整數(shù)的問題整數(shù)是最基本的數(shù)，它產(chǎn)生了許多有趣的數(shù)學(xué)問題在中、小學(xué)生的數(shù)學(xué)競賽中，有關(guān)整數(shù)的問題占有重要的地位我們除了從課本上學(xué)習(xí)整數(shù)知識以外，還必須通過課外活動來補(bǔ)充一些整數(shù)的知識，以及解決問題的思路和方法。對于兩位、三位或者更多位的整數(shù)，有時要用下面的方法來表示494109，23521003105，7064710006104，就是一、整除整除是整數(shù)問題中一個重要的基本概念如果整數(shù)A除以自然數(shù)B，商是整數(shù)且余數(shù)為0，我們就說A能被B整除，或B能整除A，或B整除A，記作B丨A此時，B是A的一個因數(shù)（約數(shù)），A是B的倍數(shù)1整除的性質(zhì)性質(zhì)1如果A和B都能被M整除，那么AB，AB也都能被M整除（這里設(shè)AB）例如3丨18，3丨12，那么3丨（1812），3丨（1812）性質(zhì)2如果A能被B整除，B能被C整除，那么A能被C整除。例如3丨6，6丨24，那么3丨24性質(zhì)3如果A能同時被M、N整除，那么A也一定能被M和N的最小公倍數(shù)整除例如6丨36，9丨26，6和9的最小公倍數(shù)是18，18丨36如果兩個整數(shù)的最大公約數(shù)是1，那么它們稱為互質(zhì)的例如7與50是互質(zhì)的，18與91是互質(zhì)的性質(zhì)4整數(shù)A，能分別被B和C整除，如果B與C互質(zhì)，那么A能被BC整除例如72能分別被3和4整除，由3與4互質(zhì)，72能被3與4的乘積12整除性質(zhì)4中，“兩數(shù)互質(zhì)”這一條件是必不可少的72分別能被6和8整除，但不能被乘積48整除，這就是因?yàn)?與8不互質(zhì)，6與8的最大公約數(shù)是2性質(zhì)4可以說是性質(zhì)3的特殊情形因?yàn)锽與C互質(zhì)，它們的最小公倍數(shù)是BC事實(shí)上，根據(jù)性質(zhì)4，我們常常運(yùn)用如下解題思路要使A被BC整除，如果B與C互質(zhì)，就可以分別考慮，A被B整除與A被C整除能被2，3，4，5，8，9，11整除的數(shù)都是有特征的，我們可以通過下面講到的一些特征來判斷許多數(shù)的整除問題2數(shù)的整除特征（1）能被2整除的數(shù)的特征如果一個整數(shù)的個位數(shù)是偶數(shù)，那么它必能被2整除（2）能被5整除的數(shù)的特征如果一個整數(shù)的個位數(shù)字是0或5，那么它必能被5整除（3）能被3（或9）整除的數(shù)的特征如果一個整數(shù)的各位數(shù)字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除（4）能被4（或25）整除的數(shù)的特征如果一個整數(shù)的末兩位數(shù)能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除（5）能被8（或125）整除的數(shù)的特征如果一個整數(shù)的末三位數(shù)能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除（6）能被11整除的數(shù)的特征如果一個整數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的差（大減?。┠鼙?1整除，那么它必能被11整除是什么數(shù)字解1829，并且2與9互質(zhì)，根據(jù)前面的性質(zhì)4，可以分別考慮被2和9整除要被2整除，B只能是0，2，4，6，8再考慮被9整除，四個數(shù)字的和就要被9整除，已有7411如果B0，只有A7，此數(shù)是7740；如果B2，只有A5，此數(shù)是7542；如果B4，只有A3，此數(shù)是7344；如果B6，只有A1，此數(shù)是7146；如果B8，只有A8，此數(shù)是7848因此其中最小數(shù)是7146根據(jù)不同的取值，分情況進(jìn)行討論，是解決整數(shù)問題常用辦法，例1就是一個典型例2一本老賬本上記著72只桶，共679元，其中處是被蟲蛀掉的數(shù)字，請把這筆賬補(bǔ)上解把679寫成整數(shù)679，它應(yīng)被72整除7298，9與8又互質(zhì)按照前面的性質(zhì)4，只要分別考慮679被8和被9整除從被8整除的特征，79要被8整除，因此B2從6792能被9整除，按照被9整除特征，各位數(shù)字之和24能被9整除，因此A3這筆帳是36792元例3在1，2，3，4，5，6六個數(shù)字中選出盡可能多的不同數(shù)字組成一個數(shù)（有些數(shù)字可以重復(fù)出現(xiàn)），使得能被組成它的每一個數(shù)字整除，并且組成的數(shù)要盡可能小解如果選數(shù)字5，組成數(shù)的最后一位數(shù)字就必須是5，這樣就不能被偶數(shù)2，4，6整除，也就是不能選2，4，6為了要選的不同數(shù)字盡可能多，我們只能不選5，而選其他五個數(shù)字1，2，3，4，61234616，為了能整除3和6，所用的數(shù)字之和要能被3整除，只能再添上一個2，16218能被3整除為了盡可能小，又要考慮到最后兩位數(shù)能被4整除組成的數(shù)是122364例4四位數(shù)74能被55整除，求出所有這樣的四位數(shù)解55511，5與11互質(zhì)，可以分別考慮被5與11整除要被5整除，個位數(shù)只能是0或5再考慮被11整除（74）（百位數(shù)字0）要能被11整除，百位數(shù)字只能是0，所得四位數(shù)是7040（74）（百位數(shù)字5）要能被11整除，百位數(shù)字只能是6（零能被所有不等于零的整數(shù)整除），所得四位數(shù)是7645滿足條件的四位數(shù)只有兩個7040，7645例5一個七位數(shù)的各位數(shù)字互不相同，并且它能被11整除，這樣的數(shù)中，最大的是哪一個，要使它被11整除，要滿足（975B）（86A）（21B）（14A）能被11整除，也就是7BA要能被11整除，但是A與B只能是0，1，2，3，4中的兩個數(shù)，只有B4，A0，滿足條件的最大七位數(shù)是9876504再介紹另一種解法先用各位數(shù)字均不相同的最大的七位數(shù)除以11（參見下頁除式）要滿足題目的條件，這個數(shù)是9876543減6，或者再減去11的倍數(shù)中的一個數(shù)，使最后兩位數(shù)字是0，1，2，3，4中的兩個數(shù)字43637，371126，261115，15114，因此這個數(shù)是9876504思考題如果要求滿