1、多所高校近世代數(shù)題庫(kù)一、（2011年近世代數(shù)）判斷題（下列命題你認(rèn)為正確的在題后括號(hào)內(nèi)打，錯(cuò)的打“X” ；每小題1分，共10 分）1、 設(shè)A與B都是非空集合，那么 A_. BxxA且B：。（）2、 設(shè)A、B、D都是非空集合，則 A B到D的每個(gè)映射都叫作二元運(yùn)算。（）3、 只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射f。（）4、 如果循環(huán)群G = a中生成元a的階是無(wú)限的，貝U G與整數(shù)加群同構(gòu)。（）5、 如果群G的子群H是循環(huán)群，那么 G也是循環(huán)群。（）6、 近世代數(shù)中，群 G的子群H是不變子群的充要條件為 -g G,-h H;gHg H 。（）7、如果環(huán)R的階_2，那么R的單位元1-0。

2、（）8若環(huán)R滿足左消去律，那么 R必定沒(méi)有右零因子。（）9、 F（x）中滿足條件p（）=0的多項(xiàng)式叫做元在域F上的極小多項(xiàng)式。（）10、 若域E的特征是無(wú)限大，那么 E含有一個(gè)與 %p）同構(gòu)的子域，這里Z是整數(shù)環(huán)，（p ）是由素?cái)?shù)p生成的主理想。 （）二、（2011年近世代數(shù)）單項(xiàng)選擇題（從下列各題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，并將其號(hào)碼寫在題干后面的括號(hào)內(nèi)。答案選錯(cuò)或未作選擇者，該題無(wú)分。每小題1分，共10分）1、設(shè)A,A2,，An和D都是非空集合，而 f是A1 A2 An到D的一個(gè)映射，那么（）集合A,A2,，An,D中兩兩都不相同； A1,A2/ , An的次序不能調(diào)換；A1 A2An

3、中不同的元對(duì)應(yīng)的象必不相同；一個(gè)元a1,a2,，an的象可以不唯一。2、 指出下列那些運(yùn)算是二元運(yùn)算（）在整數(shù)集Z上，a b = b ；在有理數(shù)集Q上，ab = Jab ；ab、在正實(shí)數(shù)集 R*上，a b=alnb:在集合nZn。上，ab=a b。3、 設(shè) 是整數(shù)集Z上的二元運(yùn)算，其中 a max：a,b?（即取a與b中的最大者），那么在Z中（）不適合交換律；不適合結(jié)合律；存在單位元；每個(gè)元都有逆元。4、 設(shè)G,為群，其中G是實(shí)數(shù)集，而乘法 :a a b k，這里k為G中固定的常數(shù)。那么群 G/中的單位元 e和元x的逆元分別是（）0和-x ；1和0 ；k和x-2k ；-k和-（x 2k）。5、

4、設(shè)a,b,c和x都是群G中的元素且x2a =bxc，acx =xac，那么x=（） bc Ja 4 ； c a ； a Jbc J ； b ca。6、設(shè)H是群G的子群，且G有左陪集分類 5 , aH ,bH ,cH 。如果6,那么G的階G =（）6；24；10 ；12。7、設(shè)f ：G1 G2是一個(gè)群同態(tài)映射，那么下列錯(cuò)誤的命題是（）f的同態(tài)核是G1的不變子群；G2的不變子群的逆象是 G1的不變子群；G1的子群的象是G2的子群；G1的不變子群的象是 G2的不變子群。8設(shè)f :尺 R2是環(huán)同態(tài)滿射，f（a）二b，那么下列錯(cuò)誤的結(jié)論為（）若a是零元，則b是零元；若a是單位元，則b是單位元；若a不是零

5、因子，則b不是零因子；若 R2是不交換的，則 R1不交換。9、下列正確的命題是（）歐氏環(huán)一定是唯一分解環(huán)；主理想環(huán)必是歐氏環(huán)；唯一分解環(huán)必是主理想環(huán)；唯一分解環(huán)必是歐氏環(huán)。10、 若I是域F的有限擴(kuò)域，E是I的有限擴(kuò)域，那么（） E:I = E:I I :F ； F:E=I:FE:I ； I:E:FF:I ； E:E:II:F。三、（2011年近世代數(shù)）填空題（將正確的內(nèi)容填在各題干預(yù)備的橫線上，內(nèi)容填錯(cuò)或未填者，該空無(wú)分。每空1分,共10分）1、設(shè)集合 A =1,0,1 ?; B = 1,2 二則有 B A=。2、 如果f是A與A間的一一映射，a是A的一個(gè)元，則ff a丨=。3、 設(shè)集合A有

