1.4 淺談數(shù)學(xué)歸納法中k和n的時(shí)效性數(shù)學(xué)歸納法歷來作為高中數(shù)學(xué)的必修內(nèi)容，它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的分析問題和解決問題的能力，都有積極的作用，然而，學(xué)生在學(xué)習(xí)這一內(nèi)容時(shí)，常常感到抽象難懂，我們先來看看數(shù)學(xué)歸納法的證題過程。例：用數(shù)學(xué)歸納法證明能被（x+y）整除。證明：整除，命題成立。假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立即那么，當(dāng)n=k+1時(shí) 根據(jù)歸納假設(shè)，能被（x+y）整除，整除，也就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立。綜合知，命題對(duì)所有自然數(shù)N都成立，證畢學(xué)生對(duì)上述證明過程的第二步覺得難以理解怎么可用假設(shè)來證明呢？n是自然數(shù)，k也是自然數(shù)，k、n不是不同嗎？為什么可以“假當(dāng)n=k時(shí)命題成立呢”，k成立不就是n成立嗎？還有n=k，n=k+1又是怎么一回事呢？學(xué)生對(duì)這些問題的存疑，勢(shì)必影響學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的理解和運(yùn)用，要取得好的教學(xué)效果，必須先解決上述問題，但教材教參對(duì)上述問題也未做詳述，多年的教學(xué)時(shí)間和探索，用“時(shí)效性”辨證地處理了k和n的關(guān)系，較好地解決了上述問題。所謂時(shí)效性，是指k和n在證明過程的不同時(shí)刻有不同的含義和不同的效能，當(dāng)命題證明正確后，k和n就等有效了，即k和n，n就是k；就本質(zhì)而言，k和n是相同的，都具有任意性，都是任意自然數(shù)，也即是所有自然數(shù)，差異體現(xiàn)在時(shí)效性上，我想學(xué)講解，在未證明命題正確之前，k和n是不同的，命題是要求證明對(duì)所有自然數(shù)n都成立，而歸納假設(shè)中的k，此時(shí)未可理解為所有的自然數(shù)，這時(shí)應(yīng)把假設(shè)“當(dāng)n=k時(shí)命題成立”中的k理解為特指在無窮無盡的自然數(shù)N中，至少存在某一個(gè)能使命題成立的自然數(shù)，就特指這個(gè)自然數(shù)為k（或者說，若連這樣一個(gè)k值都找不到，那么，命題根本不成立，事實(shí)上，證明過程中的已驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)，命題成立，自然數(shù)1便可做為命題成立的特指的第一個(gè)k值。（事實(shí)上，步驟中不一定驗(yàn)證n=1是否成立，而是驗(yàn)證當(dāng)時(shí)是否成立，是使命題成立的最小自然數(shù)，所以，第一個(gè)特指的k值是）證明過程第步中的k、k+1，也是任意自然數(shù)，兩者的聯(lián)系和區(qū)別，體現(xiàn)在任意性和給定性，k的任意性導(dǎo)致k+1的任意性，但一旦k給定后，k+1始終是k的后繼數(shù)，因此中的k，k+1的是數(shù)學(xué)歸納法證明的命題中所包含著的無窮多個(gè)特殊命題中的任意兩相鄰命題之間的因果關(guān)系如果k成立，那么k+1也成立，k為因，k+1為果，隨著時(shí)效的改變，這種因果關(guān)系隨時(shí)都在傳遞中交換，在交換中傳遞，也就是遞推。即由知當(dāng)n=1時(shí)，成立，由有n=k+1=1+1=2時(shí)也成立，再取k=2，且由知，k+1=2+1=3也成立。換一種說法，由結(jié)合的遞推過程就是：如果k=1時(shí)命題成立，那么k=1+1=2時(shí)，命題也成立；如果k=2時(shí)命題成立，那么k=2+1=3時(shí)，命題也成立“K=2成立”是“k=1”成立的果，也是“k=3”成立的因，也就是k=1的成立導(dǎo)致k=2的成立，k=2的成立又導(dǎo)致k=3的成立這樣一直傳遞下去，直至傳遍所有自然數(shù)，故命題對(duì)所有自然數(shù)都成立（以開始的自然都成立）。既然命題對(duì)所有自然數(shù)都成立，k也成了所有自然數(shù)，這時(shí)，k、n等效，k和n都是任意自然數(shù)至此，學(xué)生緊鎖的眉頭舒展開了，如釋重負(fù)豁然開朗起來。另：數(shù)學(xué)歸納法證題的另一難點(diǎn)是怎樣利用歸納假設(shè)“當(dāng)n=k時(shí)命題成立”來證明“n=k+1時(shí)”，命題也成立，對(duì)這個(gè)問題，首先應(yīng)注意語句中的“也”字，“也”字強(qiáng)調(diào)了和前面的聯(lián)系，說明了對(duì)前面“n=k時(shí)成立”的依賴，應(yīng)向?qū)W生強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)歸納法對(duì)第步命題成立的判斷，關(guān)鍵是結(jié)構(gòu)形式的判斷，這就需要很好的利用歸納假設(shè)，歸納假設(shè)一要用得上，要明確題目中歸納假設(shè)的結(jié)構(gòu)形式，在步的運(yùn)算變形過程中把它分離起來，以利于判斷“也成立”，如前例中添項(xiàng)之后提取公因式，使之出現(xiàn)這一項(xiàng)，利用歸納假設(shè)就可以判斷它能被（x+y）整除，所以當(dāng)