足條件的數(shù)最小，應(yīng)如何去求，是哪一個數(shù)呢（答1023495）例6某個七位數(shù)1993能被2，3，4，5，6，7，8，9都整除，那么它的最后三個數(shù)字組成的三位數(shù)是多少與上例題一樣，有兩種解法解一從整除特征考慮這個七位數(shù)的最后一位數(shù)字顯然是0另外，只要再分別考慮它能被9，8，7整除199322，要被9整除，十位與百位的數(shù)字和是5或14，要被8整除，最后三位組成的三位數(shù)要能被8整除，因此只可能是下面三個數(shù)1993500，1993320，1993680，其中只有199320能被7整除，因此所求的三位數(shù)是320解二直接用除式來考慮2，3，4，5，6，7，8，9的最小公倍數(shù)是2520，這個七位數(shù)要被2520整除現(xiàn)在用1993000被2520來除，具體的除式如下因?yàn)?5202200320，所以19930003201993320能被2520整除例7下面這個41位數(shù)能被7整除，中間方格代表的數(shù)字是幾解因?yàn)?1111137111337，所以5555555111111和9999999111111都能被7整除這樣，18個5和18個9分別組成的18位數(shù)，也都能被7整除右邊的三個加數(shù)中，前、后兩個數(shù)都能被7整除，那么只要中間的5599能被7整除，原數(shù)就能被7整除把5599拆成兩個數(shù)的和55A00B99，其中AB因?yàn)?丨55300，7丨399，所以336注意，記住111111能被7整除是很有用的例8甲、乙兩人進(jìn)行下面的游戲兩人先約定一個整數(shù)N然后，由甲開始，輪流把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十個數(shù)字之一填入下面任一個方格中每一方格只填一個數(shù)字，六個方格都填上數(shù)字（數(shù)字可重復(fù)）后，就形成一個六位數(shù)如果這個六位數(shù)能被N整除，就算乙勝；如果這個六位數(shù)不能被N整除，就算甲勝如果N小于15，當(dāng)N取哪幾個數(shù)時，乙能取勝解N取偶數(shù)，甲可以在最右邊方格里填一個奇數(shù)（六位數(shù)的個位），就使六位數(shù)不能被N整除，乙不能獲勝N5，甲可以在六位數(shù)的個位，填一個不是0或5的數(shù)，甲就獲勝上面已經(jīng)列出乙不能獲勝的N的取值如果N1，很明顯乙必獲勝如果N3或9，那么乙在填最后一個數(shù)時，總是能把六個數(shù)字之和，湊成3的整數(shù)倍或9的整數(shù)倍因此，乙必能獲勝考慮N7，11，13是本題最困難的情況注意到100171113，乙就有一種必勝的辦法我們從左往右數(shù)這六個格子，把第一與第四，第二與第五，第三與第六配對，甲在一對格子的一格上填某一個數(shù)字后，乙就在這一對格子的另一格上填同樣的數(shù)字，這就保證所填成的六位數(shù)能被1001整除根據(jù)前面講到的性質(zhì)2，這個六位數(shù)，能被7，11或13整除，乙就能獲勝綜合起來，使乙能獲勝的N是1，3，7，9，11，13記住，100171113，在數(shù)學(xué)競賽或者做智力測驗(yàn)題時，常常是有用的二、分解質(zhì)因數(shù)一個整數(shù)，它的約數(shù)只有1和它本身，就稱為質(zhì)數(shù)（也叫素數(shù)）例如，2，5，7，101，一個整數(shù)除1和它本身外，還有其他約數(shù)，就稱為合數(shù)例如，4，12，99，501，1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)也可以換一種說法，恰好只有兩個約數(shù)的整數(shù)是質(zhì)數(shù)，至少有3個約數(shù)的整數(shù)是合數(shù)，1只有一個約數(shù)，也就是它本身質(zhì)數(shù)中只有一個偶數(shù)，就是2，其他質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)但是奇數(shù)不一定是質(zhì)數(shù)，例如，15，33，例9（）209在、中各填一個質(zhì)數(shù)，使上面算式成立解209可以寫成兩個質(zhì)數(shù)的乘積，即2091119不論中填11或19，一定是奇數(shù)，那么與是一個奇數(shù)一個偶數(shù)，偶質(zhì)數(shù)只有2，不妨假定內(nèi)填2當(dāng)填19，要填9，9不是質(zhì)數(shù)，因此填11，而填17這個算式是11（172）209，11（217）209解例9的首要一步是把209分解成兩個質(zhì)數(shù)的乘積把一個整數(shù)分解成若干個整數(shù)的乘積，特別是一些質(zhì)數(shù)的乘積，是解決整數(shù)問題的一種常用方法，這也是這一節(jié)所講述的主要內(nèi)容一個整數(shù)的因數(shù)中，為質(zhì)數(shù)的因數(shù)叫做這個整數(shù)的質(zhì)因數(shù)，例如，2，3，7，都是42的質(zhì)因數(shù)，6，14也是42的因數(shù)，但不是質(zhì)因數(shù)任何一個合數(shù)，如果不考慮因數(shù)的順序，都可以唯一地表示成質(zhì)因數(shù)乘積的形式，例如360222335還可以寫成36023325這里23表示3個2相乘，32表示2個3相乘在23中，3稱為2的指數(shù)，讀作2的3次方，在32中，2稱為3的指數(shù)，讀作3的2次方例10有四個學(xué)生，他們的年齡恰好是一個比一個大1歲，而他們的年齡的乘積是5040，那么，他們的年齡各是多少解我們先把5040分解質(zhì)因數(shù)5040243257再把這些質(zhì)因數(shù)湊成四個連續(xù)自然數(shù)的乘積24325778910所以，這四名學(xué)生的年齡分別是7歲、8歲、9歲和10歲利用合數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解式，不難求出該數(shù)的約數(shù)個數(shù)（包括1和它本身）為尋求一般方法，先看一個簡單的例子我們知道24的約數(shù)有8個1，2，3，4，6，8，12，24對于較大的數(shù)，如果一個一個地去找它的約數(shù)，將是很麻煩的事因?yàn)?4233，所以24的約數(shù)是23的約數(shù)（1，2，22，23）與3的約數(shù)（1，3）之間的兩兩乘積11，13，21，23，221，223，231，233這里有428個，即（31）（11）個，即對于24233中的23，有（31）種選擇1，2，22，23，對于3有（11）種選擇因此共有（31）（11）種選擇這個