6、一個(gè)分類，其中 A與Aj是A的兩個(gè)類，如果 A = Aj，那么AiAj二。4、 設(shè)群G中元素a的階為m，如果an =e，那么m與n存在整除關(guān)系為 。5、 凱萊定理說(shuō)：任一個(gè)子群都同一個(gè) 同構(gòu)。6、給出一個(gè)5-循環(huán)置換二=(31425)，那么二/二。7、 若I是有單位元的環(huán) R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表達(dá)為 。8若R是一個(gè)有單位元的交換環(huán)，I是R的一個(gè)理想，那么 R是一個(gè)域當(dāng)且僅當(dāng)I是_。9、 整環(huán)I的一個(gè)元p叫做一個(gè)素元，如果 。10、 若域F的一個(gè)擴(kuò)域E叫做F的一個(gè)代數(shù)擴(kuò)域，如果 。四、(2011年近世代數(shù))改錯(cuò)題(請(qǐng)?jiān)谙铝忻}中你認(rèn)為錯(cuò)誤的地方劃線，并將正確的內(nèi)容寫在預(yù)備的橫

7、線上面。指出 錯(cuò)誤1分，更正錯(cuò)誤2分。每小題3分，共15分)1、如果一個(gè)集合 A的代數(shù)運(yùn)算同時(shí)適合消去律和分配律，那么在a1 a an里，元的次序可以掉換。2、有限群的另一定義：一個(gè)有乘法的有限非空集合G作成一個(gè)群，如果滿足 G對(duì)于乘法封閉；結(jié)合律成立、交換律成立。3、設(shè)I和S是環(huán)R的理想且I S R，如果I是R的最大理想，那么 S= 0。4、唯一分解環(huán)I的兩個(gè)元a和b不一定會(huì)有最大公因子，若d和d都是a和b的最大公因子，那么必有 d = d。廣 1234、,兀2 =1234、兀3 =廣1234、,兀4 =廣1234、d234243丿213415分，每小題分標(biāo)在小題后)并且求出 G的單位元及五

8、、(2011年近世代數(shù))計(jì)算題(共1、給出下列四個(gè)四元置換二 3-J 二 4-J -J& 2=5、叫做域F的一個(gè)代數(shù)元，如果存在 F的都不等于零的元 a0,a1 ,an使得a0 a1亠；亠ann = 0。和G的所有子群。且 f(x),g(x) Z6x 丨。如果 f(x) - 3x3 5】x2 L組成的群G，試寫出G的乘法表，2、設(shè)Z6 0丨1丨2丨3丨4丨5b是模6的剩余類環(huán)，g(x 4 x25 x 31,計(jì)算 f (x) g(x)、f(x) -g(x )和 f (x)g(x)以及它們的次數(shù)。3、群G=(a),|a|=7 ，求出群G的所有子群。六、(2011年近世代數(shù))證明題(每小題10分，共

9、40分)1、設(shè)a和b是一個(gè)群G的兩個(gè)元且ab =ba，又設(shè)a的階a = m， b的階b = n，并且(m,n) = 1，證明：ab的階 ab = mn。2、 設(shè)R為實(shí)數(shù)集，a,bR,a =0，令f(a,b): R R,x ax b R，將R的所有這樣的變換構(gòu)成一個(gè)集合G =f(a,b)忖a, R,a。，試證明：對(duì)于變換普通的乘法，G作成一個(gè)群。3、 設(shè)I1和I2為環(huán)R的兩個(gè)理想，試證I1 I2和h +l2 = 1,0 1,1 2, 2,0，2,1 ”； 2、單位元；3、交換環(huán)；4、整數(shù)環(huán)；5、變換群；6、同構(gòu);7、零、-a ; 8、S=I 或 S=R ; 9、域；三、解答題（本大題共 3小題，

