過2020年北京奧運(yùn)會(huì)志愿服務(wù)的有250名，新招募的2020年廣州亞運(yùn)會(huì)志愿者750名.現(xiàn)用分層抽樣的方法從中選出100名志愿者調(diào)查他們的服務(wù)能力，則選出新招募的廣州亞運(yùn)會(huì)志愿者的人數(shù)是 12. 如圖，在矩形中，為中點(diǎn)，拋物線的一部分在矩形內(nèi)，點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，在矩形內(nèi)隨機(jī)地放一點(diǎn)，則此點(diǎn)落在陰影部分的概率為 .13. 上海世博園中的世博軸是一條1000長(zhǎng)的直線型通道，中國(guó)館位于世博軸的一側(cè)（如下圖所示）. 現(xiàn)測(cè)得中國(guó)館到世博軸兩端的距離相等，并且從中國(guó)館看世博軸兩端的視角為. 據(jù)此數(shù)據(jù)計(jì)算，中國(guó)館到世博軸其中一端的距離是 .CB世博軸 A中國(guó)館12014. 若實(shí)數(shù)、滿足 且的最小值為，則實(shí)數(shù)的值為_.15若等差數(shù)列的首項(xiàng)為公差為，前項(xiàng)的和為，則數(shù)列為等差數(shù)列，且通項(xiàng)為類似地，若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，前項(xiàng)的積為，則數(shù)列為等比數(shù)列,通項(xiàng)為_. 三、解答題:本大題共6小題,1619各13分，2021各14分，滿分80分,解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16（本題滿分13分）泉州市為鼓勵(lì)企業(yè)發(fā)展“低碳經(jīng)濟(jì)”，真正實(shí)現(xiàn)“低消耗、高產(chǎn)出”，施行獎(jiǎng)懲制度.通過制定評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，每年對(duì)本市的企業(yè)抽查評(píng)估，評(píng)出優(yōu)秀、良好、合格和不合格四個(gè)等次，并根據(jù)等級(jí)給予相應(yīng)的獎(jiǎng)懲（如下表）.某企業(yè)投入萬元改造，由于自身技術(shù)原因，能達(dá)到以上四個(gè)等次的概率分別為，且由此增加的產(chǎn)值分別為萬元、萬元、萬元、萬元.設(shè)該企業(yè)當(dāng)年因改造而增加利潤(rùn)為. ()在抽查評(píng)估中，該企業(yè)能被抽到且被評(píng)為合格以上等次的概率是多少？ （）求的數(shù)學(xué)期望.評(píng)估得分評(píng)定等級(jí)不合格合格良好優(yōu)秀獎(jiǎng)懲（萬元）17（本題滿分13分） 第17題圖如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，為線段上的點(diǎn)，且滿足. （）當(dāng)時(shí)，求證：平面平面；（）試證無論為何值，三棱錐的體積 恒為定值； （）求異面直線與所成的角的余弦值.ABCDEF18（本題滿分13分）如圖，某污水處理廠要在一個(gè)矩形污水處理池的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道，是直角頂點(diǎn)）來處理污水，管道越長(zhǎng)，污水凈化效果越好.設(shè)計(jì)要求管道的接口是的中點(diǎn)，分別落在線段上.已知米，米，記.（1）試將污水凈化管道的長(zhǎng)度表示為的函數(shù)，并寫出定義域；（2）若，求此時(shí)管道的長(zhǎng)度；（3）當(dāng)取何值時(shí)，污水凈化效果最好？并求出此時(shí)管道的長(zhǎng)度.19（本題滿分13分）已知橢圓：（），其焦距為，若（），則稱橢圓為“黃金橢圓”（1）求證：在黃金橢圓：（）中，、成等比數(shù)列（2）黃金橢圓：（）的右焦點(diǎn)為，為橢圓上的任意一點(diǎn)是否存在過點(diǎn)、的直線，使與軸的交點(diǎn)滿足？若存在，求直線的斜率；若不存在，請(qǐng)說明理由（3）在黃金橢圓中有真命題：已知黃金橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)分別是、，以、為頂點(diǎn)的菱形的內(nèi)切圓過焦點(diǎn)、試寫出“黃金雙曲線”的定義；對(duì)于上述命題，在黃金雙曲線中寫出相關(guān)的真命題，并加以證明20（本題滿分14分）已知二次函數(shù)和“偽二次函數(shù)” （、），（I）證明：只要，無論取何值，函數(shù)在定義域內(nèi)不可能總為增函數(shù)；（II）在二次函數(shù)圖象上任意取不同兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，記直線的斜率為， （i）求證：；（ii）對(duì)于“偽二次函數(shù)”，是否有（i）同樣的性質(zhì)?