方法，可以運(yùn)用到一般情形，例如，1442432因此144的約數(shù)個數(shù)是（41）（21）15（個）例11在100至150之間，找出約數(shù)個數(shù)是8的所有整數(shù)解有871；8（31）（11）兩種情況（1）27128，符合要求，37150，所以不再有其他7次方的數(shù)符合要求（2）238，813104，817136，符合要求3327；只有275135符合要求53135，它乘以任何質(zhì)數(shù)都大于150，因此共有4個數(shù)合要求128，104，135，136利用質(zhì)因數(shù)的分解可以求出若干個整數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)先把它們各自進(jìn)行質(zhì)因數(shù)分解，例如72024325，1682337那么每個公共質(zhì)因數(shù)的最低指數(shù)次方的乘積就是最大公約數(shù)，上面兩個整數(shù)都含有質(zhì)因數(shù)2，較低指數(shù)次方是23，類似地都含有3，因此720與168的最大公約數(shù)是23324在求最小公倍數(shù)時，很明顯每個質(zhì)因數(shù)的最高指數(shù)次方的乘積是最小公倍數(shù)請注意720中有5，而168中無5，可以認(rèn)為較高指數(shù)次方是515720與168的最小公倍數(shù)是2432575040例12兩個數(shù)的最小公倍數(shù)是180，最大公約數(shù)是30，已知其中一個數(shù)是90，另一個數(shù)是多少解18022325，30235對同一質(zhì)因數(shù)來說，最小公倍數(shù)是在兩數(shù)中取次數(shù)較高的，而最大公約數(shù)是在兩數(shù)中取次數(shù)較低的，從22與2就知道，一數(shù)中含22，另一數(shù)中含2；從32與3就知道，一數(shù)中含32，另一數(shù)中含3，從一數(shù)是902325就知道另一數(shù)是223560還有一種解法另一數(shù)一定是最大公約數(shù)30的整數(shù)倍，也就是在下面這些數(shù)中去找30，60，90，120，這就需要逐一檢驗(yàn)，與90的最小公倍數(shù)是否是180，最大公約數(shù)是否是30現(xiàn)在碰巧第二個數(shù)60就是逐一去檢驗(yàn)，有時會較費(fèi)力例13有一種最簡真分?jǐn)?shù)，它們的分子與分母的乘積都是420如果把所有這樣的分?jǐn)?shù)從小到大排列，那么第三個分?jǐn)?shù)是多少解把420分解質(zhì)因數(shù)42022357為了保證分子、分母不能約分（否則約分后，分子與分母的乘積不再是420了），相同質(zhì)因數(shù)（上面分解中的2），要么都在分子，要么都在分母，并且分子應(yīng)小于分母分子從小到大排列是1，3，4，5，7，12，15，20分子再大就要超過分母了，它們相應(yīng)的分?jǐn)?shù)是兩個整數(shù)，如果它們的最大公約數(shù)是1就稱這兩個數(shù)是互質(zhì)的例13實(shí)質(zhì)上是把420分解成兩個互質(zhì)的整數(shù)利用質(zhì)因數(shù)分解，把一個整數(shù)分解成若干個整數(shù)的乘積，是非常基本又是很有用的方法，再舉三個例題例14將8個數(shù)6，24，45，65，77，78，105，110分成兩組，每組4個數(shù)，并且每組4個數(shù)的乘積相等，請寫出一種分組解要想每組4個數(shù)的乘積相等，就要讓每組的質(zhì)因數(shù)一樣，并且相同質(zhì)因數(shù)的個數(shù)也一樣才行把8個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)623，24233，45325，65513，77711，782313，105357，1102511先放指數(shù)最高的質(zhì)因數(shù)，把24放在第一組，為了使第二組里也有三個2的因子，必須把6，78，110放在第二組中，為了平衡質(zhì)因數(shù)11和13，必須把77和65放在第一組中看質(zhì)因數(shù)7，105應(yīng)放在第二組中，45放在第一組中，得到第一組24，65，77，45第二組6，78，110，105在講述下一例題之前，先介紹一個數(shù)學(xué)名詞完全平方數(shù)一個整數(shù)，可以分解成相同的兩個整數(shù)的乘積，就稱為完全平方數(shù)例如422，933，1441212，62525254，9，144，625都是完全平方數(shù)一個完全平方數(shù)寫出質(zhì)因數(shù)分解后，每一個質(zhì)因數(shù)的次數(shù)，一定是偶數(shù)例如1443242，1002252，例15甲數(shù)有9個約數(shù)，乙數(shù)有10個約數(shù)，甲、乙兩數(shù)最小公倍數(shù)是2800，那么甲數(shù)和乙數(shù)分別是多少解一個整數(shù)被它的約數(shù)除后，所得的商也是它的約數(shù)，這樣的兩個約數(shù)可以配成一對只有配成對的兩個約數(shù)相同時，也就是這個數(shù)是完全平方數(shù)時，它的約數(shù)的個數(shù)才會是奇數(shù)因此，甲數(shù)是一個完全平方數(shù)280024527在它含有的約數(shù)中是完全平方數(shù)，只有1，22，24，52，2252，2452在這6個數(shù)中只有2252100，它的約數(shù)是（21）（21）9（個）2800是甲、乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)，上面已算出甲數(shù)是1002252，因此乙數(shù)至少要含有24和7，而247112恰好有（41）（11）10（個）約數(shù)，從而乙數(shù)就是112綜合起來，甲數(shù)是100，乙數(shù)是112例16小明買紅藍(lán)兩種筆各1支共用了17元兩種筆的單價都是整元，并且紅筆比藍(lán)筆貴小強(qiáng)打算用35元來買這兩種筆（也允許只買其中一種），可是他無論怎么買都不能把35元恰好用完，問紅筆、藍(lán)筆每支各多少元解3557紅、藍(lán)的單價不能是5元或7元（否則能把35元恰好用完），也不能是17512（元）和17710（元），否則另一種筆1支是5元或7元記住對筆價來說，已排除了5，7，10，12這四個數(shù)筆價不能是351718（元）的約數(shù)如果筆價是18的約數(shù)，就能把18元恰好都買成筆，再把17元買兩種筆各一支，這樣就把35元恰好用完了因此筆價不能是18的約數(shù)1，2，3，6，9當(dāng)然也不能是17116，17215，17