數(shù) 學(xué) 建 模 作 業(yè)姓名:任曉 學(xué)號:200913138036 班級:軟件工程0902班（一）測人體血量【問題的提出】通過某種方法測量人體內(nèi)血液的總量。【問題的分析】首先，將酒精含量視為血藥濃度，借用藥物動力學(xué)的房室模型，將酒精在腸胃的吸收過程和在血液中的分解過程抽象為吸收室和中心室里所發(fā)生的作用，運用微分方程理論推導(dǎo)出了吸收速率和分解速率隨時間變化的規(guī)律（,），并用回歸分析方法結(jié)合題述經(jīng)驗數(shù)據(jù)具體導(dǎo)出一人在未喝過酒的情況下，飲入2瓶啤酒的血液中酒精含量與時間的關(guān)系模型。 【模型的建立】假設(shè)人體的密度是均勻的，讓某健康的人喝一定質(zhì)量的酒精，并且假設(shè)酒精進(jìn)入人體后馬上均勻分布，并且血液和體液的酒精濃度是一樣的。抽取此人V1ml的血液樣本，用測量酒后駕駛測酒精含量的儀器測出樣本中的酒精的濃度為假設(shè)為n g/ml。假設(shè)已知的酒精的密度為P g/ml。 V1/V=n/P；算出人體的血液的含量為V=V1*P/n;【結(jié)果分析】這只是個大約算出的血液含量 不是很準(zhǔn)確，但是估算基本上可以。(二) 森林火災(zāi)【問題的提出】某森林發(fā)生火災(zāi)，接到報警后，消防站立即派出消防隊員進(jìn)行滅火，但具體派多少隊員呢？派出的隊員越多，森林的損失越小，但救援的開支會越大；反之森林的損失會加大，所以需要綜合考慮森林損失費和救援費與消防隊員人數(shù)之間的關(guān)系?！締栴}的分析】假設(shè)森林燃燒的損失費正比于森林燒毀面積，其比例系數(shù)為。而燒毀面積與失火、滅火時間有關(guān)，滅火時間又取決于消防隊員數(shù).救援費分為兩部分：每個消防隊員單位時間的費用，設(shè)為；每個隊員的一次性支出，設(shè)為。又假定火勢蔓延程度及平均每個消防隊員的滅火能力與火勢有關(guān)。進(jìn)而解決派出消防隊員多少時總費用（即損失費、救援費之和）最小。記失火時刻為，開始滅火時刻為，火被撲滅時刻為。設(shè)在時刻森林燒毀面積為，則森林最終燒毀面積為，并且?？紤]單位時間燒毀面積，它表示火勢蔓延程度。一般來說，在消防隊員到達(dá)之前，即，火勢越來越大，即隨的增加而增加；開始滅火后，即.如果消防隊員滅火能力足夠強(qiáng)，火勢將越來越小，即應(yīng)減小，并且當(dāng)時。對于火勢可抽象為：火勢以失火點為中心，以均勻速度向四周呈圓形蔓延，所以蔓延的半徑與時間成正比。又因為燒毀面積與成正比，故與成正比，從而與成正比。【模型假設(shè)】1. 假設(shè)森林面積無限大，火勢以失火點為中心，均勻速度向四周呈圓形蔓延，且時刻的森林燒毀面積為。2. 設(shè)失火時刻為，開始滅火時刻為，火被撲滅時刻為，又設(shè)在內(nèi)，火勢蔓延程度與時間成正比，比例系數(shù)稱為火勢蔓延速度。3. 設(shè)派出消防隊員名，開始滅火后火勢蔓延速度降為。這里可視為每個隊員的平均滅火速度?！灸Ｐ偷慕ⅰ坑捎诿總€消防隊員單位時間的費用為，而每個隊員的一次性支出為，于是由條件知： 又由假設(shè)2、3知： .求解上述兩微分方程，得 +又由、當(dāng)時,有于是 故總費用為問題歸結(jié)為：已知，求使取最小值.【模型的求解】將連續(xù)化 令,解得【結(jié)果分析】1. 關(guān)于的幾何求解圖形為：是圖中陰影部分面積.