10、每小題10分，共30分）1、解：把二和寫成不相雜輪換的乘積：廠-(1653)(247)(8)v -(123)(48)(57)(6)可知匚為奇置換，為偶置換。-和可以寫成如下對(duì)換的乘積:-(13)(15)(16)(24)(27)=(13)(12)(48)(57)1 1B =（A+A） C = （A A）2、解：設(shè)A是任意方陣，令2,2，則B是對(duì)稱矩陣，而C是反對(duì)稱矩陣，且B C。若令有A = B1 C1，這里B1和G分別為對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣，貝yB - B1二C1 - C，而等式左邊是對(duì)稱矩陣，右邊是反對(duì)稱矩陣，于是兩邊必須都等于0，即：B = B1 , C =C1，所以，表示法唯一。3、答：

11、（Mm , m）不是群，因?yàn)?Mm中有兩個(gè)不同的單位元素 0和矗四、證明題（本大題共 2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）1、對(duì)于G中任意元x, y,由于（xy）2 =e，所以xy =（xy）_ = yx = yx （對(duì)每個(gè),從xe可得x = x）o2、證明在F里abb j(a,b R,b有意義，作F的子集Q =所有 f (a,b R,b = 0)Q顯然是R的一個(gè)商域證畢。近世代數(shù)模擬試題二參考答案一、單項(xiàng)選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)。1、C; 2、D; 3、B; 4、B; 5、A;二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)。1、變換群；2、交換環(huán)；3、2

12、5;4、模n乘余類加群；5、2 ; 6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右單位元；9、消去律成立；10、交換環(huán)；三、解答題(本大題共 3小題，每小題10分，共30分)1、 解：H 的 3 個(gè)右陪集為：1,(1 2)，(1 2 3 )，(1 3) ，(1 3 2 )，(2 3 )H 的 3 個(gè)左陪集為：1,(1 2)，(1 2 3 )，(2 3) ，(1 3 2 )，(1 3 )2、答：(E,)不是群，因?yàn)?E,)中無(wú)單位元。3、解方法一、輾轉(zhuǎn)相除法。列以下算式：a=b+102b=3X 102+85102=1X 85+17由此得到(a,b)=17, a,b=a X b/17=11339。然后回

13、代：17=102-85=102-(b-3 X 102)=4 X 102-b=4 X (a-b)-b=4a-5b.所以 p=4, q=-5.四、證明題(本大題共 2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分)1、證明 設(shè) e 是群 的幺元。令 x= a 1*b，貝U a*x = a*(a 1*b) = (a*a 1)*b = e*b = b。所以，x= a 1*b 是 a*x =b的解。若 xW G也是 a*x = b 的解，貝U x = e*x = (a 1*a)*x = a 1*(a*x ) = a 1*b = x。所以，x = a 1*b 是 a*x = b 的惟一 解。2、容易證明這樣

14、的關(guān)系是Z上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，把這樣定義的等價(jià)類集合Z記為Zm每個(gè)整數(shù)a所在的等價(jià)類記為a= x W Z; m| x - a或者也可記為 a,稱之為模 m剩余類。若 m | a - b也記為a= b(m)。 當(dāng)m=2時(shí)，Z2僅含2個(gè)元：0與1。近世代數(shù)模擬試題三參考答案一、單項(xiàng)選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的， 請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。1、C; 2、C; 3、D; 4、D 5、A;、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。1、唯一、唯一;2、 a

15、; 3、 2; 4、 24; 5、6、相等;7、商群;三、解答題(本大題共 3小題，每小題10分，共30分)1、解 在學(xué)群論前我們沒(méi)有一般的方法，只能用枚舉法。用筆在紙上畫(huà)一下，用黑白兩種珠子，分類進(jìn)行計(jì)算：例如, 全白只1種，四白一黑1種，三白二黑2種，等等，可得總共 8種。W S1A S2 有 a-b, ab W S1 n S2：W S2 ,2、證 由上題子環(huán)的充分必要條件，要證對(duì)任意a,b因?yàn)镾1, S2是A的子環(huán)，故 a-b, ab W S1和a-b, ab 因而a-b, ab W S1n S2，所以S1n S2是子環(huán)。S1+S2不一定是子環(huán)。在矩陣環(huán)中很容易找到反例：” 0c 0易見(jiàn)