314，17611，1798現(xiàn)在筆價又排除了1，2，3，6，8，9，11，14，15，16綜合兩次排除，只有4與13未被排除，而41317，就知道紅筆每支13元，藍(lán)筆每支4元三、余數(shù)在整數(shù)除法運(yùn)算中，除了前面說過的“能整除”情形外，更多的是不能整除的情形，例如953，485不能整除就產(chǎn)生了余數(shù)通常的表示是653212，38573上面兩個算式中2和3就是余數(shù)，寫成文字是被除數(shù)除數(shù)商余數(shù)上面兩個算式可以寫成653212，38573也就是被除數(shù)除數(shù)商余數(shù)通常把這一算式稱為帶余除式，它使我們?nèi)菀讖摹坝鄶?shù)”出發(fā)去考慮問題，這正是某些整數(shù)問題所需要的特別要提請注意在帶余除式中，余數(shù)總是比除數(shù)小，這一事實(shí)，解題時常作為依據(jù)例175397被一個質(zhì)數(shù)除，所得余數(shù)是15求這個質(zhì)數(shù)解這個質(zhì)數(shù)能整除5397155382，而53822319971323因?yàn)槌龜?shù)要比余數(shù)15大，除數(shù)又是質(zhì)數(shù)，所以它只能是23當(dāng)被除數(shù)較大時，求余數(shù)的一個簡便方法是從被除數(shù)中逐次去掉除數(shù)的整數(shù)倍，從而得到余數(shù)例18求645763除以7的余數(shù)解可以先去掉7的倍數(shù)630000余15763，再去掉14000還余下1763，再去掉1400余下363，再去掉350余13，最后得出余數(shù)是6這個過程可簡單地記成645763157631763363136如果你演算能力強(qiáng)，上面過程可以更簡單地寫成6457631500010006帶余除法可以得出下面很有用的結(jié)論如果兩個數(shù)被同一個除數(shù)除余數(shù)相同，那么這兩個數(shù)之差就能被那個除數(shù)整除例19有一個大于1的整數(shù)，它除967，1000，2001得到相同的余數(shù)，那么這個整數(shù)是多少解由上面的結(jié)論，所求整數(shù)應(yīng)能整除967，1000，2001的兩兩之差，即100096733311，20011000100171113，2001967103421147這個整數(shù)是這三個差的公約數(shù)11請注意，我們不必求出三個差，只要求出其中兩個就夠了因?yàn)榱硪粋€差總可以由這兩個差得到例如，求出差1000967與20011000，那么差2001967（20011000）（1000967）1001331034從帶余除式，還可以得出下面結(jié)論甲、乙兩數(shù)，如果被同一除數(shù)來除，得到兩個余數(shù)，那么甲、乙兩數(shù)之和被這個除數(shù)除，它的余數(shù)就是兩個余數(shù)之和被這個除數(shù)除所得的余數(shù)例如，57被13除余5，152被13除余9，那么57152209被13除，余數(shù)是5914被13除的余數(shù)1例20有一串?dāng)?shù)排成一行，其中第一個數(shù)是15，第二個數(shù)是40，從第三個數(shù)起，每個數(shù)恰好是前面兩個數(shù)的和，問這串?dāng)?shù)中，第1998個數(shù)被3除的余數(shù)是多少解我們可以按照題目的條件把這串?dāng)?shù)寫出來，再看每一個數(shù)被3除的余數(shù)有什么規(guī)律，但這樣做太麻煩根據(jù)上面說到的結(jié)論，可以采取下面的做法，從第三個數(shù)起，把前兩個數(shù)被3除所得的余數(shù)相加，然后除以3，就得到這個數(shù)被3除的余數(shù)，這樣就很容易算出前十個數(shù)被3除的余數(shù)，列表如下從表中可以看出，第九、第十兩數(shù)被3除的余數(shù)與第一、第二兩個數(shù)被3除的余數(shù)相同因此這一串?dāng)?shù)被3除的余數(shù)，每八個循環(huán)一次，因?yàn)?99882496，所以，第1998個數(shù)被3除的余數(shù)，應(yīng)與第六個數(shù)被3除的余數(shù)一樣，也就是2一些有規(guī)律的數(shù)，常常會循環(huán)地出現(xiàn)我們的計算方法，就是循環(huán)制計算鐘點(diǎn)是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12這十二個數(shù)構(gòu)成一個循環(huán)按照七天一輪計算天數(shù)是日，一，二，三，四，五，六這也是一個循環(huán)，相當(dāng)于一些連續(xù)自然數(shù)被7除的余數(shù)0，1，2，3，4，5，6的循環(huán)用循環(huán)制計算時間鐘表、星期、月、四季，說明人們很早就發(fā)現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象用數(shù)來反映循環(huán)現(xiàn)象也是很自然的事循環(huán)現(xiàn)象，我們還稱作具有“周期性”，12個數(shù)的循環(huán)，就說周期是12，7個數(shù)的循環(huán)，就說周期是7例20中余數(shù)的周期是8研究數(shù)的循環(huán)，發(fā)現(xiàn)周期性和確定周期，是很有趣的事下面我們再舉出兩個余數(shù)出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象的例子在講述例題之前，再講一個從帶余除式得出的結(jié)論甲、乙兩數(shù)被同一除數(shù)來除，得到兩個余數(shù)那么甲、乙兩數(shù)的積被這個除數(shù)除，它的余數(shù)就是兩個余數(shù)的積，被這個除數(shù)除所得的余數(shù)例如，37被11除余4，27被11除余5，3727999被11除的余數(shù)是4520被11除后的余數(shù)9199772852，就知道19971997被7除的余數(shù)是224例21191997被7除余幾解從上面的結(jié)論知道，191997被7除的余數(shù)與21997被7除的余數(shù)相同我們只要考慮一些2的連乘，被7除的余數(shù)先寫出一列數(shù)2，224，2228，222216，然后逐個用7去除，列一張表，看看有什么規(guī)律列表如下事實(shí)上，只要用前一個數(shù)被7除的余數(shù)，乘以2，再被7除，就可以得到后一個數(shù)被7除的余數(shù)（為什么請想一想）從表中可以看出，第四個數(shù)與第一個數(shù)的余數(shù)相同，都是2根據(jù)上面對余數(shù)的計算，就知道，第五個數(shù)與第