1量子力學(xué)課后習(xí)題詳解第一章量子理論基礎(chǔ)11由黑體輻射公式導(dǎo)出維恩位移定律能量密度極大值所對應(yīng)的波長M與溫度T成反比，即MTB（常量）；并近似計算B的數(shù)值，準確到二位有效數(shù)字。解根據(jù)普朗克的黑體輻射公式DVECHVDKTHVVV11833，（1）以及CV，（2）DDVVV，（3）有,1185KTHCVVEHCCDCDDDV這里的的物理意義是黑體內(nèi)波長介于與D之間的輻射能量密度。本題關(guān)注的是取何值時，取得極大值，因此，就得要求對的一階導(dǎo)數(shù)為零，由此可求得相應(yīng)的的值，記作M。但要注意的是，還需要驗證對的二階導(dǎo)數(shù)在M處的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的M就是要求的，具體如下201151186KTHCKTHCEKTHCEHC0115KTHCEKTHCKTHCEKTHC15如果令XKTHC，則上述方程為XEX15這是一個超越方程。首先，易知此方程有解X0，但經(jīng)過驗證，此解是平庸的；另外的一個解可以通過逐步近似法或者數(shù)值計算法獲得X497，經(jīng)過驗證，此解正是所要求的，這樣則有XKHCTM把X以及三個物理常量代入到上式便知KMTM31092這便是維恩位移定律。據(jù)此，我們知識物體溫度升高的話，輻射的能量分布的峰值向較短波長方面移動，這樣便會根據(jù)熱物體（如遙遠星體）的發(fā)光顏色來判定溫度的高低。12在0K附近，鈉的價電子能量約為3EV，求其德布羅意波長。解根據(jù)德布羅意波粒二象性的關(guān)系，可知EHV，HP如果所考慮的粒子是非相對論性的電子（2CEE由于1、3方程中，由于XU，要等式成立，必須01X02X即粒子不能運動到勢阱以外的地方去。方程2可變?yōu)?222222XMEDXXD令222MEK，得022222XKDXXD其解為KXBKXAXCOSSIN2根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準條件確定系數(shù)A，B，由連續(xù)性條件，得001232AA0B0SINKAA,3,2,10SIN0NNKAKAAXANAXSIN211由歸一化條件12DXX得1SIN022AXDXANA由MNABAXDXANXAM2SINSINXANAXAASIN222222MEK,3,2,122222NNMAEN可見E是量子化的。對應(yīng)于NE的歸一化的定態(tài)波函數(shù)為AXAXUXU,0,00運動，求束縛態(tài)00UE，求1粒子動量的幾率分布函數(shù)；2粒子的平均動量。解1先求歸一化常數(shù)，由022221DXEXADXXX2341A2/32AXXEX22/320X0X0U，求電子在均勻場外電場作用下穿過金屬表面的透射系數(shù)。解設(shè)電場強度為，方向沿軸負向，則總勢能為0XXEXV，0V0）（）（XXEUX勢能曲線如圖所示。則透射系數(shù)為22EXP120XXDXEXEUD式中E為電子能量。01X，2X由下式確定020EXEUPEEUX02令20SINEEUX，則有452323COS22SIN222002030020200012EUEEUEUEEUDEEUEUDXEXEUXX透射系數(shù)232EXP00EUEEUD5指出下列算符哪個是線性的，說明其理由。2224DXDX；2；NK1解2224DXDX是線性算符22222122212222211222221122244444UDXDXCUDXDXCUCDXDXUCDXDXUCUCDXDX2不是線性算符222211222221212121222112UCUCUCUUCCUCUCUCNK1是線性算符NKNKNKNKNKUCUCUCUCUCUC122111122111122116指出下列算符哪個是厄米算符，說明其理由。224DXDDXDIDXD，46不是厄米算符，當(dāng)解DXDDXDXDDXDXDDXDXDDXDXDXDXDXDDXDXD00是厄米算符DXDIDXDXDIDXDXDIDXDXDIIDXDXDI是厄米算符2222222222444444444DXDDXDXDDXDXDDXDXDDXDDXDXDDXDDXDXDDXDDXDDXDXD7、下列函數(shù)哪些是算符22DXD的本征函數(shù)，其本征值是什么2X，XE，XSIN，XCOS3，XXCOSSIN解2222XDXD2X不是22DXD的本征函數(shù)。XXEEDXD22XE不是22DXD的本征函數(shù)，其對應(yīng)的本征值為1。47XXDXDXDXDSINCOSSIN22可見，XSIN是22DXD的本征函數(shù)，其對應(yīng)的本征值為1。