1、課題： 9 7 直線與平面所成的角和二面角(三 )教學(xué)目的：1兩個(gè)平面垂直的定義、畫法2兩個(gè)平面垂直的判定定理3兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理 理解面面垂直問(wèn)題可能化為線面垂直的問(wèn)題教學(xué)重點(diǎn)： 兩個(gè)平面垂直的判定和性質(zhì)教學(xué)難點(diǎn)： 兩個(gè)平面垂直的判定及應(yīng)用授課類型： 新授課課時(shí)安排： 1 課時(shí)教具：多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)過(guò)程 ：一、復(fù)習(xí)引入：1直線和平面所成角（ 1）定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個(gè)平面所成的角一直線垂直于平面，所成的角是直角一直線平行于平面或在平面內(nèi)，所成角為0 角直線和平面所成角范圍：0，2（ 2）定理： 斜線和平面所成角是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過(guò)斜足的

2、直線所成的一切角中最小的角p2公式： 已知平面的斜線 a 與 內(nèi)一直線 b 相交成角，且 a 與相交成1 角， a 在 上的射影 ca與 b 相交成2 角，則有cos 1 cos 2cosa12co3 二面角的概念： 平面內(nèi)的一條直線把平面分為b b兩個(gè)部分，其中的每一部分叫做半平面；從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角 ，這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面 若棱為 l ，兩個(gè)面分別為 , 的二面角記為l；二面角的圖形表示：第一種是臥式法，也稱為平臥式：akdegjlbicfh第1頁(yè)共6頁(yè)第二種是立式法，也稱為直立式：loaobab4二面角的平面角：（ 1 ）過(guò)二面角

3、的棱上的一點(diǎn)o 分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的兩條垂線oa, ob ，則aob 叫做二面角l的平面角（ 2 ）一個(gè)平面垂直于二面角l的棱 l ，且與兩半平面交線分別為oa, ob, o 為垂足，則aob 也是l的平面角說(shuō)明：（ 1）二面角的平面角范圍是0 o,180o ；（ 2）二面角的平面角為直角時(shí)，則稱為 直二面角 ，組成直二面角的兩個(gè)平面 互相垂直二、講解新課：1 兩個(gè)平面垂直的定義：兩個(gè)相交成直二面角的兩個(gè)平面互相垂直；相交成直二面角的兩個(gè)平面叫做互相垂直的平面2兩平面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直已知：直線ab平面， ab平面，垂足為b ，a求

4、證：（線面垂直面面垂直）dbe證明：如圖所示，令icd ，則 bcd ，c在內(nèi)過(guò) b 作 becd ， ab,cd， abcd ，abe 是二面角cd的平面角，又 abbe ，abe 是直角，第2頁(yè)共6頁(yè)所以，與所成的二面角是直角，即實(shí)例：建筑工地在砌墻時(shí)，常用鉛垂的線來(lái)檢查所砌的墻是否和水平面垂直3兩平面垂直的性質(zhì)定理：若兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面已知：,icd , ab, abcd 于點(diǎn) b ，求證： ab（面面垂直線面垂直）證明：在內(nèi)過(guò) b 作 becd ，則由題意得abe 是cd的平面角，知 abbe ，又 abcd ， ab三、講解范例：

5、例 1如圖，已知ab 是圓 o 的直徑， pa 垂直于 e o 所在的平面，c 是圓周上不同于a, b 的任一點(diǎn)， 求證：平面 pac平面 pbc 分析：根據(jù)“面面垂直”的判定定理，要證明兩平面互相垂直，只要在其中一個(gè)平面中尋找一條與另一平面垂直的直線即可解： ab是圓 o 的直徑， acbc ，又 pa 垂直于 e o 所在的平面，pa bc ，pcabo bc平面 pac ，又 bc 在平面 pbc 中，所以，平面pac平面 pbc 說(shuō)明：由于平面pac 與平面 pbc 相交于 pc ，所以如果平面pac平面pbc ，則在平面 pbc 中，垂直于 pc 的直線一定垂直于平面 pac ，這是

