第 1頁（共 16頁） 第 21章 一元二次方程 一、選擇題 1有下列關于 +bx+c=0， 3x （ x 4） =0， x 2+y 3=0， +x=2， x 3 3x+8=0， 5x+7=0， （ x 2）（ x+5） =1其中是一元二次方程的有（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 2方程 3x+ =0的二次項系數與一次項系數及常數項之積為（ ） A 3 B C D 9 3用配方法解方程 2x 5=0時，原方程應變形為（ ） A（ x+1） 2=6 B（ x+2） 2=9 C（ x 1） 2=6 D（ x 2） 2=9 4下列關于 ） A x+1=0 B x2+x+1=0 C（ x 1）（ x+2） =0 D（ x 1） 2+1=0 5某商品原價 289元，經連續(xù)兩次降價后售價為 256 元，設平均每降價的百分率為 x，則下面所列方程正確的是（ ） A 289（ 1 x） 2=256 B 256（ 1 x） 2=289 C 289（ 1 2x） 2=256 D 256（ 1 2x） 2=289 6如果關于 2k+1） x+1=0有兩個不相等的實數根，那么 ） A k B k 且 k 0 C k D k 且 k 0 7方程 3x（ x 1） =5（ x 1）的根為（ ） A x= B x=1 C D 8把方程（ x ）（ x+ ） +（ 2x 1） 2=0 化為一元二次方程的一般形式是（ ） A 54x 4=0 B 5=0 C 52x+1=0 D 54x+6=0 9若 x=2是關于 =0的一個解則 ） A 6 B 5 C 2 D 6 10在某次聚會上，每兩人都握了一次手，所有人共握手 10次，設有 列出方程正確的是（ ） A x（ x 1） =10 B =10 C x（ x+1） =10 D =10 二、填空題 第 2頁（共 16頁） 11當方程 （ m+1） x 2=0是一元二次方程時， 12若 x2+是一個完全平方式，則 13已知 x+5的值為 11，則代數式 3x+12的值為 14若 2是關于 3+k） x+12=0的一個根，則以 2和 15若 +|b 1|=0，且一元二次方程 ax+b=0有實數根，則 16某城市居民最低生活保障在 2009年是 240元，經過連續(xù)兩年的增加，到 2011年提高到 該城市兩年來最低生活保障的平均年增長率是 17三角形兩邊的長是 3和 4，第三邊的長是方程 12x+35=0的根，則該三角形的周長為 18如果關于 2x+m=0（ 兩個相等實數根，那么 m= 19已知關于 m 1） x2+x+m 3=0的一個根為 0，那么 20在一幅長 50 30風景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整個規(guī)劃土地的面積是 1800金色紙邊的寬為 么 三、解答題 21用指定的方法解方程 （ 1）（ x+2） 2 25=0（直接開平方法） （ 2） x 5=0（配方法） （ 3） 4（ x+3） 2（ x 2） 2=0（因式分解法） （ 4） 2x 1=0（公式法） 22將 4個數 a， b， c， 行、 2列，兩邊各加一條豎直線記成 ，規(guī)定 =述記號就叫做 2階行列式若 =6，求 23已知關于 k+3） x+3k=0 （ 1）求證：不論 方程總有實數根 （ 2）若等腰 ，另兩邊長恰好是方程的兩個根，求 24某種流感病毒，有一人患 了這種流感，在每輪傳染中一人將平均傳給 第 3頁（共 16頁） （ 1）求第一輪后患病的人數；（用含 （ 2）在進入第二輪傳染之前，有兩位患者被及時隔離并治愈，問第二輪傳染后總共是否會有 21人患病的情況發(fā)生，請說明理由 25某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出 20件，每件盈利 40 元，為了擴大銷售，增加利潤，盡量減少庫存，商場決定采取適當的降價措施，經調查發(fā)現，如果每件襯衫降價 1元，商場平均每天可多售出 2件，若商場每天要獲利潤 1200元，請計算出每件襯衫應降價多少元？ 