西南交通大學(xué)20142015學(xué)年第一學(xué)期期末考試試卷課程代碼6024100課程名稱概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)考試時(shí)間120分鐘題號(hào)一二三四五六七八總成績(jī)得分閱卷人，0872709842370932409674一、（10分）已知某批產(chǎn)品的合格率為09。檢驗(yàn)員檢驗(yàn)時(shí)，將合格品誤認(rèn)為次品的概率為002，而一個(gè)次品被誤認(rèn)為合格的概率為005。求（1）檢查任一產(chǎn)品被認(rèn)為是合格品的概率；（2）被認(rèn)為合格品的產(chǎn)品確實(shí)合格的概率。解以記一個(gè)產(chǎn)品檢查被認(rèn)為合格的事件，以記產(chǎn)品確實(shí)合格的事件，則，構(gòu)成一個(gè)BAA完備事件組，。于是09PA01|098PB|05PB（1）由全概率公式，一個(gè)產(chǎn)品被認(rèn)為合格的概率為。|187B（2）由貝葉斯公式，被認(rèn)為合格的產(chǎn)品確實(shí)合格的概率為。|0987094PAPA二、（15分）隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為XCOS,|X2,0FX其他求（1）的值；（2）；（3）。AF4PX解（1）由，得。201COSCOSXDAXDA12（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；XFX當(dāng)時(shí)，；所以221CSSIN2XF0,INX,1,FX（3）。04024PXF三、（10分）電源電壓在不超過V、V和超過V三種情況下，元件損壞的概率2240分別為01，0001和02。設(shè)電源電壓服從正態(tài)分布，求2,5XN班級(jí)學(xué)號(hào)姓名密封裝訂線密封裝訂線密封裝訂線（1）元件損壞的概率；（2）元件損壞時(shí)，電壓在V間的概率。204解（1），208102185XP，4204057645XP，212015由全概率公式知，元件損壞的概率為。08764280641（2）由貝葉斯公式知，元件損壞時(shí)，電壓在V的概率為。57641090四、（15分）設(shè)二維隨機(jī)變量具有概率密度YX,2,0,0XYCEFXY其它試求（1）常數(shù)；C（2）落在區(qū)域內(nèi)的概率。YX,|0,1DXY解由概率密度的性質(zhì)可知2022001,4XYXYFDCEDCEE即；4C120,11122221000,43XYXYDXYXXPXYFDEDE五、（15分）假設(shè)有十只同種電器元件，其中有兩只廢品，裝配儀器時(shí)，從這批元件中任取一只，如是廢品，則扔掉重新任取一只；如仍是廢品，則扔掉再取一只。試求在取到正品之前，已取出的廢品只數(shù)的分布、數(shù)學(xué)期望和方差。解以表示在取到正品前已取出的廢品數(shù)，是一隨機(jī)變量，有三個(gè)可能的取值0、1、2。XX，則由乘法定理有1,23KAI第次取得的是正品84005PXA122128|0945PA332112|9045P由此可得的分布律XX012P45845根據(jù)定義，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望1209E隨機(jī)變量的方差X222484551X0DEX六、（10分）從次品率為005的一批產(chǎn)品中隨機(jī)地取200件產(chǎn)品，試求取出的產(chǎn)品中至少有3個(gè)次品的概率。解設(shè)表示取出的200件產(chǎn)品中的次品數(shù)，的數(shù)學(xué)期望和方差為X，2051ENP12051095DXNP由棣莫弗拉普拉斯中心極限定理得303195272408P七、（10分）設(shè)某電話總機(jī)要為2000個(gè)用戶服務(wù)，在最忙時(shí)，平均每戶有3的時(shí)間占線，假設(shè)各戶是否打電話是相互獨(dú)立的，且電話呼叫次數(shù)服從泊松分布，試求若想以99的可能性滿足用戶的要求，最少需要設(shè)多少條線路解設(shè)電話交換臺(tái)每小時(shí)呼叫次數(shù)為，在每小時(shí)每戶用線的概率，由泊松分布近似可X03P取，因此，服從參數(shù)的泊松分布。20360NP60設(shè)要求的最小線路數(shù)為M009PX，6E60D由泊松分布的正態(tài)逼近可得26016006060MTMPXED根據(jù)題意，可得69M，從而0237660237468023M所以最少需要79條線路八、（15分）設(shè)某種電子元件的壽命服從參數(shù)的指數(shù)分布，今測(cè)得10個(gè)元件的失效時(shí)間為T1050，1100，1080，1200，1300，1250，1340，1060，1150，1150，試求未知參數(shù)的最大似然估計(jì)值。解指數(shù)分布的密度函數(shù)為0,XEFX作似然函數(shù)，取對(duì)數(shù)得11NIINX