高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教程第一講函數(shù)、連續(xù)與極限對(duì)復(fù)習(xí)內(nèi)容要分清主次，突出重點(diǎn)，系統(tǒng)復(fù)習(xí)與重點(diǎn)復(fù)習(xí)相結(jié)合?！皹O限”是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)極為重要的基本概念，無(wú)論是導(dǎo)數(shù)，還是定積分、廣義積分、曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)，乃至無(wú)窮級(jí)數(shù)等概念無(wú)不建立在極限的基礎(chǔ)上，根限是研究微積分的重要工具。但極限的概念與理論只是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，并不是復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，復(fù)習(xí)的重點(diǎn)是高等數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容微分學(xué)與積分學(xué)，特別是一元函數(shù)的微積分，對(duì)微分與積分的基本概念、基本理論、基本運(yùn)算和基本應(yīng)用要多下功夫。考生應(yīng)深刻理解高等數(shù)學(xué)中的基本概念，特別是導(dǎo)數(shù)與微分的定義、原函數(shù)與不定積分的定義、定積分的定義等概念。要熟練掌握基本方法和基本技能，特別是函數(shù)極限的計(jì)算，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分的計(jì)算，不定積分與定積分的計(jì)算，這是高等數(shù)學(xué)中一切運(yùn)算與應(yīng)用的基礎(chǔ)。復(fù)習(xí)中應(yīng)當(dāng)狠抓基本功，從熟記基本公式做起，如基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式，不定積分基本公式。要熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。要熟練掌握計(jì)算不定積分與定積分的基本方法，特別是湊微分法及分部積分法?？碱}中會(huì)有相當(dāng)數(shù)量的關(guān)于導(dǎo)數(shù)與微分，不定積分與定積分的基本計(jì)算題，試題并不難，考生只要達(dá)到上述要求，都能正確解答這些試題。同時(shí)，要高度重視導(dǎo)數(shù)與定積分的應(yīng)用，如利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的性質(zhì)和曲線(xiàn)形狀，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程與法線(xiàn)方程，利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，利用定積分的換元積分法證明等式，利用定積分的幾何應(yīng)用求平面圖形的面積和平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體的體積，以及二元函數(shù)的無(wú)條件極值與條件極值等。3講究學(xué)習(xí)方法，追求學(xué)習(xí)效益。要加強(qiáng)練習(xí)，注重解題思路和解題技巧的訓(xùn)練，對(duì)基本概念、基本理論、基本性質(zhì)進(jìn)行多側(cè)面、多層次、由此及彼、由表及里的辨析。如由導(dǎo)數(shù)與微分的概念推廣到偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念，由不定積分與定積分的概念推廣到二重積分的概念，比較它們之間的異同，分析它們之間的內(nèi)在聯(lián)系與本質(zhì)區(qū)別。只要把這些關(guān)系理清，則可從掌握導(dǎo)線(xiàn)與微分的運(yùn)算上升到掌握偏導(dǎo)數(shù)與全微分的運(yùn)算，從掌握不定積分與定積分的運(yùn)算上升到二重積分的運(yùn)算。學(xué)習(xí)無(wú)窮級(jí)數(shù)時(shí)要注意以極限為工具，判斷無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂性是以L(fǎng)IMNSN是否存在為依據(jù)的，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的必要條件是LIMNUN0此外，正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判定，極限形式的比較判別法、達(dá)朗貝爾比值法，以及求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間，都涉及到極限的計(jì)算。