第 4頁（共 16頁） 第 21 章 一元二次方程 參考答案 與試題解析 一、選擇題 1有下列關于 +bx+c=0， 3x （ x 4） =0， x 2+y 3=0， +x=2， x 3 3x+8=0， 5x+7=0， （ x 2）（ x+5） =1其中是一元二次方程的有（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 【考點】一元二次方程的定義 【分析】根據一元二次方程的定義逐個判斷即可 【解答】解：一元二次方程有 ，共 2個， 故選 A 【點評】本題考查了一元二次方程的應用，能熟記一元二次方程的定義是解此題的關鍵，注意：只含有一個未知數，并且所含未知數的項的最高次數是 2的整式方程叫一元二次方程 2方程 3x+ =0的二次項系數與一次項系數及常數項之積為（ ） A 3 B C D 9 【考點】一元二 次方程的一般形式 【分析】首先確定二次項系數與一次項系數及常數項，然后再求積即可 【解答】解：方程 3x+ =0的二次項系數是 3，一次項系數是 ，常數項是 ， 3 （ ） = 9， 故選： D 【點評】此題主要考查了一元二次方程的一般形式 bx+c=0（ a 0）其中 3用配方法解方程 2x 5=0時，原方程應變形為（ ） A（ x+1） 2=6 B（ x+2） 2=9 C（ x 1） 2=6 D（ x 2） 2=9 【考點】解一元二次方程 【專題】方程思想 第 5頁（共 16頁） 【分析】配方法的一般步驟： （ 1）把常數項移到等號的右邊； （ 2）把二次項的系數化為 1； （ 3）等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方 【解答】解： 由原方程移項，得 2x=5， 方程的兩邊同時加上一次項系數 2的一半的平方 1，得 2x+1=6 （ x 1） 2=6 故選： C 【點評】此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準確應用選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數為 1，一次項的系數是 2的倍數 4下列關于 ） A x+1=0 B x2+x+1=0 C（ x 1）（ x+2） =0 D（ x 1） 2+1=0 【考點】根的判別式 【專題】計算題 【分析】分別計算 A、 別式的值；根據判別式的意義進行判斷；利用因式分解法對 據非負數的性質對 【解答】解： A、 =（ 1） 2 4 1 1= 3 0，方程沒有實數根，所以 B、 =12 4 1 1= 3 0，方程沒有實數根，所以 C、 x 1=0或 x+2=0，則 ， 2，所以 D、（ x 1） 2= 1，方程左邊為非負數，方程右邊為 0，所以方程沒有實數根，所以 故選： C 【點評】本題考查了一元二次方程 bx+c=0（ a 0）的根的判別式 =4 0，方程有兩個不相等的實數根；當 =0，方程有兩個相等的實數根；當 0，方程沒有實數根 5某商品原價 289元，經連續(xù)兩次降價后售價為 256 元，設平均每降價的百分率為 x，則下面所列方程正確的是（ ） A 289（ 1 x） 2=256 B 256（ 1 x） 2=289 C 289（ 1 2x） 2=256 D 256（ 1 2x） 2=289 第 6頁（共 16頁） 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程 【專題】增長率問題 【分析】增長率問題，一般用增長后的量 =增長前的量 （ 1+增長率），本題可參照增長率問題進行計 算，如果設平均每次降價的百分率為 x，可以用 后根據已知條件列出方程 【解答】解：根據題意可得兩次降價后售價為 289（ 1 x） 2， 方程為 289（ 1 x） 2=256 故選答： A 