3.2.1 直線的點(diǎn)斜式方程皰丁巧解牛知識(shí)巧學(xué)一、直線的點(diǎn)斜式方程1.已知直線過(guò)點(diǎn)P0(x0，y0)，斜率為k，則其方程為y-y0=k(x-x0).2.注意公式的應(yīng)用前提是直線的斜率存在，若斜率不存在，則不能應(yīng)用此式.3.當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，直線的傾斜角為0，斜率k=0，仍可用上述公式.此時(shí)可簡(jiǎn)寫(xiě)為y-y0=0或y=y0.特別地，x軸的方程是y=0. 當(dāng)直線與y軸平行或重合時(shí)，直線的傾斜角為90，斜率不存在，不能應(yīng)用點(diǎn)斜式方程.此時(shí)根據(jù)直線上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)都相等，可將方程寫(xiě)成x-x0=0或x=x0.特別地，y軸的方程是x=0.點(diǎn)斜式方程中的點(diǎn)只要是直線上的點(diǎn)，哪一個(gè)都可以.辨析比較 過(guò)點(diǎn)P(x0,y0)的所有直線是x=x0或y-y0=k(x-x0).與y-y0=k(x-x0)的區(qū)別:前者不包含點(diǎn)P(x0,y0),后者包含點(diǎn)P(x0,y0).二、直線的斜截式方程1.已知直線過(guò)點(diǎn)P0(0，b)，斜率為k，則其方程為y=kx+b，其中b叫做直線在y軸上的截距，也叫縱截距.2.“截距”不同于日常生活中的“距離”，截距是一個(gè)點(diǎn)的(縱)坐標(biāo)，是一個(gè)實(shí)數(shù)，可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)或零；而距離是一個(gè)非負(fù)數(shù).3.斜截式方程的應(yīng)用前提也是直線的斜率存在，并且給出的已知點(diǎn)是直線與y軸的交點(diǎn).當(dāng)b=0時(shí)，y=kx表示過(guò)原點(diǎn)的直線；當(dāng)k=0時(shí)，y=b表示與x軸平行(或重合)的直線；當(dāng)k=0且b=0時(shí)，y=0即表示x軸.辨析比較 斜截式方程與一次函數(shù)的解析式相同,都是y=kx+b,但有區(qū)別:當(dāng)斜率不為0時(shí),y=kx+b即為一次函數(shù),當(dāng)k=0時(shí),y=b不是一次函數(shù);一次函數(shù)y=kx+b(k0)必是一條直線的斜截式方程.問(wèn)題探究問(wèn)題1 若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P0(x0,y0)，且與x軸垂直，其直線方程怎樣表示？若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P0(x0,y0)，且與y軸垂直，其直線方程怎樣表示？探究:與x軸垂直的直線上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都相等且等于x0，縱坐標(biāo)任意，方程可表示為x=x0；與y軸垂直的直線上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為y0,而橫坐標(biāo)任意，所以方程可表示為y=y0.問(wèn)題2 是否任何直線都存在y軸上的截距？探究:不是任何直線都存在y軸上的截距，平行于y軸的直線與y軸沒(méi)有交點(diǎn)，所以不存在縱截距，其他的直線都有y軸上的截距，即縱截距.問(wèn)題3 直線的斜截式方程的截距指縱截距，是否也可以導(dǎo)出橫截距的直線方程？探究:直線的斜截式方程是由點(diǎn)斜式自然推出y=kx+b.若k0，可化為x=(y-b)=,這時(shí)對(duì)k的要求更多，而當(dāng)k不存在時(shí)，也存在在x軸上有截距的直線；k=0時(shí)，這樣的直線與x軸或者平行或者重合，此時(shí)在x軸上的截距不存在.典題熱題例1 分別求出經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3，4)且滿足下列條件的直線方程，并畫(huà)出圖形.(1)斜率k=2;(2)與x軸平行；(3)與x軸垂直.思路解析：經(jīng)過(guò)一個(gè)點(diǎn)求直線的方程，若所求直線與x軸或y軸垂直，則可直接寫(xiě)出所求直線的方程，其他情形可直接用公式求出.過(guò)一點(diǎn)求直線的方程，若斜率不存在或斜率為零時(shí)，可直接寫(xiě)出直線的方程，將此作為一種特殊情況熟練掌握.解：(1)這條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3，4)，斜率k=2，點(diǎn)斜式方程為y-4=2(x-3)，可化為2x-y-2=0.如圖3-2-1(1)所示.(2)由于直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3，4)且與x軸平行，所以直線方程為y=4.如圖3-2-1(2)所示.(3)由于直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3，4)且與x軸垂直，所以直線方程為x=3.如圖3-2-1(3)所示.圖3-2-1深化升華 本題是對(duì)直線的點(diǎn)斜式方程公式的直接應(yīng)用，在傾斜角不為90，即斜率存在時(shí)，直接代入直線的點(diǎn)斜式方程即可.若直線傾斜角為90時(shí)方程可直接寫(xiě)出.例2 已知直線l1:(m2-m-2)x+2y+m-2=0,l2:2x+(m-2)y+2=0，求取何值時(shí),l1l2？l1l2？思路解析：可以通過(guò)兩直線斜率的關(guān)系來(lái)判斷，但要注意直線斜率不存在的情況.解：當(dāng)=2時(shí)，直線l2的斜率不存在，可驗(yàn)證l1的斜率為0，此時(shí)兩直線垂直. 當(dāng)m2時(shí)，可把直線方程化為斜截式求出直線斜率和在y軸上的截距，k1=,k2=.所以當(dāng)k1=k2時(shí)解得=3或=0.但=0時(shí)可得兩直線方程相同，即直線重合.所以當(dāng)=3時(shí)l1l2.當(dāng)k1k2=-1時(shí)兩直線垂直，解得=-2. 綜上可知，當(dāng)=3時(shí)l1l2;當(dāng)=2時(shí)兩直線垂直.拓展延伸 在前面我們已研究了兩直線的平行與判定，如果給出兩條直線的斜截式方程l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，來(lái)判斷兩直線位置關(guān)系,則l1l2k1=k2且b1b2，l1l2k2k1=-1.當(dāng)一直線的斜率不存在時(shí)，若兩直線平行，則另一直線的斜率也不存在；若兩直線垂直，則另一直線的斜率等于0.如果給出的方程不是斜截式，可先化為斜截式，在化時(shí)要注意等價(jià)性(不要丟解).利用此性質(zhì)，也可求與已知直線平行或垂直的直線. 變式：直線2x-y+k=0和4x-2y+1=0的位置關(guān)系是( )A.平行 B.垂直C.平行或重合 D.既不平行也不重合解析：把兩直線的方程化為斜截式為y=2x+k和y=，其斜率相等.當(dāng)k=時(shí)，兩直線重合，當(dāng)k時(shí)，兩直線平行.答案：C例3 直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,1)，B(0，-3)，求此直線的斜截式方程.若將A(2,1)換成A(2+a2,1+a2)，要使kAB最大，其直線方程又怎樣？思路解析：已知兩點(diǎn)，可先求出斜率，再寫(xiě)出斜截式方程.要使kAB最大，需對(duì)參數(shù)進(jìn)行取值研究.解：先求出此直線的斜率kAB=，再由斜截式寫(xiě)出方程y=2x-3.當(dāng)A(2,1)變成