2009年重慶市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題5分，滿分50分）1（5分）（2009重慶）圓心在y軸上，半徑為1，且過點（1，2）的圓的方程為（）Ax2+（y2）2=1Bx2+（y+2）2=1C（x1）2+（y3）2=1Dx2+（y3）2=1【考點】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】計算題；數(shù)形結(jié)合【分析】法1：由題意可以判定圓心坐標(biāo)（0，2），可得圓的方程法2：數(shù)形結(jié)合法，畫圖即可判斷圓心坐標(biāo)，求出圓的方程法3：回代驗證法，逐一檢驗排除，即將點（1，2）代入四個選擇支，驗證是否適合方程，圓心在y軸上，排除C，即可【解答】解法1（直接法）：設(shè)圓心坐標(biāo)為（0，b），則由題意知，解得b=2，故圓的方程為x2+（y2）2=1故選A解法2（數(shù)形結(jié)合法）：由作圖根據(jù)點（1，2）到圓心的距離為1易知圓心為（0，2），故圓的方程為x2+（y2）2=1故選A解法3（驗證法）：將點（1，2）代入四個選擇支，排除B，D，又由于圓心在y軸上，排除C故選：A【點評】本題提供三種解法，三種解題思路，考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，是基礎(chǔ)題2（5分）（2009重慶）命題“若一個數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是正數(shù)”的逆命題是（）A“若一個數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”B“若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)”C“若一個數(shù)不是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”D“若一個數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負(fù)數(shù)”【考點】四種命題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】常規(guī)題型【分析】將原命題的條件與結(jié)論進(jìn)行交換，得到原命題的逆命題【解答】解：因為一個命題的逆命題是將原命題的條件與結(jié)論進(jìn)行交換，因此逆命題為“若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)”故選B【點評】本題考查四種命題的互相轉(zhuǎn)化，解題時要正確掌握轉(zhuǎn)化方法3（5分）（2009重慶）（x+2）6的展開式中x3的系數(shù)是（）A20B40C80D160【考點】二項式定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】計算題【分析】利用二項展開式的通項公式求出通項，令x的指數(shù)為3求出展開式中x3的系數(shù)【解答】解：設(shè)含x3的為第r+1，則Tr+1=C6rx6r2r，令6r=3，得r=3，故展開式中x3的系數(shù)為C6323=160故選D【點評】本題考查二項展開式的通項公式是解決二項展開式的特定項問題的工具4（5分）（2009重慶）已知向量=（1，1），=（2，x），若+與42平行，則實數(shù)x的值是（）A2B0C1D2【考點】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】寫出要用的兩個向量的坐標(biāo)，由+與42平行，根據(jù)向量共線的坐標(biāo)形式的充要條件可得關(guān)于X的方程，解方程可得結(jié)果【解答】解：=（1，1），=（2，x），+=（3，x+1），42=（6，4x2），由于+與42平行，得6（x+1）3（4x2）=0，解得x=2故選D【點評】本題也可以這樣解：因為+與42平行，則存在常數(shù)，使+=（42），即（2+1）=（41），根據(jù)向量共線的條件知，向量與共線，故x=25（5分）（2009重慶）設(shè)an是公差不為0的等差數(shù)列，a1=2且a1，a3，a6成等比數(shù)列，則an的前n項和Sn=（）ABCDn2+n【考點】等差數(shù)列的前n項和；等比數(shù)列的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】計算題【分析】設(shè)數(shù)列an的公差為d，由題意得（2+2d）2=2（2+5d），解得或d=0（舍去），由此可求出數(shù)列an的前n項和【解答】解：設(shè)數(shù)列an的公差為d，則根據(jù)題意得（2+2d）2=2（2+5d），解得或d=0（舍去），所以數(shù)列an的前n項和故選A【點評】本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答6（5分）（2009重慶）下列關(guān)系式中正確的是（）Asin11cos10sin168Bsin168sin11cos