【點評】本題考查一元二次方程的應用，解決此類兩次變化問題，可利用公式 a（ 1+x） 2=c，其中 本題的主要錯誤是有部分學生沒有仔細審題，把答案錯看成 B 6如果關于 2k+1） x+1=0有兩個不相等的實數根，那 么 ） A k B k 且 k 0 C k D k 且 k 0 【考點】根的判別式 【專題】壓軸題 【分析】若一元二次方程有兩不等根，則根的判別式 =40，建立關于 出 【解答】解：由題意知， k 0，方程有兩個不相等的實數根， 所以 0， =4 2k+1） 2 4k+1 0 又 方程是一元二次方程， k 0， k 且 k 0 故選 B 【點評】總結：一元二次方程根的情況與判別式 的關系： （ 1） 0方程有兩個不相等的實數根； （ 2） =0方程有兩個相等的實數根； （ 3） 0方程沒有實數根 注意方程若為一元二次方程，則 k 0 7方程 3x（ x 1） =5（ x 1）的根為（ ） 第 7頁（共 16頁） A x= B x=1 C D 【考點】解一元二次方程 【分析】先移項，再提公因式，解一元一次方程即可 【解答】解： 3x（ x 1） 5（ x 1） =0， （ x 1）（ 3x 5） =0， x 1=0或 3x 5=0， ， 【點評】本題考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的步驟是解題 的關鍵 8把方程（ x ）（ x+ ） +（ 2x 1） 2=0 化為一元二次方程的一般形式是（ ） A 54x 4=0 B 5=0 C 52x+1=0 D 54x+6=0 【考點】一元二次方程的一般形式 【分析】先把（ x ）（ x+ ）轉化為 2=5； 然后再把（ 2x 1） 2利用完全平方公式展開得到 44x+1 再合并同類項即可得到一元二次方程的一般形式 【解答】解： （ x ）（ x+ ） +（ 2x 1） 2=0 即 2+44x+1=0 移項合并同類項得： 54x 4=0 故選： A 【點評】本題主要考查了利用平方差公式和完全 平方公式化簡成為一元二次方程的一般形式 9若 x=2是關于 =0的一個解則 ） A 6 B 5 C 2 D 6 【考點】一元二次方程的解 【分析】先把 一元一方程即可 【解答】解：把 x=2代入方程得： 4 2m+8=0， 解得 m=6 故選 A 【點評】本題考查了一元二次方程的解，此題比較簡單，易于掌握 第 8頁（共 16頁） 10在某次聚會上，每兩人都握了一次手，所有人共握手 10次，設有 次聚會，則列出方程正確的是（ ） A x（ x 1） =10 B =10 C x（ x+1） =10 D =10 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程 【專題】其他問題；壓軸題 【分析】如果有 每個人需要握手（ x 1）次， x（ x 1）次；而每兩個人都握了一次手，因此要將重復計算的部分除去，即一共握手： 次；已知 “ 所有人共握手 10次 ” ，據此可列出關于 【解答】解：設 每個人需握手： x 1（次）； 依題意，可列方程為： =10； 故選 B 【點評】理清題意，找對等量關系是解答此類題目的關鍵；需注意的是本題中 “ 每兩人都握了一次手 ” 的條件，類似于球類比賽的單循環(huán)賽制 二、填空題 11當方程 （ m+1） x 2=0是一元二次方程時， 1 【考點】一元二次方程的定義 【 分析】根據一元二次方程的定義，列方程和不等式解答 【解答】解：因為原式是關于 所以 =2， 解得 m= 1 又因為 m 1 0， 所以 m 1， 于是 m= 1 故答案為： 1 【點評】此題主要考查了一元二次方程的定義，一元二次方程的一般形式是： bx+c=0（ a， b， a 0）特別要注意 a 0 的條件這是在做題過程中容易忽視的知識點本題容易忽視的條件是 m 1 0 第 9頁（共 16頁） 12若 x2+是一個完全平方式，則 6 【考點】完全平方式 【專題】計算題 【分析】利用完全平方公式的結構特征判斷即可確定出 