COS3COS3SIN3COS322XXXDXDXDXDXCOS3是22DXD的本征函數(shù)，其對應(yīng)的本征值為1。COSSINCOSSINSINCOSCOSSIN22XXXXXXDXDXXDXD）XXCOSSIN是22DXD的本征函數(shù)，其對應(yīng)的本征值為1。8、試求算符DXDIEFIX的本征函數(shù)。解F的本征方程為FFCDXDFEDXDFEDDXDFEDDXIFEDFDXDIEIXIXIXIXIXLNLN即IXFECE（FF是的本征值）9、如果把坐標(biāo)原點取在一維無限深勢阱的中心，求阱中粒子的波函數(shù)和能級的表達式。解2,2,0AXAXXU48方程（分區(qū)域）XU0XI2AXXU0XIII2AXIIIIEDXD222202222IIIIEDXD令222EK0222IIIIKDXDSINKXAII標(biāo)準條件2222AAAAIIIIIIII0SINKXA0A0SINKX取02AK，即2AK2SINAXKAXII0SINKAA0SINKANKA,2,1NNAK49粒子的波函數(shù)為2,02,2SINAXAXAXANAX粒子的能級為AKNKE2222222,3,2,1N由歸一化條件，得2/2/2222SIN1AADXAXANADX2/2/222COS121AADXAXANA2/2/2222COS2AADXAXANAAA222222SIN22AAAXANNAAAA22AAAA2粒子的歸一化波函數(shù)為2,02,2SIN2AXAXAXANAX10、證明處于1S、2P和3D態(tài)的氫原子中的電子，當(dāng)它處于距原子核的距離分別為00094AAA、的球殼處的幾率最（0A為第一玻爾軌道半徑）。證DRRRDRRS2210101DRREAAR2/230041500/22301041ARERAR0/22030102214ARERARADRD0/20301118ARRERAA令010DRD，則得011R011AR121180/2000302102AREARARRAADRD241180/2202030AREARARA00210211RDRD011R為幾率最小處。00112102DRD0R為幾率最小位置。032670232329841583ARERARRD032507032325984158ARERARADRD令032DRD，得,031R0329AR同理可知031R為幾率最小處。0329AR為幾率最大處。11、求一維諧振子處在第一激發(fā)態(tài)時幾率最大的位置。解2221122XXEX22232112XEXXX2243231XEXXDXD2214223XXEX22251444223212XEXXDXD令01DXD，得5201X，00221XX002121XDXD，01X為幾率最小處。0212122T時處于弱電場/0TE之中為常數(shù)，試求諧振子處于第一激發(fā)態(tài)的幾率。解取電場方向為X軸正方向，則有/TXEEXEHHHH8022210XE222112XXEDXTHHHHHHHH0110DXXEEETX2/0222DXEXEEXT222/20222222222/20DXEXEXEEXXTDXEEEXT222/2012/0/22TTEEEETTITDEHHHHITA0101MK1TTTITDEIE00211120TTIEIIE當(dāng)經(jīng)過很長時間以后，即當(dāng)T時，0/TE。1201IIETA12222222022110ETA12222202E81實際上在5T以后即可用上述結(jié)果。第七章自旋與全同粒子71證明IZYX證由對易關(guān)系ZXYYXI2及反對易關(guān)系0XYYX，得ZYXI上式兩邊乘Z，得2ZZYXI12ZIZYX72求在自旋態(tài)21ZS中，XS和YS的測不準關(guān)系22YXSS解在ZS表象中21ZS、XS、YS的矩陣表示分別為0121ZS01102XS002IISY在21ZS態(tài)中00101102012121XXSS4010110201102012222121XXSS42222XXXSSS82001002012121IISSYY401002002012222121IIIISSYY42222YYYSSS16422YXSS討論由XS、YS的對易關(guān)系XS，YSZSI要求42222ZYXSSS16422YXSS在21ZS態(tài)中，2ZS16422YXSS可見式符合上式的要求。73求00201102IISSYX及的本征值和所屬的本征函數(shù)。解XS的久期方程為02220222XS的本征值為2。