證明你的結(jié)論. 21本題有(1)、(2)、(3)三個(gè)選答題,每題7分,請(qǐng)考生任選2題作答,滿分14分.如果多作,則按所做的前兩題計(jì)分.作答時(shí),先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑,并將選題號(hào)填入括號(hào)中. (1)(本小題滿分7分) 選修4一2:矩陣與變換 若點(diǎn)A（2，2）在矩陣對(duì)應(yīng)變換的作用下得到的點(diǎn)為B（2，2），求矩陣M的逆矩陣 (2)(本小題滿分7分) 選修4一4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)O與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C1：與曲線C2：（tR）交于A、B兩點(diǎn)求證：OAOB (3)(本小題滿分7分) 選修4一5:不等式選講 求證:,.2020年福建省高考模擬試題（1）數(shù)學(xué)（理科）試卷一、選擇題：本題主要考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算1B2C3D4D5B6C7C8B9D10A二、本大題共4個(gè)小題；每小題5分，共20分.本題主要考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算 11 12 13 14 15三、解答題:本大題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.17.解：（）設(shè)該企業(yè)能被抽中的概率且評(píng)為合格以上等次的概率為，則 4分（）依題意，的可能取值為則，則其分布列為10分（萬元）13分第18題圖18解：方法一、證明：（）正方體中，面，又平面平面， 2分時(shí)，為的中點(diǎn)，又平面平面，平面，又平面，平面平面4分（）， 為線段上的點(diǎn)，三角形的面積為定值，即，6分又平面，點(diǎn)到平面的距離為定值，即， 8分三棱錐的體積為定值，即也即無論為何值，三棱錐的體積恒為定值；10分（）由（）易知平面，又平面， 12分即異面直線與所成的角為定值，從而其余弦值為13分方法二、如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系（）當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則，又、，設(shè)平面的法向量為，1分則，即，令，解得， 2分又點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，平面， 平面的法向量為， 3分，平面平面， 4分（）略；（）， 10分又、， 11分 12分不管取值多少，都有，即異面直線與所成的角的余弦值為0.13分18（1）解：，.由于，所以，所以.所以，.4分（2）解：當(dāng)時(shí)，（米）. 7分（3）解：，設(shè)，則，所以.由于，所以.由于在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)即或時(shí)，取得最大值米.答：當(dāng)或時(shí)，污水凈化效果最好，此時(shí)管道的長(zhǎng)度為米. 13分19（1）證明：由及，得，故、成等比數(shù)列（3分）（2）解：由題設(shè)，顯然直線垂直于軸時(shí)不合題意，設(shè)直線的方程為，得，又，及，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，（5分）因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，又，得，故存在滿足題意的直線，其斜率（6分）（3）黃金雙曲線的定義：已知雙曲線：，其焦距為，若（或?qū)懗桑瑒t稱雙曲線為“黃金雙曲線”（8分）在黃金雙曲線中有真命題：已知黃金雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別是、，以、為頂點(diǎn)的菱形的內(nèi)切圓過頂點(diǎn)、（10分）證明：直線的方程為，原點(diǎn)到該直線的距離為，將代入，得，又將代入，化簡(jiǎn)得，故直線與圓相切，同理可證直線、均與圓相切，即以、為直徑的圓為菱形的內(nèi)切圓，命題得證（13分）20解：（I）如果為增函數(shù),則(1)恒成立, -1分 當(dāng)時(shí)恒成立, (2) 由二次函數(shù)的性質(zhì), (2)不可能恒成立.則函數(shù)不可能總為增函數(shù). -4分（II）（i） =. -6分由,.7分 則-7分（ii）不妨設(shè),對(duì)于“偽二次函數(shù)”:法一:. (3) -9分又, 法二: =, (3) -9分由()中(1),如果有()的性質(zhì)，則 , (4) 比較(3)( 4)兩式得，即：，(4) -12分不妨令