16、禺與鳥(niǎo)均為子環(huán)，但禺廠：3、解：斗15 =(1243)(56) t = (16524) 1 ? ?2 兩個(gè)都是偶置換。四、證明題(本大題共 2小題，第1題10分，第2小題15分，共25 分)1、 證明：假定是R的一個(gè)理想而不是零理想，那么 a = J ,由理想的定義a_a=：1，因而r的任意元 b = b *1這就是說(shuō)J=R，證畢。2、證必要性：將b代入即可得。充分性：利用結(jié)合律作以下運(yùn)算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e ，ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e ，所以b=a-1 o近世代數(shù)試卷一、判斷題(下列命題你認(rèn)為正確的在題后括號(hào)內(nèi)打，錯(cuò)的打“x

17、” ；每小題1分，共10分)1、 設(shè)A與B都是非空集合，那么 A 一 B=：xxA且B：。()2、 設(shè)A、B、D都是非空集合，則 A B到D的每個(gè)映射都叫作二元運(yùn)算。()3、 只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射fo()4、 如果循環(huán)群 G = a中生成元a的階是無(wú)限的，貝U G與整數(shù)加群同構(gòu)。()5、 如果群G的子群H是循環(huán)群，那么 G也是循環(huán)群。()16、群G的子群H是不變子群的充要條件為 -g G,-h H ; g Hg H o ()7、如果環(huán)R的階_2，那么R的單位元1-0 o()8若環(huán)R滿足左消去律，那么 R必定沒(méi)有右零因子。()9、F(x)中滿足條件p()=0的多項(xiàng)式叫做

18、元：在域F上的極小多項(xiàng)式。()10、若域E的特征是無(wú)限大，那么 E含有一個(gè)與)同構(gòu)的子域，這里 Z是整數(shù)環(huán)，(p )是由素?cái)?shù)p生成的主理想。()二、單項(xiàng)選擇題(從下列各題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，并將其號(hào)碼寫在題干后面的括號(hào)內(nèi)。答案選錯(cuò)或未 作選擇者，該題無(wú)分。每小題1分，共10分)1、 設(shè)，An和D都是非空集合，而f是A1 A2 An到D的一個(gè)映射，那么()集合A,A2,，An,D中兩兩都不相同； A1,A2/ , An的次序不能調(diào)換； A1 A2 An中不同的元對(duì)應(yīng)的象必不相同； 一個(gè)元 aa2,，a.的象可以不唯一。2、 指出下列那些運(yùn)算是二元運(yùn)算()在整數(shù)集Z上，a，b b ；在

19、有理數(shù)集Q上，aab ；ab在正實(shí)數(shù)集 R*上，a b=alnb:在集合nZno上，ab=a-b。3、 設(shè) 是整數(shù)集Z上的二元運(yùn)算，其中 a b = max la,b.f (即取a與b中的最大者)，那么乜在Z中()不適合交換律；不適合結(jié)合律；存在單位元；每個(gè)元都有逆元。4、 設(shè)G,為群，其中G是實(shí)數(shù)集，而乘法 :ab k，這里k為G中固定的常數(shù)。那么群 G/中的單位元e和元x的逆元分別是()0和-x ；1和0 ；k和x-2k ；-k和-(x 2k)。5、設(shè)a,b,c和x都是群G中的元素且x2a =bxc，acx =xac，那么x=() bc Ja 4 ； c a ； a 4bc 4 ； b c

20、a。6、設(shè)H是群G的子群，且G有左陪集分類 如,aH ,bH ,cH 。如果6,那么G的階G =()6；24；10 ；12o7、 設(shè)f ：G1 G2是一個(gè)群同態(tài)映射，那么下列錯(cuò)誤的命題是()f的同態(tài)核是G1的不變子群；G2的不變子群的逆象是 G1的不變子群；G1的子群的象是G2的子群；G1的不變子群的象是 G2的不變子群。8設(shè)f : R1 R2是環(huán)同態(tài)滿射，f(a)二b，那么下列錯(cuò)誤的結(jié)論為()若a是零元，則b是零元；若a是單位元，則b是單位元；若a不是零因子，則b不是零因子；若 R2是不交換的，則 R1不交換。9、下列正確的命題是()歐氏環(huán)一定是唯一分解環(huán)；主理想環(huán)必是歐氏環(huán)；唯一分解環(huán)必是