【解答】解： x2+是一個完全平方式， m= 6， 故答案為： 6 【點評】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵 13已知 x+5的值為 11，則代數式 3x+12的值為 30 【考點】代數式求值 【專題】推理填空題 【分析】把 x+5=11代入代數式 3x+12，求出算式的值是多少即可 【解答】解： x+5的值為 11， 3x+12 =3（ x+5） 3 =3 11 3 =33 3 =30 故答案為： 30 【點評】此題主要考查了代數式求值問題，要熟練掌握，注意代入法的應用 14若 2 是關于 3+k） x+12=0的一個根，則以 2和 12 【考點】等腰三角形的性質；三角形三邊關系 【分析】將 2代入方程求得 中沒有指明哪個是底哪個是腰，則應該分兩種情況進行分析，從而求得其周長 【解答】解：把 2代入方程 3+k） x+12=0得， k=5 （ 1）當 2為腰時，不符合三角形中三邊的關系，則舍去； （ 2）當 5是腰時，符合三角形三邊關系，則其周長為 2+5+5=12； 第 10頁（共 16頁） 所以這個等腰三角形的周長是 12 【點評】本題考查了根與系數的關系，三角形三邊關系及等腰三角形的性質的綜合運用 15若 +|b 1|=0，且一元二次方程 ax+b=0有實數根，則 k 4且 k 0 【考點】根的判別式；非負數的性質：絕對值；非負數的性質：算術平方根 【分析】根據非負數的性質求出 a、 化成關于 【解答】解： +|b 1|=0， a=4， b=1， 則原方程為 x+1=0， 該一元二次方程有實數根， =16 4k 0， 解得， k 4 方程 ax+b=0是一元二次方程， k 0， 故答案為 k 4且 k 0 【點評】本題考查了根的判別式，利用判別式得到關于 16某城市居民最低生活保障在 2009年是 240元，經過連續(xù)兩年的增加，到 2011年提高到 該城市兩年來最低生活保障的平均年增長率是 20% 【考點】一元二次方程的應用 【專題】增長率問題；壓軸題 【分析】設該城市兩年來最低生活保障的平均年增長率是 x，根據最低生活保障在 2009年是 240元，經過連續(xù)兩年的增加，到 2011 年提高到 列出方程求解 【解答】解：設該城市兩年來最低生活保障的平均年增長率是 x， 240（ 1+x） 2= 1+x= x=20%或 x= 220%（舍去） 故答案為： 20% 【點評】本題考查的是增長率問題，關鍵清楚增長前為 240元，兩年變化后為 ，從而求出解 第 11頁（共 16頁） 17三角 形兩邊的長是 3和 4，第三邊的長是方程 12x+35=0的根，則該三角形的周長為 12 【考點】解一元二次方程 角形三邊關系 【分析】先解一元二次方程，由于未說明兩根哪個是腰哪個是底，故需分情況討論，從而得到其周長 【解答】解：解方程 12x+35=0， 得 ， ， 1 第三邊 7， 第三邊長為 5， 周長為 3+4+5=12 【點評】此題是一元二次方程的解結合幾何圖形的性質的應用，注意分類討論 18如果關于 2x+m=0（ 兩個相等 實數根，那么 m= 1 【考點】根的判別式 【專題】計算題 【分析】本題需先根據已知條件列出關于 可求出 【解答】解： 2x+m=0（ 兩個相等實數根 =4 2） 2 4 1m=0 4 4m=0 m=1 故答案為： 1 【點評】本題主要考查了根的判別式，在解題時要注意對根的判別式進行靈活應用是本題的關鍵 19已知關于 m 1） x2+x+m 3=0的一個根為 0，那么 3 【考點】一元二次方程的解；一元 二次方程的定義 【分析】根據一元二次方程的定義得到 m 1 0，由方程的解的定義，把 x=0 代入已知方程，列出關于 過解新方程來求 【解答】解： 關于 m 1） x2+x+m 3=0的一個根為 0， m 3=0，且 m 1 0， （ m 1）（ m+3） =0，且 m 1 0， 解得， m= 3， 故答案是： 3 第 12頁（共 16頁） 