3.4.1 導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合問題核心考點精準(zhǔn)研析考點一導(dǎo)數(shù)法證明不等式【典例】(2020莆田模擬)已知函數(shù)f(x)=xex-1-ax+1,曲線y=f(x)在點(2,f(2)處的切線l的斜率為3e-2.(1)求a的值及切線l的方程.(2)證明:f(x)0.【解題導(dǎo)思】序號題目拆解(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程利用求導(dǎo)的方法求出函數(shù)切線的斜率,再利用切線斜率的已知條件求出a的值,再將切點橫坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出切點縱坐標(biāo),再利用點斜式求出切線方程,最后轉(zhuǎn)化為切線的一般式方程.(2)用導(dǎo)數(shù)法證明不等式利用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而證出不等式成立【解析】(1)由f(x)=xex-1-ax+1,得f(x)=(x+1)ex-1-a,因為曲線y=f(x)在點(2,f(2)處的切線l的斜率為3e-2,所以f(2)=3e-a=3e-2,解得a=2, 所以f(2)=2e-4+1=2e-3,故切線l的方程為:y-(2e-3)=(3e-2)(x-2), 即(3e-2)x-y-4e+1=0.所以a=2,切線l的方程為(3e-2)x-y-4e+1=0.(2)由(1),可得f(x)=xex-1-2x+1,f(x)=(x+1)ex-1-2,所以當(dāng)x(-,-1時,f(x)-1),則g(x)=(x+2)ex-10,所以當(dāng)x(-1,+)時,g(x)單調(diào)遞增,即f(x)單調(diào)遞增,又因為f(1)=0,所以當(dāng)x(-1,1)時,f(x)0, 所以f(x)在(-,1)上單調(diào)遞減,在(1,+)上單調(diào)遞增.所以f(x)f(1)=0.1.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式f(x)g(x)的基本方法(1)若f(x)與g(x)的最值易求出,可直接轉(zhuǎn)化為證明f(x)ming(x)max.(2)若f(x)與g(x)的最值不易求出,可構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-g(x),然后根據(jù)函數(shù)h(x)的單調(diào)性或最值,證明h(x)0.2.證明不等式時的一些常見結(jié)論(1)ln xx-1,等號當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取到.(2)exx+1,等號當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取到.(3)ln xx0.(4)xx+1ln(x+1)x,x-1,等號當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取到.(2018全國卷改編)已知函數(shù)fx=aex-ln x-1.證明:當(dāng)a1e時,fx0.【證明】當(dāng)a1e時,f(x)exe-ln x-1.設(shè)g(x)=exe-ln x-1,則g(x)=exe-1x.當(dāng)0x1時,g(x)1時,g(x)0.所以x=1是g(x)的最小值點.故當(dāng)x0時,g(x)g(1)=0.因此,當(dāng)a1e時,f(x)0.考點二由不等式恒成立求參數(shù)命題精解讀1.考什么:(1)考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、求最值、不等式等問題.(2)考查數(shù)學(xué)運算、直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)及轉(zhuǎn)化與化歸、分類與整合等數(shù)學(xué)思想.2.怎么考:與導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)單調(diào)性、最值等知識相結(jié)合考查不等式恒成立求參數(shù)等問題.3.新趨勢:以導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)單調(diào)性、求函數(shù)極值、最值、導(dǎo)數(shù)的幾何意義等知識交匯考查為主.學(xué)霸好方法不等式恒成立問題中的常用結(jié)論(1)f(x)a恒成立f(x)mina, (2)f(x)b恒成立f(x)maxb, (3)f(x)g(x)恒成立,構(gòu)造f(x)=f(x)-g(x),則f(x)min0.(4)x1m,x2n,f(x1)g(x2)f(x1)ming(x2)max.單變量不等式恒成立問題【典例】已知函數(shù)f(x)=mex-x2.(1)若m=1,求曲線y=f(x)在(0,f(0)處的切線方程.(2)若關(guān)于x的不等式f(x)x(4-mex)在0,+)上恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)m=1時,f(x)=ex-x2,所以f(x)=ex-2x,所以f(0)=1,又f(0)=1,所以曲線y=f(x)在(0,f(0)處的切線方程為y-1=x,即x-y+1=0.(2)由f(x)x(4-mex),得mex(x+1)x2+4x,不等式f(x)x(4-mex)在0,+)上恒成立,等價于當(dāng)x0時,mx2+4xex(x+1)max,令g(x)=x2+4xex(x+1)(x0),則g(x)=-(x+2)(x2+2x-2)(x+1)2ex.由g(x)=0及x0,得x=3-1,當(dāng)x(0,3-1)時,g(x)0,此時g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x(3-1,+)時,g(x)0,此時g(x)單調(diào)遞減.