6、尋找兩個(gè)平面的垂線的常用方法例 2 已知ia,，求證： a證明：設(shè)iab,iac ，在內(nèi)取點(diǎn) p ，過(guò) p 作 pmab 于 m ， pnac 于點(diǎn) n ， pm，又ia ， pma ，同理可得 pna ，amanbpc第3頁(yè)共6頁(yè) a例 3已知在一個(gè)60o 的二面角的棱長(zhǎng)有兩點(diǎn)a, b，ac, bd分別是在這個(gè)二面角的兩個(gè)平面內(nèi)，且垂直于線段ab ，又知cab4cm, ac6cm, bd8cm，求 cd 的長(zhǎng)ab解：由已知dcaab, abuuuruuur180o60o120o ，bd , ca, bduuur 2uuuruuuruuur2uuur 2uuur 2uuur 226 8cos1

7、20o |cd |(caabbd )|ca | ab | bd |624282268168 ，uuur2217( cm)| cd |四、課堂練習(xí) ：1直角abc 的斜邊 ab 在平面內(nèi)， ac , bc 與所成角分別為30o, 45o ，cd 是斜邊 ab 上的高線，求 cd 與平面所成角的正弦值解： 過(guò)點(diǎn) c 作 ch于點(diǎn) h ，連接 ah , bh ,oh ，則 cah30o ，cbh45o ，cdh 為所求 cd 與所成角，記為，令 cha ，則 ac2a, bc2a ，c則在 rt abc 中，有 cdac bc23 aab3h在 rt cdh 中， sinch3adbcd2 cd 與

8、平面所成角的正弦值3 .2第4頁(yè)共6頁(yè)2如果二面角l的平面角是銳角， 點(diǎn) p 到, l 的距離分別為 2 2, 4, 42 ，求二面角的大小ap分析： 點(diǎn) p 可能在二面角l內(nèi)部， 也可能cb在外部，應(yīng)區(qū)別處理l圖 1解：如圖 1 是點(diǎn) p 在二面角l的內(nèi)部時(shí)，圖 2 是點(diǎn) p 在二面角l外部時(shí)， pa palp ac l面 pac l同理，面 pbcl而面 pac i 面 pbcpca面 pac 與面 pbc 應(yīng)重合即 a,c , p, b 在同一平面內(nèi)，cb則 acb 是二面角l的平面角l圖2pa221在 rt apc 中 ， sin acp422pb acp30o在 rt bpc 中，

9、sinbcppb442bcp 45opc22故 acb30 o45o75o （圖 1）或acb45o30o15o （圖 2）即二面角l的大小為 75o 或 15o說(shuō)明：作一個(gè)垂直于棱的平面，此平面與兩個(gè)半平面的交線所成的角就是二面角的平面角3如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1， b c ibc o ，求：（ 1） ao 與 a c 所成角；（ 2） ao 與平面 abcd 所成角的正切值；（ 3）平面 aob 與平面 aoc 所成角解：（ 1） a c / ac ao 與 a c 所成角就是oacdcabodceab第5頁(yè)共6頁(yè) ocob, ab平面 bc ocoa （三垂線定理）在 rt aoc 中，

10、oc2, ac2oac30o2（ 2）作 oebc ，平面 bc平面 abcdabcdoe平面abcd，oae為oa所成角與平面在rt oae中，1, ae2125oe5oe21( ) tan oae522ae（ 3） ocoa,ocob oc平面 aob又 oc平面 aoc平面 aob平面 aoc即平面 aob 與平面 aoc 所成角為 90o說(shuō)明：本題包含了線線角，線面角和面面角三類問(wèn)題，求角度問(wèn)題主要是求兩條異面直線所成角(0, ，直線和平面所成角0, ，二面角 0, 三種；求角22度問(wèn)題解題的一般步驟是： （1）找出這個(gè)角； （ 2）證明該角符合題意； （ 3）作出這個(gè)角所在的三角形，解三角形，求出角；求角度問(wèn)題不論哪種