【點評】本題考查了一元二次方程的解的定義和一元二次方程的定義注意二次項系數不等于零 20在一幅長 50 30風景畫的四周鑲一條金色紙邊， 制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整個規(guī)劃土地的面積是 1800金色紙邊的寬為 么 0x 75=0 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程 【專題】幾何圖形問題 【分析】如果設金色紙邊的寬為 么掛圖的長和寬應該為（ 50+2x）和（ 30+2x），根據總面積即可列出方程 【解答】解：設金色紙邊的寬為 么掛圖的長和寬應該為（ 50+2x）和（ 30+2x）， 根據題意可得出方程為：（ 50+2x）（ 30+2x） =1800， 0x 75=0 【點評】一元二次方程的運用，此類題是看準題型列面積方程，題目不難，重在看準題 三、解答題 21（ 2015秋 大石橋市月考）用指定的方法解方程 （ 1）（ x+2） 2 25=0（直接開平方法） （ 2） x 5=0（配方法） （ 3） 4（ x+3） 2（ x 2） 2=0（因式分解法） （ 4） 2x 1=0（公式法） 【考點】解一元二次方程 一元二次方程 一元二次方程 一元二次方程 【分析】（ 1）把 25 移到等號的右邊，然后利用直接開平方法求解； （ 2）把 5移到等號的右邊，然后等號兩邊同時加上一次項一半的平方，再開方求解； （ 3）直接利用平方差公式把方程左邊分解因式，進而整理為兩個一次因式的乘積，最后解一元一次方程即可； （ 4）首先找出方程中 a、 b和 出 ，進而代入求根公式求出方程的解 第 13頁（共 16頁） 【解答】解：（ 1） （ x+2） 2 25=0， （ x+2） 2=25， x+2= 5， ， 7； （ 2） x 5=0， x+4=9， （ x+2） 2=9， x+2= 3， 5， ； （ 3） 4（ x+3） 2（ x 2） 2=0， 2（ x+3） +（ x 2） 2（ x+3）（ x 2） =0， （ 3x+4）（ x+8） =0， 3x+4=0或 x+8=0， ， 8； （ 4） a=2， b=8， c= 1， =44+8=72， x= = ， ， 【點評】本題考查了一元二次方程的解法解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據方程的特點靈活選用合適的方法 22將 4個數 a， b， c， 行、 2列，兩邊各加一條豎直線記成 ，規(guī)定 =述記號就叫做 2階行列式若 =6，求 【考點】解一元二次方程 【專題】新定義 【分析】根據題意得出方程（ x+1）（ x+1）（ 1 x）（ x 1） =6，整理后用直接開平方法求出即可 【解答】解：根據題意得：（ x+1）（ x+1）（ 1 x）（ x 1） =6， 整理得： 2=6， 第 14頁（共 16頁） ， x= 【點評】本題考查了解一元二次方程的應用，關鍵是能把一元二次方程轉化成一元一次方程 23已知關于 k+3） x+3k=0 （ 1）求證：不論 方程總有實數根 （ 2）若等腰 ，另兩邊長恰好是方程的兩個根，求 【考點】根的判別式；三角形三邊關系；等腰三角形的性質 【分析】（ 1）求出根的判別式，利用偶次方的非負性證明； （ 2）分 、 兩種情況解答 【解答】（ 1）證明： =（ k+3） 2 4 3k=（ k 3） 2 0， 故不論 方程總有實數根； （ 2）解：當 時，方程有兩個相等的實數根， 則（ k 3） 2=0， 解 得 k=3， 方程為 6x+9=0， 解得 x1=， 故 2+3+3=8； 當 時，方程有一根為 2， 方程為 5x+6=0， 解得， ， ， 故 2+2+3=7 【點評】本題考查的是一元二次方程根的判別式、等腰三角形的性質，一元二次方程 bx+c=0（ a 0）的根與 =4 當 0時，方程有兩個不相等的兩個實數根； 當 =0時，方程有兩個相等的兩個實數根； 當 0時，方程無實數根 24某種流感病