二個數(shù)余數(shù)相同，因此，余數(shù)是每隔3個數(shù)循環(huán)一輪循環(huán)的周期是3199736652就知道21997被7除的余數(shù)，與21997被7除的余數(shù)相同，這個余數(shù)是4再看一個稍復(fù)雜的例子例2270個數(shù)排成一行，除了兩頭的兩個數(shù)以外，每個數(shù)的三倍都恰好等于它兩邊兩個數(shù)的和這一行最左邊的幾個數(shù)是這樣的0，1，3，8，21，55，問最右邊一個數(shù)（第70個數(shù)）被6除余幾解首先要注意到，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都恰好等于前一個數(shù)的3倍減去再前一個數(shù)3130，8331，21833，552138，不過，真的要一個一個地算下去，然后逐個被6去除，那就太麻煩了能否從前面的余數(shù)，算出后面的余數(shù)呢能同算出這一行數(shù)的辦法一樣（為什么），從第三個數(shù)起，余數(shù)的計算辦法如下將前一個數(shù)的余數(shù)乘3，減去再前一個數(shù)的余數(shù)，然后被6除，所得余數(shù)即是用這個辦法，可以逐個算出余數(shù)，列表如下注意，在算第八個數(shù)的余數(shù)時，要出現(xiàn)031這在小學(xué)數(shù)學(xué)范圍不允許，因?yàn)槲覀兦蟊?除的余數(shù)，所以我們可以03加6再來減1從表中可以看出，第十三、第十四個數(shù)的余數(shù)，與第一、第二個數(shù)的余數(shù)對應(yīng)相同，就知道余數(shù)的循環(huán)周期是127012510因此，第七十個數(shù)被6除的余數(shù)，與第十個數(shù)的余數(shù)相同，也就是4在一千多年前的孫子算經(jīng)中，有這樣一道算術(shù)題“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何”按照今天的話來說一個數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，求這個數(shù)這樣的問題，也有人稱為“韓信點(diǎn)兵”它形成了一類問題，也就是初等數(shù)論中解同余式這類問題的有解條件和解的方法被稱為“中國剩余定理”，這是由中國人首先提出的目前許多小學(xué)數(shù)學(xué)的課外讀物都喜歡講這類問題，但是它的一般解法決不是小學(xué)生能弄明白的這里，我們通過兩個例題，對較小的數(shù)，介紹一種通俗解法例23有一個數(shù)，除以3余2，除以4余1，問這個數(shù)除以12余幾解除以3余2的數(shù)有2，5，8，11，14，17，20，23它們除以12的余數(shù)是2，5，8，11，2，5，8，11，除以4余1的數(shù)有1，5，9，13，17，21，25，29，它們除以12的余數(shù)是1，5，9，1，5，9，一個數(shù)除以12的余數(shù)是唯一的上面兩行余數(shù)中，只有5是共同的，因此這個數(shù)除以12的余數(shù)是5上面解法中，我們逐個列出被3除余2的整數(shù)，又逐個列出被4除余1的整數(shù)，然后逐個考慮被12除的余數(shù)，找出兩者共同的余數(shù)，就是被12除的余數(shù)這樣的列舉的辦法，在考慮的數(shù)不大時，是很有用的，也是同學(xué)們最容易接受的如果我們把例23的問題改變一下，不求被12除的余數(shù)，而是求這個數(shù)很明顯，滿足條件的數(shù)是很多的，它是512整數(shù)，整數(shù)可以取0，1，2，無窮無盡事實(shí)上，我們首先找出5后，注意到12是3與4的最小公倍數(shù)，再加上12的整數(shù)倍，就都是滿足條件的數(shù)這樣就是把“除以3余2，除以4余1”兩個條件合并成“除以12余5”一個條件孫子算經(jīng)提出的問題有三個條件，我們可以先把兩個條件合并成一個然后再與第三個條件合并，就可找到答案例24一個數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合條件的最小數(shù)解先列出除以3余2的數(shù)2，5，8，11，14，17，20，23，26，再列出除以5余3的數(shù)3，8，13，18，23，28，這兩列數(shù)中，首先出現(xiàn)的公共數(shù)是83與5的最小公倍數(shù)是15兩個條件合并成一個就是815整數(shù)，列出這一串?dāng)?shù)是8，23，38，再列出除以7余2的數(shù)2，9，16，23，30，就得出符合題目條件的最小數(shù)是23事實(shí)上，我們已把題目中三個條件合并成一個被105除余23最后再看一個例子例25在100至200之間，有三個連續(xù)的自然數(shù)，其中最小的能被3整除，中間的能被5整除，最大的能被7整除，寫出這樣的三個連續(xù)自然數(shù)解先找出兩個連續(xù)自然數(shù)，第一個能被3整除，第二個能被5整除（又是被3除余1）例如，找出9和10，下一個連續(xù)的自然數(shù)是113和5的最小公倍數(shù)是15，考慮11加15的整數(shù)倍，使加得的數(shù)能被7整除1115356能被7整除，那么54，55，56這三個連續(xù)自然數(shù)，依次分別能被3，5，7整除為了滿足“在100至200之間”將54，55，56分別加上3，5，7的最小公倍數(shù)105所求三數(shù)是159，160，161注意，本題實(shí)際上是求一個數(shù)（100200之間），它被3整除，被5除余4，被7除余5請考慮，本題解法與例24解法有哪些相同之處推理原理解數(shù)學(xué)題，從已知條件到未知的結(jié)論，除了計算外，更重要的一個方面就是推理。通常，我們把主要依靠推理來解的數(shù)學(xué)題稱為推理問題?！纠?】有一座四層樓（圖251），每層樓有3個窗戶，每個窗戶有4塊玻璃，分別是白色和藍(lán)色，每個窗戶代表一個數(shù)字，從左到右表示一個三位數(shù)，四個樓層所表示的三位數(shù)分別是791，275，362，612。那么，第二層樓代表哪個三位數(shù)【分析】仔細(xì)觀察圖251和組成四個三位數(shù)的12個數(shù)字，“2”出現(xiàn)3次，兩次在個位，一次在百位。容易看出圖2（A）代表“2”，再從“6”、“7”都出現(xiàn)兩次，并根據(jù)它們所在的數(shù)位以及與“2”的關(guān)系，可推知圖252中（B）、（C）分別代表“6”和“7”?！窘狻康诙訕谴?12?！纠?】有8個球編號是至，其中有6個球一樣重，另外兩個球都輕1克。為了找出這兩個輕球，用天平稱了3次。結(jié)果如下第一次比重第二次比輕第三次與一樣重，那么，兩個輕球的編號是_和_?！