21、主理想環(huán)；唯一分解環(huán)必是歐氏環(huán)。10、 若|是域F的有限擴(kuò)域，E是I的有限擴(kuò)域，那么() E:l 二 E:II:F ； F:E=I:FE:I ； l:F=E:FF:l ； E:F=E:II:F。三、填空題(將正確的內(nèi)容填在各題干預(yù)備的橫線上，內(nèi)容填錯(cuò)或未填者，該空無(wú)分。每空1分，共10分)1、 設(shè)集合 A _ .1,0,1 ； B J1,2 二則有 B A=。2、 如果f是A與A間的一一映射，a是A的一個(gè)元，則f Jf a丨二。3、 設(shè)集合A有一個(gè)分類，其中 A與4是A的兩個(gè)類，如果 A = Aj ,那么Ai Aj二。4、 設(shè)群G中元素a的階為m，如果a =e，那么m與n存在整除關(guān)系為 。5、

22、 凱萊定理說(shuō)：任一個(gè)子群都同一個(gè) 同構(gòu)。6、給出一個(gè)5-循環(huán)置換理=(31425)，那么二=。7、若I是有單位元的環(huán) R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表達(dá)為 。8若R是一個(gè)有單位元的交換環(huán)，I是R的一個(gè)理想，那么 R是一個(gè)域當(dāng)且僅當(dāng)I是。9、 整環(huán)I的一個(gè)元 p叫做一個(gè)素元，如果 。10、 若域F的一個(gè)擴(kuò)域 E叫做F的一個(gè)代數(shù)擴(kuò)域，如果 。四、改錯(cuò)題(請(qǐng)?jiān)谙铝忻}中你認(rèn)為錯(cuò)誤的地方劃線，并將正確的內(nèi)容寫在預(yù)備的橫線上面。指出錯(cuò)誤1分，更正錯(cuò)誤2分。每小題3分，共15分)1、 如果一個(gè)集合 A的代數(shù)運(yùn)算同時(shí)適合消去律和分配律，那么在a1 a an里，元的次序可以掉換。2、 有限群的另一定

23、義：一個(gè)有乘法的有限非空集合G作成一個(gè)群，如果滿足 G對(duì)于乘法封閉；結(jié)合律成立、交換律 成立。3、設(shè)I和S是環(huán)R的理想且15 S5 R，如果I是R的最大理想，那么 S= 0。4、唯一分解環(huán)I的兩個(gè)元a和b不一定會(huì)有最大公因子，若d和d都是a和b的最大公因子，那么必有 d = d。5、叫做域F的一個(gè)代數(shù)元，如果存在 F的都不等于零的元 a0,a1/ ,an使得a0 a1川二川an n = 0。五、計(jì)算題(共15分，每小題分標(biāo)在小題后) 1、給出下列四個(gè)四元置換2 3 41組成的群3 =小2 4 3丿并且求出 G的單位元及2 3 4 yG，試寫出G的乘法表，60丨1丨2丨3|4丨51? 是模6的剩

24、余類環(huán)，4 =2 1 4 和G的所有子群。且 f(x),g(x) Z6 l-x 1。如果 f (x) - 3x3 5上2丨、2、設(shè)Zg(x 4 x25 x 31,計(jì)算 f (x) g(x)、f(x) -g(x)和 f (x)g(x)以及它們的次數(shù)。六、證明題(每小題 10分，共40分)1、設(shè)a和b是一個(gè)群G的兩個(gè)元且ab = ba，又設(shè)a的階a二m， b的階b二n ,并且(m,n) = 1，證明：ab的階ab二 mn 。2、 設(shè)R為實(shí)數(shù)集，a,bR,a =0，令怙：R R,x ax b R，將R的所有這樣的變換構(gòu)成一個(gè)集合 G =f(a,b)忖a,b R,a，試證明：對(duì)于變換普通的乘法，G作成

25、一個(gè)群。3、 設(shè)丨1和丨2為環(huán)R的兩個(gè)理想，試證丨1 口丨2和I1 +I2 =a+ba乏l1,b丨2都是R的理想。4、 設(shè)R是有限可交換的環(huán)且含有單位元1,證明：R中的非零元不是可逆元就是零因子。近世代數(shù)試卷參考解答一、判斷題12345678910x xVVx VVVx x二、單項(xiàng)選擇題 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10三、填空題1、)(1,0 )(1,12,1 )(2,0 )(2,1 卩。2、a。 3、$。4、mn。5、變換群。6、 13524。 7 、x ay , xi, y R。 8、一個(gè)最大理想。9、 p既不是零元，也不是單位，且q只有平凡因子。10、E的每一個(gè)元都是 F上的一