常微分方程可看作是積分的應(yīng)用，求解可分離變量的微分方程時(shí)，在分離變量后需兩邊同時(shí)積分，用公式法或常數(shù)變易法求解一階線(xiàn)性微分方程時(shí)也需求不定積分。4加強(qiáng)練習(xí)，熟悉考題中的各種題型，掌握選擇題、填空題和解答題等不同題型的解題方法與解題技巧。對(duì)基本公式、基本方法、基本技能要進(jìn)行適度、適量的練習(xí)，在做題的過(guò)程中熟悉運(yùn)算公式和運(yùn)算法則，在練習(xí)的過(guò)程中加強(qiáng)理解與記憶。理解和記憶是相輔相承的，在理解中加深記憶，記憶有助于更深入地理解，理解愈深，記憶愈牢。練習(xí)中應(yīng)注意分析與類(lèi)比，掌握思考問(wèn)題和解決問(wèn)題的正確方法。學(xué)會(huì)總結(jié)與歸納，尋求一般性的解題規(guī)律及解題方法，提高解題能力。一、理論要求1函數(shù)概念與性質(zhì)函數(shù)的基本性質(zhì)（單調(diào)、有界、奇偶、周期）幾類(lèi)常見(jiàn)函數(shù)（復(fù)合、分段、反、隱、初等函數(shù)）2極限極限存在性與左右極限之間的關(guān)系夾逼定理和單調(diào)有界定理會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小和羅必達(dá)法則求極限3連續(xù)函數(shù)連續(xù)（左、右連續(xù)）與間斷理解并會(huì)應(yīng)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最值、有界、介值）二、題型與解法A極限的求法（1）用定義求（2）代入法（對(duì)連續(xù)函數(shù)，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）變量替換法（4）兩個(gè)重要極限法（5）用夾逼定理和單調(diào)有界定理求（6）等價(jià)無(wú)窮小量替換法（7）洛必達(dá)法則與TAYLOR級(jí)數(shù)法（8）其他（微積分性質(zhì)，數(shù)列與級(jí)數(shù)的性質(zhì)）1（等價(jià)小量與洛必達(dá)）612ARCTNLIM21LNARCTI3030XXX2已知2030LI6SIXFFXX，求解20303COSLIILYFXFX720632163COS1LIM2SINLIM0YYXYXXX（洛必達(dá)）3LI2LILI0020XXF3（重要極限）11LIMX4已知A、B為正常數(shù)，XXBA302LIM求解令2LNLNL,23XXXTT（變量替換）2/300L3LLLINLIMABTABBAXXXX51LN02COSLIXX解令LNCOS1L,21LN2XTTX（變量替換）/00ALIMLIETTXX6設(shè)連續(xù)，求F0,FF1LIM022XXDTF（洛必達(dá)與微積分性質(zhì)）7已知在X0連續(xù)，求A0,LNCOS2XAF解令（連續(xù)性的概念）/1/LIM2X三、補(bǔ)充習(xí)題（作業(yè)）1（洛必達(dá)）3COS1LIM0XEXX2（洛必達(dá)或TAYLOR）INLI0TGX3（洛必達(dá)與微積分性質(zhì)）1LI20XTXED第二講導(dǎo)數(shù)、微分及其應(yīng)用一、理論要求1導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分的概念、幾何意義、物理意義會(huì)求導(dǎo)（基本公式、四則、復(fù)合、高階、隱、反、參數(shù)方程求導(dǎo)）會(huì)求平面曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法線(xiàn)方程2微分中值定理理解ROLL、LAGRANGE、CAUCHY、TAYLOR定理會(huì)用定理證明相關(guān)問(wèn)題3應(yīng)用會(huì)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性與極最值、凹凸性、漸進(jìn)線(xiàn)問(wèn)題，能畫(huà)簡(jiǎn)圖會(huì)計(jì)算曲率（半徑）二、題型與解法基本公式、四則、復(fù)合、高階、隱函數(shù)、參數(shù)方程求導(dǎo)A導(dǎo)數(shù)微分的計(jì)算1決定，求52ARCTNEYXY由DXY2決定，求SIL3由1|0X解兩邊微分得X0時(shí)，將X0代入等式得Y1YXYCO3決定，則XYY2由DXDX2LN|0B曲線(xiàn)切法線(xiàn)問(wèn)題4求對(duì)數(shù)螺線(xiàn)處切線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程。