痉治觥繌牡谝淮畏Q的結(jié)果看，、兩球中有一個輕；從第二次稱的結(jié)果看，、兩球中有一個輕；從第三次稱的結(jié)果看，、三球中有一個輕，、三個球中也有一個輕。綜合上面推出的結(jié)果，可找出兩個輕球。【解】兩個輕球的編號是和。說明在上面的推理中，我們省去了一步，也就是排除了、與、中都沒有輕球的那種可能。因?yàn)槿菀子梅醋C法導(dǎo)出“、”都是輕球”這一結(jié)論與第二次稱的結(jié)果相矛盾?！纠?】如圖253，每個正方體的六個面上分別寫著16這六個數(shù)字，并且任意兩個相對的面上所寫的兩個數(shù)字之和都等于7。把這樣的五個正方體一個挨著一個連接起來后，緊挨著的兩個面上兩個數(shù)字之和都等于8。圖3中打“”的這個面上所寫的數(shù)字是_?！痉治觥扛鶕?jù)題意，容易推知拐彎處的那個正方體的右側(cè)面上寫的數(shù)字可能是“2”，也可能是“5”。但用反證法可把第1種情況排除。怎樣排除（留給讀者完成）【解】打“”的這面上寫著“3”。【例4】德國隊(duì)、意大利隊(duì)、荷蘭隊(duì)進(jìn)行一次足球比賽，每隊(duì)與另兩支隊(duì)各賽一場。已知（1）意大利隊(duì)總進(jìn)球數(shù)是0，并且有一場打了平局；（2）荷蘭隊(duì)總進(jìn)球數(shù)是1，總失球數(shù)是2，并且該隊(duì)恰好勝了一場。按規(guī)則勝一場得2分，平一場得1分，負(fù)一場得0分。問德國隊(duì)得了_分?！痉治觥坑蓷l件（2）知，荷蘭隊(duì)勝了一場，而不進(jìn)球是不可能勝的，但它的總進(jìn)球數(shù)只有1，說明這場比賽它以10取勝。又因?yàn)樗偸驍?shù)2，所以另一場比賽以02輸了。再由條件（1）知以20贏荷蘭隊(duì)的不可能是意大利隊(duì)（因?yàn)橐獯罄?duì)沒有進(jìn)球），只可能是德國隊(duì)（記2分）。既然荷蘭隊(duì)輸給德國隊(duì)，那么它勝的一場一定是對意大利隊(duì)，而且比分為10。德、意兩隊(duì)以00踢平（各記1分）?！窘狻康聡?duì)得了3分?！纠?】某樓住著4個女孩和兩個男孩，他們的年齡各不相同，最大的10歲，最小的4歲。最大的男孩比最小的女孩大4歲，最大的女孩比最小的男孩也大4歲。最大的男孩多少歲【分析】最大的孩子（10歲的）不是男孩，就是女孩。如果10歲的孩子是男孩，那么，根據(jù)題意，最小的女孩是6歲（6104），從而，最小的男孩是4歲，再根據(jù)題意，最大的女孩是8歲（844）。這就是說，4個女孩最小的6歲，最大的8歲，其中必有兩個女孩同歲，但這與已知條件“他們的年齡各不相同”矛盾。所以10歲的孩子不是男孩，而是女孩。最?。?歲）的孩子也是女孩?！窘狻孔畲蟮哪泻⑹?48（歲）。在上面的分析中，我們用了這樣的性質(zhì)如果4個自然數(shù)只能取三種不同的值，那么其中必定有兩個數(shù)相等?！纠?】一次象棋比賽共有10名選手參加，他們分別來自甲、乙、丙三個隊(duì)，每個選手都與其余9名選手各賽1盤，每盤棋的勝者得1分，負(fù)者得0分，平局雙方各得05分。結(jié)果，甲隊(duì)選手平均得45分，乙隊(duì)選手平均得36分，丙隊(duì)選手平均得9分。那么，甲、乙、丙三隊(duì)參加比賽的選手人數(shù)各多少【分析】這次比賽共需比9872145（盤）。因?yàn)槊勘P比賽雙方得分的和都是1分（101或0521），所以10名選手的總得分為14545（分）。每個隊(duì)的得分不是整數(shù)，就是“A5”這樣的小數(shù)。由于乙隊(duì)選手平均得36分，36的整數(shù)倍不可能是“A5”這樣的小數(shù)。所以，乙隊(duì)的總得分是18或36。但363610，而三個隊(duì)一共才10名選手（矛盾）。所以，乙隊(duì)的總分是18分，有選手18365（名）。甲、丙兩隊(duì)共有5名選手。由于丙隊(duì)的平均分是9分，這個隊(duì)總分只可能是9分、18分（不可能是27分。因?yàn)?71845，甲隊(duì)選手總得分為0分），丙隊(duì)選手人數(shù)相應(yīng)為1名、2名，甲隊(duì)選手人數(shù)相應(yīng)為4名、3名，經(jīng)試驗(yàn)，甲隊(duì)4名選手，丙隊(duì)1名選手?！纠?】將18這8個自然數(shù)分成兩組，每組四個數(shù)，并使兩組數(shù)之和相等。從A組拿一個數(shù)到B組后，B組的數(shù)之和將是A組剩下三個數(shù)之和的2倍；從B組拿一個數(shù)到A組后，B組剩下的三個數(shù)之和是A組五個數(shù)之【分析】18這8個數(shù)之和為36，分成的兩組每組4個數(shù)之和為36218。第一次拿數(shù)后，A組剩下三數(shù)的和為36（12）12，拿出接下去推就容易了，只要把剩下的1、2、4、5、7、8分成兩組，其中A組另三個數(shù)之和為18612。【解】A組1，4，6，7；B組2，3，5，8。教練員提示語在運(yùn)用試驗(yàn)法（排除法）時，應(yīng)想辦法使試驗(yàn)的次數(shù)盡可能少些，這就需要用足題目所給的已知條件，并有意識地尋找別的限制條件。如例2中“05的整數(shù)倍不是整數(shù)，就是小數(shù)部分為05的帶小數(shù)”，“36的整數(shù)倍不可能是A5這種形式”等。另外，像例2、例3中“總分45分”、“共10名選手”、“A組剩下三數(shù)之和為12”等，都是推理的重要根據(jù)。邏輯推理問題。解這類題通常要借助于表格?！纠?】五封信，信封完全相同，里面分別夾著紅、藍(lán)、黃、白、紫五種顏色的卡片?，F(xiàn)在把它們按順序排成一行，讓A、B、C、D、E五人猜每只信封內(nèi)所裝卡片的顏色。A猜第2封內(nèi)是紫色，第3封是黃色；B猜第2封內(nèi)是藍(lán)色，第4封是紅色；C猜第1封內(nèi)是紅色，第5封是白色；D猜第3封內(nèi)是藍(lán)色，第4封是白色；E猜第2封內(nèi)是黃色，第5封是紫色。然后，拆開信封一看，每人都猜對一種顏色，而且每封都有一人猜中。請你根據(jù)這些條件，再猜猜，每封信中夾什么顏色的卡片【分析】把已知條件簡明地記錄在表格中（如圖271）。選擇其中一只信封作為“突破口”。比如第3封，A猜的是黃色，D猜的卻是藍(lán)色。由已知條件，這只信封內(nèi)的卡片不是藍(lán)色，就是黃色。假如第3封是藍(lán)色，那么逐步推理可導(dǎo)出矛盾白色卡片沒人猜對，見圖271，“白”這欄下面5（）、4（）。這說明假設(shè)不正確，第3封內(nèi)應(yīng)是黃色。由此推出其它各封內(nèi)的顏色（見圖272中的“”）?！纠?】趙、錢、孫、李四人，一個是教師，一個是售貨員，一個是工人，一個是機(jī)關(guān)干部。試根據(jù)以下條件，判斷這四人的職業(yè)。