10Csin11sin168cos10Dsin168cos10sin11【考點】正弦函數(shù)的單調(diào)性菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)【分析】先根據(jù)誘導(dǎo)公式得到sin168=sin12和cos10=sin80，再結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性可得到sin11sin12sin80從而可確定答案【解答】解：sin168=sin（18012）=sin12，cos10=sin（9010）=sin80又y=sinx在x0，上是增函數(shù)，sin11sin12sin80，即sin11sin168cos10故選：C【點評】本題主要考查誘導(dǎo)公式和正弦函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化，再利用單調(diào)性比較大小7（5分）（2009重慶）已知a0，b0，則的最小值是（）A2BC4D5【考點】基本不等式菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】a0，b0，即，給出了基本不等式使用的第一個條件，而使用后得到的式子恰好可以再次使用基本不等式【解答】解：因為當(dāng)且僅當(dāng)，且，即a=b時，取“=”號故選C【點評】基本不等式a+b，（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”）的必須具備得使用條件：一正（即a，b都需要是正數(shù)）二定（求和時，積是定值；求積時，和是定值）三等（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，才能取等號）8（5分）（2009重慶）12個籃球隊中有3個強(qiáng)隊，將這12個隊任意分成3個組（每組4個隊），則3個強(qiáng)隊恰好被分在同一組的概率為（）ABCD【考點】等可能事件的概率菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】計算題【分析】由題意知本題是一個古典概型，試驗發(fā)生的所有事件是將12個組分成4個組的分法有種，而滿足條件的3個強(qiáng)隊恰好被分在同一組分法有，平均分組問題容易出錯【解答】解：由題意知本題是一個古典概型，試驗發(fā)生的所有事件是將12個隊分成4個組的分法有種，而滿足條件的3個強(qiáng)隊恰好被分在同一組分法有，根據(jù)古典概型公式3個強(qiáng)隊恰好被分在同一組的概率為=，故選B【點評】概率教學(xué)的核心問題是讓學(xué)生了解隨機(jī)現(xiàn)象與概率的意義，加強(qiáng)與實際生活的聯(lián)系，以科學(xué)的態(tài)度評價身邊的一些隨機(jī)現(xiàn)象，盡量地讓學(xué)生自己舉出生活和學(xué)習(xí)中與古典概型有關(guān)的實例9（5分）（2009重慶）在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，頂點B1到對角線BD1和到平面A1BCD1的距離分別為h和d，則下列命題中正確的是（）A若側(cè)棱的長小于底面的邊長，則的取值范圍為（0，1）B若側(cè)棱的長小于底面的邊長，則的取值范圍為C若側(cè)棱的長大于底面的邊長，則的取值范圍為D若側(cè)棱的長大于底面的邊長，則的取值范圍為【考點】點、線、面間的距離計算菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】計算題；壓軸題【分析】設(shè)底面邊長為1，側(cè)棱長為，過B1作B1HBD1，B1GA1B，RtBB1D1中可知B1D1和B1D，進(jìn)而利用三角形面積公式求得h，設(shè)在正四棱柱中，由于BCAB，BCBB1，進(jìn)而可推斷BC平面AA1B1B，BCB1G，B1G平面AB1CD1，可知B1G為點到平面A1BCD1的距離，RtA1B1B中，又由三角形面積關(guān)系得d，進(jìn)而可知的表達(dá)式，根據(jù)來確定其范圍【解答】解：設(shè)底面邊長為1，側(cè)棱長為（0），過B1作B1HBD1，B1GA1B在RtBB1D1中，由三角形面積關(guān)系得：設(shè)在正四棱柱中，由于BCAB，BCBB1，所以BC平面AA1B1B，于是BCB1G，所以B1G平面AB1CD1，故B1G為點到平面A1BCD1的距離，在RtA1B1B中，又由三角形面積關(guān)系得于是，于是當(dāng)1，所以，所以；故選C【點評】本題主要考查了點到面得距離計算點到平面的距離是近兩年高考的一個熱點問題，平時應(yīng)注意強(qiáng)化訓(xùn)練10（5分）（2009重慶）把函數(shù)f（x）=x33x的圖象C1向右平移u個單位長度，再向下平移v個單位長度后得到圖象C2、若對任意的u0，曲線C1與C2至多只有一個交點，則v的最小值為（）A2B4C6D8【考點】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；函數(shù)的圖象；函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】計算題；壓軸題【分析】由平移規(guī)律得出平移后的曲線對應(yīng)的解析式，因兩曲線有交點，故相應(yīng)方程有根，對方程（xu）33（xu）v=x33x，進(jìn)行變形，得出v關(guān)于u 