所以當(dāng)x=3-1時,g(x)max=g(3-1)=2e1-3,所以m2e1-3.所以實數(shù)m的取值范圍為2e1-3,+).雙變量不等式恒成立問題【典例】已知函數(shù)f(x)=x-1-aln x(a0). (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.(2)若對于任意的x1,x2(0,1,且x1x2,都有|f(x1) -f(x2)|0),因為x0,a0,所以f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增.(2)不妨設(shè)0x11x20,由(1)知f(x1)f(x2),所以|f(x1)-f(x2)|41x1-1x2f(x2)-f(x1)f(x2)+4x2.設(shè)g(x)=f(x)+4x,x(0,1,易知g(x)在(0,1上單調(diào)遞減,所以g(x)0在(0,1上恒成立1-ax-4x2=x2-ax-4x20在(0,1上恒成立ax-4x在(0,1上恒成立,易知y=x-4x在(0,1上單調(diào)遞增,其最大值為-3.因為a0,所以-3a0時,若曲線y=f(x)在直線y=-x的上方,求實數(shù)a的取值范圍.【解析】 (1)當(dāng)a=1時,f(x)=xex-x2-2x,其導(dǎo)數(shù)f(x)=ex(x+1)-2x-2,f(0)=-1.又因為f(0)=0,所以曲線y=f(x)在點(0,f(0)處的切線方程為y=-x.(2)根據(jù)題意,當(dāng)x0時, “曲線y=f(x)在直線y=-x的上方”等價于“axex-x2-2x-x恒成立”,又由x0,則axex-x2-2x-xaex-x-10ax+1ex,則原問題等價于ax+1ex恒成立;設(shè)g(x)=x+1ex,則g(x)=-xex,又由x0,則g(x)0,則函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,+)上遞減,又由g(0)=1e0=1,則有x+1exx+1ex恒成立,必有a1,即a的取值范圍為1,+).1.(2020蕪湖模擬)已知函數(shù)f(x)=1-lnxx,g(x)=aeex+1x-bx(e為自然對數(shù)的底數(shù)),若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)的一個公共點是a(1,1),且在點a處的切線互相垂直.(1)求a,b的值.(2)求證:當(dāng)x1時,f(x)+g(x)2x.【解析】(1)因為f(x)=1-lnxx,所以f(x)=lnx-1x2,f(1)=-1.因為g(x)=aeex+1x-bx,所以g(x)=-aeex-1x2-b.因為曲線y=f(x)與曲線y=g(x)的一個公共點是a(1,1),且在點a處的切線互相垂直,所以g(1)=1,且f(1)g(1)=-1,即g(1)=a+1-b=1,g(1)=-a-1-b=1,解得a=-1,b=-1.(2)由(1)知,g(x)=-eex+1x+x,則f(x)+g(x)2x等價于1-lnxx-eex-1x+x0.令h(x)=1-lnxx-eex-1x+x(x1),則h(x)=-1-lnxx2+eex+1x2+1=lnxx2+eex+1.因為x1,所以h(x)=lnxx2+eex+10,所以h(x)在1,+)上單調(diào)遞增,所以h(x)h(1)=0,即1-lnxx-eex-1x+x0,所以當(dāng)x1時,f(x)+g(x)2x.2.已知兩個函數(shù)f(x)=7x2-28x-c,g(x)=2x3+4x2-40x.若任意x1-3,3,x2-3,3都有f(x1)g(x2)成立,求實數(shù)c的取值范圍.【解析】由任意x1-3,3,x2-3,3,都有f(x1)g(x2)成立,得f(x1)maxg(x2)min.因為f(x)=7x2-28x-c=7(x-2)2-28-c,當(dāng)x1-3,3時,f(x1)max=f(-3)=147-c;g(x)=2x3+4x2-40x,g(x)=6x2+8x-40=2(3x+10)(x-2),當(dāng)x變化時,g(x)和g(x)在-3,3上的變化情況如下表:x-3(-3,2)2(2,3)3g(x)-0+g(x)102極小值-48-30易得g(x)min=g(2)=-48,故147-c-48,即c195.3.已知函數(shù)f(x)=ax+a-1x+1-2a-ln x,ar.(1)若a=-1,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.(2)若f(x)0在x1,+)上恒成立,求正數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)a=-1時,f(x)=-x-2x-lnx+3(x0),所以f(x)=-x2-x+2x2=-x-1x+2x2,則當(dāng)x(0,1)時,f(x)0,則f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x(1,+)時,f(x)0,則f(x)單調(diào)遞減;所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+).(2)因為f(x)=ax+a-1x+1-2a-ln x,x1,+),則f1=0,f(x)=a-a-1x2-1x=ax2-x-a-1x2=ax2x-1x-1-aa.當(dāng)0a1,故當(dāng)1x1-aa時,f(x)0,f(x)在1,1-aa上是減函數(shù),所以當(dāng)x1,1-aa時,f(x)f10恒成立,求整數(shù)a的最大值.(3)求證:ln 2+(ln 3-ln 2)2+(ln 4-ln 3)3+ln(n+1)-ln nn0,當(dāng)x(-,0)時,f(x)ln(x+2),當(dāng)a2時,ln(x+a)ln(x+2)0恒成立.當(dāng)a3時,e00不恒成立.故整數(shù)a的最大值為2.(3)由(2)知exln(x+2),令x=-n+1n,則