/,/EE（），在（解1|,0|,SINCO2/2/2/YYXEYX2/5FX為周期為5的連續(xù)函數(shù)，它在X1可導(dǎo)，在X0的某鄰域內(nèi)滿(mǎn)足F1SINX3F1SINX8XOX。求FX在（6，F(xiàn)6）處的切線(xiàn)方程。解需求，等式取X0的極限有F101,6,FF或6218413LIMSINI10SINXYFFTFFTXTXC導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問(wèn)題6已知，XEFFXY2滿(mǎn)足對(duì)一切，求點(diǎn)的性質(zhì)。00XF若,0Y解令，故為極小值點(diǎn)。0,0100XEXFX代入，7，求單調(diào)區(qū)間與極值、凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)、漸進(jìn)線(xiàn)。231XY解定義域,1斜鉛垂；拐點(diǎn)及駐點(diǎn)2003XYXY8求函數(shù)的單調(diào)性與極值、漸進(jìn)線(xiàn)。EXARCTN2/1解，10ARCTN2/2XYX與駐點(diǎn)YXE與漸D冪級(jí)數(shù)展開(kāi)問(wèn)題9XDTD022SINSINXNNXNNNNXXXDTDTTXTXTXDTTXTTTX0212624732141712622SI1SINI1SINI或20202SINSISINXDUXDUDXUTX10求1L2FF階導(dǎo)數(shù)處的在解213LN222NNXOXX213543NNXO210NFNE不等式的證明11設(shè)，,X21LN12L1L2XX，求證（證1）令0,NGG；得證。單調(diào)下降，單調(diào)下降單調(diào)下降，時(shí)0,0,101L,2XGXGXG2）令單調(diào)下降，得證。,1,LNHHF中值定理問(wèn)題12設(shè)函數(shù)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，1，在XF1,0FF，求證在（1，1）上存在一點(diǎn)0F3，使證2310XFXFXFX其中,將X1，X1代入有61021021FFF兩式相減621FF32121F，13，求證2EBA4LN22ABEB證FAFLGRN令LL,L22BXF令222LN0LN1,LNEETT（關(guān)鍵構(gòu)造函數(shù)）4L22ABEB三、補(bǔ)充習(xí)題（作業(yè)）1230,1LN2YXXF求2曲線(xiàn)01,COSIXYTEYT處切線(xiàn)為在3EX01LN的漸進(jìn)線(xiàn)方程為4證明X0時(shí)221L證令32221,LNXGXXXG0101G，0,102,GXX第三講不定積分與定積分一、理論要求1不定積分掌握不定積分的概念、性質(zhì)（線(xiàn)性、與微分的關(guān)系）會(huì)求不定積分（基本公式、線(xiàn)性、湊微分、換元技巧、分部）2定積分理解定積分的概念與性質(zhì)理解變上限定積分是其上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)求法會(huì)求定積分、廣義積分會(huì)用定積分求幾何問(wèn)題（長(zhǎng)、面、體）會(huì)用定積分求物理問(wèn)題（功、引力、壓力）及函數(shù)平均值二、題型與解法A積分計(jì)算1CXXDXD2ARCSIN242XEDEEEXTANT1TAN2223設(shè)，求XFLDF解EDFX1LNCEXDEXXXXX1LNL4112122L4LIM|ARCTNARCTNBDDB積分性質(zhì)5連續(xù)，,且，求并討論XF10DXFAXF0X在的連續(xù)性。解XDYFXTYF0,002/0LIM2020AXDFFXX6XTDFTTFD02022YDXC積分的應(yīng)用7設(shè)在0，1連續(xù)，在（0，1）上，且F0XF，又與X1,Y0所圍面積S2。求，23XAFXF且A時(shí)S繞X軸旋轉(zhuǎn)體積最小。解102422ACDXFCXFFD25143YVXAF8曲線(xiàn)，過(guò)原點(diǎn)作曲線(xiàn)的切線(xiàn)，求曲線(xiàn)、切線(xiàn)與X軸所圍圖Y形繞X軸旋轉(zhuǎn)的表面積。