（1）趙和錢是鄰居，每天一起騎車上班；（2）錢比孫年齡大；（3）趙在教李打太極拳；（4）教師每天步行去上班；（5）售貨員的鄰居不是機(jī)關(guān)干部；（6）機(jī)關(guān)干部和工人互不相識；（7）機(jī)關(guān)干部比售貨員和工人年齡都大?！痉治觥坑蓷l件（4）和條件（1）可知趙、錢都不是教師。由條件（2）和條件（7），可推知孫不是干部。如果是的話，錢不是工人或售貨員，錢又不是教師。于是，錢也是干部，矛盾。這樣我們得到下表。下面幾步推理也用表格說明。教練員提示語解邏輯推理問題，需要借助表格，使已知條件及推出的有用結(jié)論一目了然。在表格中，對正確的（或不正確的）結(jié)果要及時注上“”（或“”），以免影響推理的速度，或被錯誤信息干擾思路。除了常用的反證法、排除法外，還需要掌握一些簡單的邏輯知識。比如“兩件互相矛盾對立（不能都存在）的事，如果一件不正確，另一件必定正確”。數(shù)的運(yùn)算問題1、考生首先要明確出題者的本意不是讓考生來花費(fèi)大量時間計算，題目多數(shù)情況是一種判斷和驗(yàn)證過程，而不是用普通方法的計算和討論過程，因此，往往都有簡便的解題方法。2、認(rèn)真審題，快速準(zhǔn)確地理解題意，并充分注意題中的一些關(guān)鍵信息；通過練習(xí)，總結(jié)各種信息的準(zhǔn)確含義，并能夠迅速反應(yīng)，不用進(jìn)行二次思維。3、努力尋找解題捷徑。大多數(shù)計算題都有捷徑可走，盲目計算可以得出答案，但時間浪費(fèi)過多。直接計算不是出題者的本意。平時訓(xùn)練一定要找到最佳辦法?？荚嚂r，根據(jù)時間情況，個別題可以考慮使用一般方法進(jìn)行計算。但平時一定要找到最佳方法。4、通過訓(xùn)練和細(xì)心總結(jié)，盡量掌握一些數(shù)學(xué)運(yùn)算的技巧、方法和規(guī)則，熟悉常用的基本數(shù)學(xué)知識；5、通過練習(xí)，針對常見題型總結(jié)其解題方法；6、學(xué)會用排除法來提高數(shù)學(xué)運(yùn)算主要包括以下幾類題型基本解題方法1、尾數(shù)排除法先計算出尾數(shù)，然后用尾數(shù)與答案中的尾數(shù)一一對照，利用排除法得出答案；2、簡便計算利用加減乘除的各種簡便算法得出答案。通過下面的例題講解，來幫助您加深對上述方法理解，學(xué)會靈活運(yùn)用上述方法解題。1、加法例1、425683544828A2480B2484C2486D2488解題思路先將各個數(shù)字尾數(shù)相加，然后將得到的數(shù)值與答案的尾數(shù)一一對照得出答案。尾數(shù)相加確定答案的尾數(shù)為0，BCD都不符合，用排除法得答案A；例2、199519961997199819992000A11985B11988C12987D12985解析這是一道計算題，題中每個數(shù)字都可以分解為2000減一個數(shù)字的形式20006（54321）尾數(shù)為1001585得A注意1、20006（54321）盡量不要寫出來，要心算；2、12。515是常識，應(yīng)該及時反應(yīng)出來；3、各種題目中接近于100、200、1000、2000等的數(shù)字，可以分解為此類數(shù)字加減一個數(shù)字的形式，這樣能夠更快的計算出答案。例3、123456789987654321A333B323C3333D3323解析先將題中各個數(shù)字的小數(shù)點(diǎn)部分相加得出尾數(shù)，然后再將個位數(shù)部分相加，最后得出答案。本題中小數(shù)點(diǎn)后相加得到30排除C,D小數(shù)點(diǎn)前的個位相加得258852尾數(shù)是0,加上3確定答案的尾數(shù)是3答案是A。解題思路1、先將小數(shù)點(diǎn)部分加起來，得到尾數(shù)，然后與答案一一對照，排除其中尾數(shù)不對的答案，縮小選擇范圍。有些題目此時就可以得到答案。2、將個位數(shù)相加得到的數(shù)值與小數(shù)點(diǎn)相加得到的數(shù)值再相加，最后得到的數(shù)值與剩下的答案對照，一般就可以得到正確的答案了。2、減法例1、95134656351139513113（465635）940011008300例2、48975626394528A22081078B22581072C22581272D22581172解析小數(shù)點(diǎn)部分相加后，尾數(shù)為72排除A,個位數(shù)相減6150，排除C和D,答案是B。3、乘法方法1、將數(shù)字分解后再相乘，乘積得到類似于1、10、100之類的整數(shù)數(shù)字，易于計算；2、計算尾數(shù)后在用排除法求得答案。例1393B403C262D2631解析先不考慮小數(shù)點(diǎn),直接心算尾數(shù)12581000215303131393符合要求的只有A例2、11912012012012014400120。80解析此題重點(diǎn)是將119分解為1201，方便了計算。例3、123456654321A80779853376B80779853375C80779853378D80779853377解析尾數(shù)是6,答案是A。此類題型表面看來是很難，計算起來也很復(fù)雜，但我們應(yīng)該考慮到出題本意決不是要我們一點(diǎn)一點(diǎn)地算出來，因此，此類題型用尾數(shù)計算排除法比較容易得出答案。例4、1254373225（）A、43700000B、87400000C、87455000D、43755000答案為A。本題也不需要直接計算，只須分解一下即可1254373225125322543712584254371000100437437000005、混合運(yùn)算例1、857784312285743781229020704532453279158453222266例2、計算（11/10）（11/9）（11/8）（11/2）的值A(chǔ)、1/108000B、1/20C、1/10D、1/30解析答案為C。本題只需將算式列出，然后兩兩相約，即可得出答案。考生應(yīng)掌握好這個題型，最好自行計算一下。容斥問題一、知識點(diǎn)1、集合與元素把一類事物的全體放在一起就形成一個集合。每個集合總是由一些成員組成的，集合的這些成員，叫做這個集合的元素。如集合A0，1，2，3，9，其中0，1，2，9為A的元素。2、并集由所有屬于集合A或集合B的元素所組成的集合，叫做A，B的并集，記作AB，記號“”讀作“并”。AB讀作“A并B”，用圖表示為圖中陰影部分表示集合A，B的并集AB。例已知6的約數(shù)集合為A1，2，3，6，10的約數(shù)集合為B1，2，5，10，則AB1，2，3，5，6，103、交集A、B兩個集合公共的元素，也就是那些既屬于A，又屬于B的元素，它們組成的集合叫做A和B的交集，記作“AB”，讀作“A交B”，如圖陰影表示例已知6的約數(shù)集合A1，2，3，6，10的約數(shù)集合B1，2，5，10，則AB1，2。