設(shè)對應(yīng)于本征值2的本征函數(shù)為112/1BA由本征方程2/12/12XS，得831111201102BABA111111ABBAAB由歸一化條件12/12/1，得1,1111AAAA即1221A212111BA對應(yīng)于本征值2的本征函數(shù)為11212/1設(shè)對應(yīng)于本征值2的本征函數(shù)為222/1BA由本征方程222/12/12BASX222222ABBAAB由歸一化條件，得1,2222AAAA即1222A212122BA對應(yīng)于本征值2的本征函數(shù)為11212/1同理可求得YS的本征值為2。其相應(yīng)的本征函數(shù)分別為I12121I121218474求自旋角動量COS,COS,COS方向的投影COSCOSCOSZYXNSSSS本征值和所屬的本征函數(shù)。在這些本征態(tài)中，測量ZS有哪些可能值這些可能值各以多大的幾率出現(xiàn)ZS的平均值是多少解在ZS表象，NS的矩陣元為COS10012COS002COS01102IISNCOSCOSCOSCOSCOSCOS2IISN其相應(yīng)的久期方程為0COS2COSCOS2COSCOS2COS2II即0COSCOS4COS422222204221COSCOSCOS222利用2所以NS的本征值為2。設(shè)對應(yīng)于2NS的本征函數(shù)的矩陣表示為BASN21，則BABAII2COSCOSCOSCOSCOSCOS2BBIACOSCOSCOS85COS1COSCOSIB由歸一化條件，得22,12121BABABA1COS1COSCOS222AIA1COS122ACOS12COSCOS1COS121ISNCOS12COSCOS1COS121ISN2121COS12COSCOS2COS110COS12COSCOS012COS121IISN2121COS12COSCOS2COS110COS12COSCOS012COS121IISN可見，ZS的可能值為22相應(yīng)的幾率為2COS12COS1COS12COSCOS22COS22COS122COS12ZS86同理可求得對應(yīng)于2NS的本征函數(shù)為COS12COSCOS2COS121ISN在此態(tài)中，ZS的可能值為22相應(yīng)的幾率為2COS12COS1COS2ZS75設(shè)氫的狀態(tài)是,23,2110211121YRRYRR求軌道角動量Z分量ZL和自旋角動量Z分量ZS的平均值；求總磁矩SELEM2的Z分量的平均值（用玻爾磁矩子表示）。解可改寫成10,2301,2110211121YRRYRRZZSYRRSYRR,23,21211021211121從的表達式中可看出ZL的可能值為0相應(yīng)的幾率為4143874ZLZS的可能值為22相應(yīng)的幾率2IC為414344324122ZIIZSCS4422EESELEMZZZBME414276一體系由三個全同的玻色子組成，玻色子之間無相互作用。玻色子只有兩個可能的單粒子態(tài)。問體系可能的狀態(tài)有幾個它們的波函數(shù)怎樣用單粒子波函數(shù)構(gòu)成解體系可能的狀態(tài)有4個。設(shè)兩個單粒子態(tài)為I，J，則體系可能的狀態(tài)為3211QQQIII3212QQQJJJ311322313213QQQQQQQQQJIIJIIJII311322313214QQQQQQQQQIJJIJJIJJ77證明321,SSS和A組成的正交歸一系。解22/112/122/112/111ZZZZSSSSSS22/112/112/122/1ZZZZSSSS122/122/1ZZSS8822/112/122/112/121ZZZZSSSSSS22/112/112/122/1ZZZZSSSS02122/112/122/112/122/112/131ZZZZZZSSSSSSSS2122/112/112/122/122/112/112/122/1ZZZZZZZZSSSSSSSS02122/122/1ZZSS同理可證其它的正交歸一關(guān)系。2122/112/122/112/122/112/122/112/133ZZZZZZZZSSSSSSSSSS2122/112/122/112/1ZZZZSSSS2112/122/122/112/1ZZZZSSSS2112/112/112/122/1ZZZZSSSS2112/122/112/122/1ZZZZSSSS121002178設(shè)兩電子在彈性輳力場中運動，每個電子的勢能是2221RRU。如果電子之間的庫侖能和RU相比可以忽略，求當(dāng)一個電子處在基態(tài)，另一電子處于沿X方向運動的第一激發(fā)態(tài)時，兩電子組成體系的波函數(shù)。解電子波函數(shù)的空間部分滿足定態(tài)S方程22RERRUR212222222222RERRRZYX89212222222222RERRRZYX考慮到2222ZYX