的不等式，轉(zhuǎn)化成恒成立的問題求參數(shù)v的范圍【解答】解：根據(jù)題意曲線C的解析式為y=（xu）33（xu）v，由題意，方程（xu）33（xu）v=x33x至多有一個根，即3ux23xu2+（u33u+v）=0至多有一個根，故有=9u412u（u33u+v）0對任意的u0恒成立整理得對任意u0恒成立，令，則由此知函數(shù)g（u）在（0，2）上為增函數(shù)，在（2，+）上為減函數(shù)，所以當(dāng)u=2時，函數(shù)g（u）取最大值，即為4，于是v4；故選B【點評】考查據(jù)題意進(jìn)行轉(zhuǎn)化的能力，以及觀察變形的能力，解本題過程中，把一個變量表示成另一個變量的函數(shù)，依據(jù)不等式恒成立的問題轉(zhuǎn)化求求函數(shù)的最值來求出參數(shù)的范圍，題型新穎二、填空題（共5小題，每小題5分，滿分25分）11（5分）（2009重慶）若U=n|n是小于9的正整數(shù)，A=nU|n是奇數(shù)，B=nU|n是3的倍數(shù)，則U（AB）=2，4，8【考點】全集及其運算；補(bǔ)集及其運算菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】集合【分析】先求出滿足條件的全集U，進(jìn)而求出滿足條件的集合A與集合B，求出AB后，易根據(jù)全集U求出U（AB）【解答】解：U=n|n是小于9的正整數(shù)，U=1，2，3，4，5，6，7，8，則A=1，3，5，7，B=3，6，9，所以AB=1，3，5，7，9，所以U（AB）=2，4，8【點評】本題考查的知識點是并集運算和補(bǔ)集運算，運算的關(guān)鍵是準(zhǔn)確列舉出滿足條件的集合12（5分）（2009重慶）記f（x）=log3（x+1）的反函數(shù)為y=f1（x），則方程f1（x）=8的解x=2【考點】反函數(shù)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】容易看出，本題求解首先求出反函數(shù)y=f1（x），然后通過令f1（x）=8即可解得，求反函數(shù)需要利用指數(shù)式和對數(shù)式的互化【解答】解：法1；由y=f（x）=log3（x+1），得x=3y1，即f1（x）=3x1，于是由3x1=8，解得：x=2法2：f1（x）=8，x=f（8）=log3（8+1）=2故答案為：2【點評】本題體現(xiàn)了小題綜合化的特點，這里提供了2種解法，法一是直接法，過程完整，環(huán)節(jié)多；法二解法間簡捷，環(huán)節(jié)少，值得借鑒13（5分）（2009重慶）5個人站成一排，其中甲、乙兩人不相鄰的排法有72種（用數(shù)字作答）【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】計算題；分析法【分析】首先考慮求甲、乙兩人不相鄰的排法，可以聯(lián)想到用插空法求解，先把除甲乙外的其他三人排好，將甲乙二人插入前三人形成的四個空隙中，求出排法相乘即可得到答案【解答】解：求甲、乙兩人不相鄰的排法，可分兩個步驟完成，第一步驟先把除甲乙外的其他三人排好，有A33種排法，第二步將甲乙二人插入前三人形成的四個空隙中，有A42種，則甲、乙兩不相鄰的排法有A33A42=72種故答案為72【點評】此題主要考查排列組合及簡單的計數(shù)問題題中應(yīng)用到插空法，這種思想在求不相鄰的問題中應(yīng)用較廣，需要同學(xué)們多加注意14（5分）（2009重慶）從一堆蘋果中任取5只，稱得它們的質(zhì)量為（單位：克）：125 124 121 123 127，則該樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=2（克）（用數(shù)字作答）【考點】極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】計算題；壓軸題【分析】根據(jù)題意，利用平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的公式直接計算即可【解答】解：由題意得：樣本平均數(shù)x=（125+124+121+123+127）=124，樣本方差s2=（12+02+32+12+32）=4，s=2故答案為2【點評】本題考查用樣本的平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差來估計總體的平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差，屬基礎(chǔ)題，熟記樣本的平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差公式是解答好本題的關(guān)鍵15（5分）（2009重慶）已知橢圓=1（ab0）的左、右焦點分別為F1（c，0），F(xiàn)2（c，0