26、個(gè)代數(shù)元。四、改錯(cuò)題1、 如果一個(gè)集合 A的代數(shù)運(yùn)算同時(shí)適合消去律和分配律，那么在a1 a an里，元的次序可以掉換。結(jié)合律與交換律2、 有限群的另一定義：一個(gè)有乘法的有限非空集合G作成一個(gè)群，如果滿足 G對(duì)于乘法封閉；結(jié)合律成立、交換律 成立。消去律成立3 I和s是環(huán)R的理想且I二S二R，如果I是R的最大理想，那么 S = 0。S=l 或 S=R4、 唯一分解環(huán)|的兩個(gè)元a和b不一定會(huì)有最大公因子，若 d和d都是a和b的最大公因子，那么必有 d=d。一定有最大公因子；d和d 只能差一個(gè)單位因子5、 二叫做域F的一個(gè)代數(shù)元，如果存在 F的都不等于零的元 a0 ,a1, an使得a0 - a1亠

27、二亠ann =0。不都等于零的元啊啊 點(diǎn)集拓?fù)湓囶}樣卷A一、單項(xiàng)選擇題(每小題3分，共30分)1、 設(shè)X =a,b,c，下列集族中，X上的拓?fù)涫?(). T 二X, ,a,a,b,c T =X, ,a, a,b, a,c T =X, ,a, b, a,c T =X, ,a, b, c2、已知 X 二a,b,c,d，拓?fù)?T =X, ,a,則b=()Xbb,c,d3、設(shè)X a,b,c，拓?fù)銽 Y是拓?fù)淇臻gX到丫的一個(gè)映射，如果它是一個(gè)滿射，并且 丫的拓?fù)涫菍?duì)于映射f而言的商 拓?fù)?，則稱f是一個(gè)商映射；三、名詞解釋(每小題4分，共20分)1、序列是一個(gè)拓?fù)淇臻g，每一個(gè)映射 S:Z .X叫做X中的一

28、個(gè)序列.2、A1空間一個(gè)拓?fù)淇臻g如果在它的每一點(diǎn)處有一個(gè)可數(shù)鄰域基，則稱這個(gè)拓?fù)淇臻g是一個(gè)滿足第一可數(shù)性公理的空間，簡(jiǎn)稱為A1空間.3、正則空間：設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果X中的任何一個(gè)點(diǎn)和任何一個(gè)不包含這個(gè)點(diǎn)的閉 集都各自有一個(gè)開(kāi)鄰域，它們互不相交，則稱 X是正則空間.4、緊致空間設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g.如果X的每一個(gè)開(kāi)覆蓋都有一個(gè)有限子覆蓋，則稱拓?fù)淇?間X是一個(gè)緊致空間.5、同胚映射設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g.如果f :X Y是一個(gè)一一映射，并且f和 f:Y X都是連續(xù)映射，則稱f是一個(gè)同胚映射或同胚.四、證明題(每小題6分，共30分)1、設(shè)f : X Y是從連通空間X到拓?fù)淇臻gY的一個(gè)連續(xù)映射.

29、則f (X)是Y的一個(gè)連通子集.證明：如果f(X)是丫的一個(gè)不連通子集，則存在丫的非空隔離子集代B使得 f (X) = A 一. B 3 分于是f(A), f(B)是X的非空子集，并且：(f(A) - fB) 一.(fB廠 fA)(fA廠 f(B)_ (fB廠 fA) 二 f，(AB) - (A - B)二所以 f (A), f /(B)是 X 的非空隔離子集 此外，f =(A) 一 f，(B)二 fB)二 f -1(f(X) X，這 說(shuō)明X不連通，矛盾.從而f(X)是Y的一個(gè)連通子集. 6分2、 設(shè)X是一個(gè)含有不可數(shù)多個(gè)點(diǎn)的可數(shù)補(bǔ)空間.證明X不滿足第一可數(shù)性公理.證明：若X滿足第一可數(shù)公理，