解切線(xiàn)繞X軸旋轉(zhuǎn)的表面積為2/Y520YDS曲線(xiàn)繞X軸旋轉(zhuǎn)的表面積為1161總表面積為56三、補(bǔ)充習(xí)題（作業(yè)）1CXXDXCOT2SINLCOTSINL2213653DXARCSI第四講向量代數(shù)、多元函數(shù)微分與空間解析幾何一、理論要求1向量代數(shù)理解向量的概念（單位向量、方向余弦、模）了解兩個(gè)向量平行、垂直的條件向量計(jì)算的幾何意義與坐標(biāo)表示2多元函數(shù)微分理解二元函數(shù)的幾何意義、連續(xù)、極限概念，閉域性質(zhì)理解偏導(dǎo)數(shù)、全微分概念能熟練求偏導(dǎo)數(shù)、全微分熟練掌握復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)法3多元微分應(yīng)用理解多元函數(shù)極值的求法，會(huì)用LAGRANGE乘數(shù)法求極值4空間解析幾何掌握曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面、曲面的切平面與法線(xiàn)的求法會(huì)求平面、直線(xiàn)方程與點(diǎn)線(xiàn)距離、點(diǎn)面距離二、題型與解法A求偏導(dǎo)、全微分1有二階連續(xù)偏導(dǎo)，滿(mǎn)足，求XFSINYEFZXZEZXYX2解UUECFF2102YXZXYFXZ1，求3，求決定由0,FFZYDXZ/B空間幾何問(wèn)題4求上任意點(diǎn)的切平面與三個(gè)坐標(biāo)軸的截距之和。AZYX解ADZ000/5曲面在點(diǎn)處的法線(xiàn)方程。2132YX,C極值問(wèn)題6設(shè)是由確定的函數(shù)，,Z01826ZYXY求的極值點(diǎn)與極值。YX三、補(bǔ)充習(xí)題（作業(yè)）1YXZGYXFZ2,求2F求,3DZXYYXUZ求,ARCTN,LN,2第五講多元函數(shù)的積分一、理論要求1重積分熟悉二、三重積分的計(jì)算方法（直角、極、柱、球）DRBAXYRDFDYXYF21,VRZZZBAXYYXDRFDRZFXYZF21,212,21,SIN,會(huì)用重積分解決簡(jiǎn)單幾何物理問(wèn)題（體積、曲面面積、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）DYXZAYXFZ2,2曲線(xiàn)積分理解兩類(lèi)曲線(xiàn)積分的概念、性質(zhì)、關(guān)系，掌握兩類(lèi)曲線(xiàn)積分的計(jì)算方法LTTBAXDRRFRYTXTYXLYFDLYXF22SIN,CO1,熟悉GREEN公式，會(huì)用平面曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的條件3曲面積分理解兩類(lèi)曲面積分的概念（質(zhì)量、通量）、關(guān)系熟悉GAUSS與STOKES公式，會(huì)計(jì)算兩類(lèi)曲面積分LSSVDXYYXYXZSDFRDTOKESEGAUDZYZFZF旋度）通量，散度）1,2,二、題型與解法A重積分計(jì)算1為平面曲線(xiàn)繞Z軸旋轉(zhuǎn)一周與Z8,2DVYXI02XY的圍域。解3102420802280ZZYXRDDZXYDI2為與DDA,4222AXA圍域。（XY16I3，其他,00,21,2XYXYF求49/20DDF2B曲線(xiàn)、曲面積分4LXXDYAEYBEICOSSIN0,20,OAA至沿從解令A(yù)YO至沿從132201ABDXBDXYABIADL5,。LYXDI24為半徑的圓周正向?yàn)橹行?，為?0,1R解取包含0,0的正向，SINCORYXL1110LLL6對(duì)空間X0內(nèi)任意光滑有向閉曲面S，且在X0有連續(xù)02SXZDYEXYFDZXFXF一階導(dǎo)數(shù)，,求。1LIM0XF解SXDVEFXFFDVFSD02112XXEYEYX第六講常微分方程一、理論要求1一階方程熟練掌握可分離變量、齊次、一階線(xiàn)性、伯努利方程求法2高階方程會(huì)求,YPYFXPYXFYFYN3二階線(xiàn)性常系數(shù)齊次SINCO00211221122XEYIXQQP非齊次XNXNEQYANDRPXF2212非齊,MAXSICOSICOS2JIXRXQEYIPPEFNNJIX次二、題型與解法A微分方程求解1求通解。（0223DYXDYX3CY2利用代換化簡(jiǎn)并求通解。XUOSXEYXYCOS3SIN（）ECCE5I2,413設(shè)是上凸連續(xù)曲線(xiàn)，處曲率為，且過(guò)處XY,YX21Y1,0切線(xiàn)方程為YX1，求及其極值。Y解2LN1,2LN1|4COS|LN01MAX2YXY三、補(bǔ)充習(xí)題（作業(yè)）1已知函數(shù)在任意點(diǎn)處的增量。）XY1,0,12YXOY求4E2求的通解。（）E24XXECEY2143求的通解。（）0,0XDYX12XY4求的特解。