），若橢圓上存在一點P使，則該橢圓的離心率的取值范圍為【考點】橢圓的簡單性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】計算題；壓軸題【分析】由“”的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想到在PF1F2中運用由正弦定理得：兩者結(jié)合起來，可得到，再由焦點半徑公式，代入可得到：a（a+ex0）=c（aex0）解出x0，由橢圓的范圍，建立關(guān)于離心率的不等式求解要注意橢圓離心率的范圍【解答】解：在PF1F2中，由正弦定理得：則由已知得：，即：a|PF1|=c|PF2|設(shè)點（x0，y0）由焦點半徑公式，得：|PF1|=a+ex0，|PF2|=aex0則a（a+ex0）=c（aex0）解得：由橢圓的幾何性質(zhì)知：x0a則，整理得e2+2e10，解得：或，又e（0，1），故橢圓的離心率：，故答案為：【點評】本題主要考查橢圓的定義，性質(zhì)及焦點三角形的應(yīng)用，特別是離心率應(yīng)是橢圓考查的一個亮點，多數(shù)是用a，b，c轉(zhuǎn)化，用橢圓的范圍來求解離心率的范圍三、解答題（共6小題，滿分75分）16（13分）（2009重慶）設(shè)函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x（0）的最小正周期為（）求的值；（）若函數(shù)y=g（x）的圖象是由y=f（x）的圖象向右平移個單位長度得到，求y=g（x）的單調(diào)增區(qū)間【考點】三角函數(shù)的周期性及其求法；函數(shù)y=Asin（x+）的圖象變換菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（1）先將函數(shù)化簡為f（x）=sin（2x+），再由，可得答案（2）根據(jù)g（x）=f（x）先求出解析式，再求單調(diào)區(qū)間【解答】解：（）f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x=sin2x+cos2x+sin2x+1+2cos2x=依題意得，故的值為（）依題意得：由解得故y=g（x）的單調(diào)增區(qū)間為：【點評】本題主要考查三角函數(shù)最小正周期的求法和單調(diào)區(qū)間的求法做這種題首先要將原函數(shù)化簡為y=Asin（x+）的形式再做題17（13分）（2009重慶）某單位為綠化環(huán)境，移栽了甲、乙兩種大樹各2株、設(shè)甲、乙兩種大樹移栽的成活率分別為和，且各株大樹是否成活互不影響、求移栽的4株大樹中：（）至少有1株成活的概率；（）兩種大樹各成活1株的概率【考點】互斥事件的概率加法公式；相互獨立事件的概率乘法公式菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（1）因各株大樹是否成活互不影響，本題考查的是相互獨立事件同時發(fā)生的概率，至少有1株成活包括的情況較多，所以從它的對立事件1株也不活 來考慮（2）應(yīng)用獨立重復(fù)試驗中事件發(fā)生的概率公式，同時又有相互獨立事件同時發(fā)生的概率，代入公式進(jìn)行運算【解答】解：設(shè)Ak表示第k株甲種大樹成活，k=1，2設(shè)Bl表示第l株乙種大樹成活，l=1，2則A1，A2，B1，B2獨立，且（）至少有1株成活的概率為：（）由獨立重復(fù)試驗中事件發(fā)生的概率公式知，兩種大樹各成活1株的概率為：【點評】考查運用概率知識解決實際問題的能力，相互獨立事件是指，兩事件發(fā)生的概率互不影響，而對立事件是指同一次試驗中，不會同時發(fā)生的事件，遇到求用至少來表述的事件的概率時，往往先求它的對立事件的概率18（13分）（2009重慶）如圖，在五面體ABCDEF中，ABDC，CD=AD=2，四邊形ABFE為平行四邊形，F(xiàn)A平面ABCD，求：（）直線AB到平面EFCD的距離；（）二面角FADE的平面角的正切值【考點】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；點、線、面間的距離計算菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】計算題【分析】解法一：（幾何法）（）AB到面EFCD的距離等于點A到面EFCD的距離，故可過A作平面EFCD的垂線，注意到面AFD面EFDC，故只需過A作FD的垂線即可（）由已知條件做出二面角FADE的平面角，再求解已知FAAD，再可求證EAAD，故，F(xiàn)AE為二面角FADE的平面角，再解AEF即可解法二：（向量法）由AB、AD、AF兩兩垂直，故可通過向量法求解（）求平面EFCD的法向量，則直線AB到平面EFCD的距離=（）分別求出兩個面的法向量，再求兩個法向量的余弦，即二面角FADE的平面角的余弦，再求正切即可【解答】解：法一：（）ABDC，DC平面EFCD，AB到面EFCD的距離等于點A到面EFCD的距離，過點A作AGFD于G，因ABDC，故CDAD；又FA平面ABCD，由三垂線定理可知，CDFD，故CD面FAD，知CDAG，所以AG為所求直線AB到面EFCD的距離在RtFCD中，由FA平面ABCD，得FAAD，從而在RtFAD中即直線AB到平面EFCD的距離為（）由己知，F(xiàn)A平面ABCD，得FAAD，又由，知ADAB，故AD平面ABFEDAAE，所以，F(xiàn)AE為二面角FADE的平面角，記為在RtAED中，由平行四邊形ABCD得，F(xiàn)EBA，從而在RtAEF中，故所以二面角FADE的平面角的正切值為法二：（）如圖以A點為坐標(biāo)原點，的方向為x，y，z的正方向建立空間直角坐標(biāo)系數(shù)，則A（0，0，0）C（2，2，0）D（0，2，0）設(shè)F（0，0，z0）（z00）可得，由即，解得F（0，0，1）ABDC，DC面EFCD，所以直線AB到面EFCD的距離等于點A到面EFCD的距離設(shè)A點在平面EFCD上的射影點為G（x1，y1，z1），則因且，而，此即解得x1=0，知G點在yoz面上，故G點在FD上.，故有聯(lián)立，解得，為直線AB到面EFCD的距離而所以（）因四邊形ABFE為平行四邊形，則可設(shè)E（x0，0，1）（x00），由得，解得即故由，因，故FAE為二面角FADE的平面角，又，所以【點評】本題考查空間的角和空間距離的計算，考查空間想象能力和運算能力注意幾何法和向量法的應(yīng)用19（12分）（2009重慶）已知f（x）=x2+bx+c為偶函數(shù)，曲線y=f（x）過點（2，5），g（x）=（x+a）f（x）（1）求曲線y=g（x）有斜率為0的切線，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若當(dāng)x=1時函數(shù)y=g（x）取得極值，確定y=g（x）的單調(diào)區(qū)間【考點】導(dǎo)數(shù)的幾何意義；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)在某點取得極值的條件菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（1）據(jù)偶函數(shù)的定義f（x）=f（x）求出b值，將點（2，5）代入得c值，據(jù)導(dǎo)數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)值為切線斜率，有g(shù)（x）=0有實數(shù)解，由0得范圍（2），函數(shù)在極值點處的導(dǎo)數(shù)值為0，導(dǎo)數(shù)大于0對應(yīng)區(qū)間是單調(diào)遞增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0對應(yīng)區(qū)間是單調(diào)遞減區(qū)間【解答】解：（1）f（x）=x2+bx+c為偶函數(shù)，故f（x）=f（x）即有（x）2+b（x）+c=x2+bx+c解得b=0又曲線y=f（x）過點（2，5），得22+c=5，有c=1g（x）=（x+a）f（x）=x3+ax2+x+a從而g（x）=3x2+2ax+1，曲線y=g（x）有斜率為0的切線，故有g(shù)（x）=0有實數(shù)解即3x2+2ax+1=0有實數(shù)解此時有=4a2120解得a（，+）所以實數(shù)a的取值范圍：a（，+）；（2）因x=1時函數(shù)y=g（x）取得極值，故有g(shù)（1）=0即32a+1=0，解得a=2又g（x）=3x2+4x+1=（3x+1）（x+1）令g（x）=0，得x1=1，x2=當(dāng)x（，1）時，g（x）0，故g（x）在（，1）上為增函數(shù)當(dāng)時，g（x）0，故g（x）在（1，）上為減函數(shù)當(dāng)x（）時，g（x）0，故g（x）在上為增函數(shù)【點評】本題考查偶函數(shù)的定義；利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求曲線切線方程；利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間20（12分）（2009重慶）已知以原點O為中心的雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為，離心率（）求該雙曲線的方程；（）如圖，點A的坐標(biāo)為，B是圓上的點，點M在雙曲線右支上，|MA|+|MB|的最小值，并求此時M點的坐標(biāo)【考點】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；圓方程的綜合應(yīng)用；雙曲線的應(yīng)用；圓錐曲線的共同特征菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】計算題；壓軸題【分析】（）由題意可知雙曲線的焦點在x軸上，雙曲線的方程，根據(jù)準(zhǔn)線方程和離心率求得a和c，進(jìn)而求得b（）設(shè)點D的坐標(biāo)為，則點A、D為雙曲線的焦點，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可得，|MA|MD|=2a，進(jìn)而可|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|2+|B