30、則在* X處，有一個(gè)可數(shù)的鄰域基，設(shè)為V x，因?yàn)閄是可數(shù)補(bǔ)空間， 因此對(duì)一廠X,y = x,X-y是x的一個(gè)開(kāi)鄰域，從而 Vy Vx ,使得VyX - y.于是y Vy ,由上面的討論我們知道:X -xHy Vyy.XJxy xjy因?yàn)閄 - x是一個(gè)不可數(shù)集，而Vu是一個(gè)可數(shù)集，矛盾.yEXjx從而X不滿足第一可數(shù)性公理 6分3、設(shè)燈是T2空間X的一個(gè)收斂序列，證明：Xj的極限點(diǎn)唯一.證明：若極限點(diǎn)不唯一，不妨設(shè)lim xi = %, lim x= y2,其中乂豐y，由于X是T2空間，故y1和y2各 i_SC自的開(kāi)鄰域u ,V，使得U - .因lim xi二yi，故存在Ni 0，使得當(dāng)i

31、N“時(shí)，U ;同理存在N20，使得當(dāng) iN2 時(shí)，xV. 3分令N =maxNi, N?,則當(dāng)i N時(shí)，xr U V,從而U V ：，矛盾，故人的極限點(diǎn)唯一. 6分4、證明T 4空間中任何一個(gè)連通子集如果包含著多于一個(gè)點(diǎn)，則它一定是一個(gè)不可數(shù)集.證明：設(shè)C是T4空間X中的一個(gè)連通子集，如果C不只包含一個(gè)點(diǎn)，任意選取x,r C,x=y.對(duì)于T4 空間X中的兩個(gè)無(wú)交的閉集x, y，應(yīng)用Urysohn引理可見(jiàn)，存在一個(gè)連續(xù)映射f : X 0,1， 使得 f(x) =0 和 f(y) =1. 3分由于C是X的一個(gè)連通子集，從而f(C)連通，由于0,1 f(C)，所以f(C0，,由于0,是一個(gè)不可數(shù)集，

32、所以C也是一個(gè)不可數(shù) 集6分5、設(shè)X是一個(gè)正則空間，A是X的一個(gè)緊致子集，Y X .證明：如果A二丫二A,則Y也是X的一個(gè) 緊致子集.證明：設(shè)A是任意一個(gè)由X中的開(kāi)集構(gòu)成的丫的覆蓋，因此A也是A的一個(gè)覆蓋，由于A是X的緊 n致子集，從而A有有限個(gè)成員4，,An使得 A二A. 3分im nn由于A是正則空間的緊致子集，從而 A有一個(gè)開(kāi)鄰域U，使得U A ,從而有 A二A二Y,i =1匸 1從而A有有限子覆蓋幾，,An，因此Y是X的一個(gè)緊致子集.6分點(diǎn)集拓?fù)湓囶}樣卷B一、選擇題(將正確答案填入題后的括號(hào)內(nèi)，每題3分，共18分)1、已知X =a,b,c,d,e,下列集族中， 是X上的拓?fù)?() T

33、=X, ,a, a,b, a, c,e T X, ,a,b,c, a,b,d, a,b,c,e T 二X, ,a,a,b T 二X, ,a, b, c, d, e2、已知 X 二a,b，拓?fù)?T =X, ,a,則荷是 ()Xab3、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價(jià)關(guān)系：x y x, y (：,1或者 x, y (1,2或者 x, y (2,二)設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集丫二1,2,3，則丫的商拓?fù)涫?() ,Y,3,2,3 ,Y,3 ,Y,3,1,2 ,Y4、 下列拓?fù)鋵W(xué)的性質(zhì)具有可遺傳性的是()連通性t2正則正規(guī)5、設(shè) X =1,2 , T 二X, ,2,則(X,T )是 ()To空間Ti空間 T2空間T36下列拓?fù)鋵W(xué)的性質(zhì)具有有限可積性的是 ()連通性緊致性正則性 可分性1、2、3、4、5、6、二、簡(jiǎn)答題(每題4分，共32分)1、寫出同胚映射的定義.設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g.如果f : X )Y是一個(gè)映射，并且f和f J：Y X都是連續(xù)映射，則稱f是一個(gè)同胚映射.2