（,2YEE31第七講無(wú)窮級(jí)數(shù)一、理論要求1收斂性判別級(jí)數(shù)斂散性質(zhì)與必要條件常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、幾何級(jí)數(shù)、P級(jí)數(shù)斂散條件正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較、比值、根式判別法交錯(cuò)級(jí)數(shù)判別法2冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間與收斂域的求法冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間的基本性質(zhì)（和函數(shù)連續(xù)、逐項(xiàng)微積分）TAYLOR與MACLAULIN展開(kāi)3FOURIER級(jí)數(shù)了解FOURIER級(jí)數(shù)概念與DIRICHLET收斂定理會(huì)求的FOURIER級(jí)數(shù)與正余弦級(jí)數(shù),L,0L第八講線(xiàn)性代數(shù)一、理論要求1行列式會(huì)用按行（列）展開(kāi)計(jì)算行列式2矩陣幾種矩陣（單位、數(shù)量、對(duì)角、三角、對(duì)稱(chēng)、反對(duì)稱(chēng)、逆、伴隨）矩陣加減、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置，方陣的冪、方陣乘積的行列式矩陣可逆的充要條件，會(huì)用伴隨矩陣求逆矩陣初等變換、初等矩陣、矩陣等價(jià)用初等變換求矩陣的秩與逆理解并會(huì)計(jì)算矩陣的特征值與特征向量理解相似矩陣的概念、性質(zhì)及矩陣對(duì)角化的沖要條件掌握將矩陣化為相似對(duì)角矩陣的方法掌握實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)3向量理解N維向量、向量的線(xiàn)性組合與線(xiàn)性表示掌握線(xiàn)性相關(guān)、線(xiàn)性無(wú)關(guān)的判別理解并向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組和向量組的秩了解基變換與坐標(biāo)變換公式、過(guò)渡矩陣、施密特方法了解規(guī)范正交基、正交矩陣的概念與性質(zhì)4線(xiàn)性方程組理解齊次線(xiàn)性方程組有非零解與非齊次線(xiàn)性方程組有解條件理解齊次、非齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系及通解掌握用初等行變換求解線(xiàn)性方程組的方法5二次型二次型及其矩陣表示，合同矩陣與合同變換二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形及慣性定理掌握用正交變換、配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法了解二次型的對(duì)應(yīng)矩陣的正定性及其判別法第九講概率統(tǒng)計(jì)初步一、理論要求1隨機(jī)事件與概率了解樣本空間（基本事件空間）的概念，理解隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算會(huì)計(jì)算古典型概率與幾何型概率掌握概率的加減、乘、全概率與貝葉斯公式2隨機(jī)變量與分布理解隨機(jī)變量與分布的概念理解分布函數(shù)、離散型隨機(jī)變量、連續(xù)型變量的概率密度掌握01、二項(xiàng)、超幾何、泊松、均勻、正態(tài)、指數(shù)分布，會(huì)求分布函數(shù)3二維隨機(jī)變量理解二維離散、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布、邊緣分布和條件分布理解隨機(jī)變量的獨(dú)立性及不相關(guān)概念掌握二維均勻分布、了解二維正態(tài)分布的概率密度會(huì)求兩個(gè)隨機(jī)變量簡(jiǎn)單函數(shù)的分布4數(shù)字特征理解期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、矩、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的概念掌握常用分布函數(shù)的數(shù)字特征，會(huì)求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望5大數(shù)定理了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫、伯努利、辛欽大數(shù)定理了解隸莫弗LAPLACE定理與列維林德伯格定理6數(shù)理統(tǒng)計(jì)概念理解總體、簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本、統(tǒng)計(jì)量、樣本均值、樣本方差及樣本矩了解分布、T分布、F分布的概念和性質(zhì)，了解分位數(shù)的概念2了解正態(tài)分布的常用抽樣分布7參數(shù)估計(jì)掌握矩估計(jì)與極大似然估計(jì)法了解無(wú)偏性、有效性與一致性的概念，會(huì)驗(yàn)證估計(jì)量的無(wú)偏性會(huì)求單個(gè)正態(tài)總體的均