4、容斥原理（包含與排除原理）（用|A|表示集合A中元素的個數(shù)，如A1，2，3，則|A|3）原理一給定兩個集合A和B，要計算AB中元素的個數(shù)，可以分成兩步進(jìn)行第一步先求出AB（或者說把A，B的一切元素都“包含”進(jìn)來，加在一起）；第二步減去AB（即“排除”加了兩次的元素）總結(jié)為公式|AB|ABAB原理二給定三個集合A，B，C。要計算ABC中元素的個數(shù)，可以分三步進(jìn)行第一步先求ABC；第二步減去AB，BC，CA；第三步再加上ABC。即有以下公式ABCABCABBC|CA|ABC二、例題分析例1求不超過20的正整數(shù)中是2的倍數(shù)或3的倍數(shù)的數(shù)共有多少個。分析設(shè)A20以內(nèi)2的倍數(shù)，B20以內(nèi)3的倍數(shù)，顯然，要求計算2或3的倍數(shù)個數(shù)，即求AB。解1A2，4，6，20，共有10個元素，即|A|10B3，6，9，18，共有6個元素，即|B|6AB既是2的倍數(shù)又是3的倍數(shù)6，12，18，共有3個元素，即|AB|3所以ABABAB106313，即AB中共有13個元素。解2本題可直觀地用圖示法解答如圖,其中,圓A中放的是不超過20的正整數(shù)中2的倍數(shù)的全體圓B中放的是不超過20的正整數(shù)中3的倍數(shù)的全體,其中陰影部分的數(shù)6,12,18是既是2的倍數(shù)又是3的倍數(shù)的數(shù)即AB中的數(shù)只要數(shù)一數(shù)集合AB中的數(shù)的個數(shù)即可。例2某班統(tǒng)計考試成績，數(shù)學(xué)得90分上的有25人；語文得90分以上的有21人；兩科中至少有一科在90分以上的有38人。問兩科都在90分以上的有多少人解設(shè)A數(shù)學(xué)成績90分以上的學(xué)生B語文成績90分以上的學(xué)生那么，集合AB表示兩科中至少有一科在90分以上的學(xué)生，由題意知，A25，B21，AB38現(xiàn)要求兩科均在90分以上的學(xué)生人數(shù)，即求AB，由容斥原理得ABABAB2521388點(diǎn)評解決本題首先要根據(jù)題意，設(shè)出集合A，B，并且會表示AB，AB，再利用容斥原理求解。例3某班同學(xué)中有39人打籃球，37人跑步，25人既打籃球又跑步，問全班參加籃球、跑步這兩項(xiàng)體育活動的總?cè)藬?shù)是多少解設(shè)A打籃球的同學(xué)；B跑步的同學(xué)則AB既打籃球又跑步的同學(xué)AB參加打籃球或跑步的同學(xué)應(yīng)用容斥原理ABABAB39372551（人）例4求在不超過100的自然數(shù)中，不是5的倍數(shù)，也不是7的倍數(shù)有多少個分析這個問題與前幾個例題看似不相同，不能直接運(yùn)用容斥原理，要計算的是“既不是5的倍數(shù)，也不是7的倍數(shù)的數(shù)的個數(shù)。”但是，只要同學(xué)們仔細(xì)分析題意，這只需先算出“100以內(nèi)的5的倍數(shù)或7的倍數(shù)的數(shù)的個數(shù)。”再從100中減去就行了。解設(shè)A100以內(nèi)的5的倍數(shù)B100以內(nèi)的7的倍數(shù)AB100以內(nèi)的35的倍數(shù)AB100以內(nèi)的5的倍數(shù)或7的倍數(shù)則有A20，B14，AB2由容斥原理一有ABABAB2014232因此，不是5的倍數(shù)，也不是7的倍數(shù)的數(shù)的個數(shù)是1003268（個）點(diǎn)評從以上的解答可體會出一種重要的解題思想有些問題表面上看好象很不一樣，但經(jīng)過細(xì)心的推敲就會發(fā)現(xiàn)它們之間有著緊密的聯(lián)系，應(yīng)當(dāng)善于將一個問題轉(zhuǎn)化為另一個問題。例5某年級的課外學(xué)科小組分為數(shù)學(xué)、語文、外語三個小組，參加數(shù)學(xué)小組的有23人，參加語文小組的有27人，參加外語小組的有18人；同時參加數(shù)學(xué)、語文兩個小組的有4人，同時參加數(shù)學(xué)、外語小組的有7人，同時參加語文、外語小組的有5人；三個小組都參加的有2人。問這個年級參加課外學(xué)科小組共有多少人解1設(shè)A數(shù)學(xué)小組的同學(xué)，B語文小組的同學(xué)，C外語小組的同學(xué)，AB數(shù)學(xué)、語文小組的同學(xué)，AC參加數(shù)學(xué)、外語小組的同學(xué)，BC參加語文、外語小組的同學(xué)，ABC三個小組都參加的同學(xué)由題意知A23，B27，C18AB4，AC7，BC5，ABC2根據(jù)容斥原理二得ABCABCABAC|BC|ABC232718（457）254（人）解2利用圖示法逐個填寫各區(qū)域所表示的集合的元素的個數(shù)，然后求出最后結(jié)果。設(shè)A、B、C分別表示參加數(shù)學(xué)、語文、外語小組的同學(xué)的集合，其圖分割成七個互不相交的區(qū)域，區(qū)域（即ABC）表示三個小組都參加的同學(xué)的集合，由題意，應(yīng)填2。區(qū)域表示僅參加數(shù)學(xué)與語文小組的同學(xué)的集合，其人數(shù)為422（人）。區(qū)域表示僅參加數(shù)學(xué)與外語小組的同學(xué)的集合，其人數(shù)為725（人）。區(qū)域表示僅參加語文、外語小組的同學(xué)的集合，其人數(shù)為523（人）。區(qū)域表示只參加數(shù)學(xué)小組的同學(xué)的集合，其人數(shù)為2322514（人）。同理可把區(qū)域、所表示的集合的人數(shù)逐個算出，分別填入相應(yīng)的區(qū)域內(nèi)，則參加課外小組的人數(shù)為人）點(diǎn)評解法2簡單直觀，不易出錯。由于各個區(qū)域所表示的集合的元素個數(shù)都計算出來了，因此提供了較多的信息，易于回答各種方式的提問。例6學(xué)校教導(dǎo)處對100名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果有58人喜歡看球賽，有38人喜歡看戲劇，有52人喜歡看電影。另外還知道，既喜歡看球賽又喜歡看戲劇（但不喜歡看電影）的有6人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇（但不喜歡看球賽）的有4人，三種都喜歡的有12人。問有多少同學(xué)只喜歡看電