而是圖中三角形的面積.令，容易求得.2. 最后的要取整（這是由于離散的連續(xù)化之故）.3. 結(jié)果表明：隊員人數(shù)由兩部分組成：一部分是滅火人數(shù)的最低限度：,此時斜率為的直線才會與軸有交點.另一部分是最低限度之上的人數(shù)，它與問題的各個參數(shù)有關(guān)，且可看出其變化規(guī)律.4. 實際應(yīng)用中，是已知常數(shù)，是森林類型有關(guān)的量，是隊員素質(zhì)有關(guān)的量，火勢5. 實際上，消防隊員的滅火速度與開始滅火時的火勢有關(guān)，可以合理地假設(shè).（三）體育館建設(shè)問題【問題的提出】某政府打算修建一個小型體育館。通過競標(biāo)，一家建筑公司獲得了此合同。書中的表中列出了工程的主要任務(wù)，需時均以星期記有些任務(wù)只有在某些其他任務(wù)完成之后才能進(jìn)行，（1） 試給出各項任務(wù)的施工次序，使得這項工程能盡早完成。（2） 市政府希望能夠再提前一些時間完工，為此，市政府決定工期每縮短一周，便向此公司支付30千元的獎勵。為縮短工期，建筑公司每周需要支付額外費用。問如何施工才能使得建筑公司的利潤最大？【問題的分析】此問題是一個調(diào)度問題，需要先完成某些任務(wù)才能進(jìn)行下面的一些任務(wù)，這一特點構(gòu)成了模型的約束條件。問題的目標(biāo)是盡早完成工程，即使的最后一項任務(wù)的完工時間最早即可?！灸Ｐ偷慕ⅰ坑?i=1,.,18)表示第i項任務(wù)的施工時刻，表示第i項任務(wù)的耗時，由于每項任務(wù)有先決任務(wù)的約束，不妨記要施工的任務(wù)為i，其先決任務(wù)為j和k，顯然只有當(dāng)這兩個任務(wù)都完工之后才能對任務(wù)i施工，于是有 其他的先決條件可以類似得到。問題希望能盡快完工，即最后一項工程的完工時刻最小，所以目標(biāo)函數(shù)為： 轉(zhuǎn)化為線性化： 于是數(shù)學(xué)模型為：以第18項工程的彎弓時刻作為目標(biāo)函數(shù)，于是建立體育館建設(shè)問題的數(shù)學(xué)模型如下：min f =x18+t18 s.t.(2)設(shè)xi,yi(i=1,18)分別表示第i項任務(wù)的施工周次和實際縮短到周次，ci,ti,tmi分別表示第i項任務(wù)縮短時間時每周的額外開支，耗時和最大縮短時間，則此項任務(wù)的實際耗時為ti yi 記要施工的任為i,其先決任務(wù)為j和k,則先決任務(wù)約束可以表示為：xj + tj - yj = xi xk + tk yk = xi顯然實際縮短到時間不可能超過最大縮短時間，于是有 yi = tmi (i=1,18)于是建立體育館建設(shè)問題的數(shù)學(xué)模型如下：max f =30(63-x18)-i=118ciyi s.t.x1+t1-y1=x2x2+t2-y2=x3x2+t2-y2=x4x3+t3-y3=x5x4+t4-y4=x6 , x5+t5-y5=x6x4+t4-y4=x7x6+t6-y6=x8x4+t4-y4=x9 , x6+t6-y6=x9x4+t4-y4=x10x6+t6-y6=x11x9+t9-y9=x12x7+t7-y7=x13x2+t2-y2=x14x4+t4-y4=x15 , x14+t14-y14=x15x8+t8-y8=x16 ，x11+t11-y11=x16 ，x14+t14-y14=x16x12+t12-y12=x17x17+t