1、二次型習(xí)題課,第六章 二次型,一、要點(diǎn)復(fù)習(xí),二、典型例題介紹,二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形的概念,定義: 含有n個變量x1, x2, , xn的二次齊次函數(shù) f(x1, x2, , xn)=a11x12+a22x22+annxn2 +2a12x1x2+2a13x1x3+2an-1,nxn-1xn,稱為二次型.,只含有平方項(xiàng)的二次型 f(x1, x2, , xn)=k1y12+k2y22+knyn2,稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形(或法式).,若記,則二次型可記作 f =xTAx, 其中A為對稱矩陣(矩陣表示).,對稱矩陣A叫做二次型 f 的矩陣, f 叫做對稱矩陣A的二次型, 對稱矩陣A的秩叫做二次型 f 的秩.,化

2、二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,定理1: 任給可逆矩陣C, 令B=CTAC, 如果A為對稱矩陣, 則B也為對稱矩陣, 且R(A)=R(B).,說明1: 二次型 f 經(jīng)可逆變換 x=Cy 后, 其秩不變, 但 f 的矩陣由A變?yōu)锽=CTAC;,說明2: 要使二次型 f 經(jīng)可逆變換 x=Cy 變成標(biāo)準(zhǔn)形, 就是要使,yT(CTAC)y =k1y12+k2y22+knyn2,也就是要使CTAC成為對角矩陣.,定理2: 任給二次型,總有正交變換 y=Px, 使 f 化為標(biāo)準(zhǔn)形:,f = 1y12+2y22+nyn2,其中1, 2, ,n,是 f 的矩陣A=(aij)的特征值.,用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟:,

3、1. 將二次型表示成矩陣形式 f = xTAx, 求出A; 2. 求出A的所有特征值1, 2, , n ; 3. 求出對應(yīng)特征值i 的正交單位化的特征向量組, 從而有正交規(guī)范向量組 1, 2, , n ;,拉格朗日配方法的具體步驟,1. 若二次型含有xi 的平方項(xiàng), 則先把含有xi的乘積項(xiàng)集中, 然后配方, 再對其余的變量同樣進(jìn)行, 直到都配成平方項(xiàng)為止, 經(jīng)過非退化線性變換, 就得到標(biāo)準(zhǔn)形;,2. 若二次型中不含有平方項(xiàng), 但是aij0 ( i j ), 則先 作可逆線性變換:,化二次型為含有平方項(xiàng)的二次型, 然后再按1中方 法配方.,( k i, j ).,4. 記P=(1, 2, , n

4、 ), 作正交變換x=Py, 則得 f 的標(biāo)準(zhǔn)形:,f = 1y12+2y22+nyn2 .,正定二次型,定義: 設(shè)有實(shí)二次型 f(x)=xTAx,顯然 f (0)=0. 如果對任意的 x 0, 都有 f(x)0, 則稱 f 為正定二次型, 并稱對稱矩陣A為正定矩陣; 如果對任意的 x 0, 都有 f(x)0, 則稱 f 為負(fù)定二次型, 并稱對稱矩陣A為負(fù)定矩陣.,使 f = k1y12+k2y22+kryr2 (ki 0), 及 f = 1z12+2z22+rzr2 (i 0).,定理1(慣性定理): 設(shè)有實(shí)二次型 f = xTAx, 它的秩為r , 有兩個實(shí)的可逆變換:,則k1, k2,

5、, kr與1, 2, , r中正數(shù)的個數(shù)相等.,x=Cy, 及 x=Pz,定理2: 實(shí)二次型f(x)=xTAx為正定的充分必要條件是它的標(biāo)準(zhǔn)形的n個系數(shù)全為正.,推論: 對稱矩陣A為正定的充分必要條件是A的特征值全為正.,定理3(霍爾維茨定理): (1)對稱矩陣A為正定的充分必要條件是A的各階主子式為正, 即,(2)對稱矩陣A為負(fù)定的充分必要條件是A的奇數(shù)階主子式為負(fù), 而偶數(shù)階主子式為正, 即,正定矩陣具有以下一些簡單性質(zhì):,1. 若A為正定的, 則AT, A-1, A*均為正定矩陣.,2.若A, B均為n階正定矩陣, 則A+B也是正定矩陣.,典型例題,二、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,三、判定二次型的

6、正定性,一、二次型及其矩陣表示,10,一、二次型及其矩陣表示,11,12,二、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,解第一步將表成矩陣形式,解,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,32,33,34,35,三、判定二次型的正定性,分析：根據(jù)正定的充要條件是各階順序主子式大于0 來確定k的值。,解：f的矩陣為,解得,2.設(shè)U為可逆矩陣， ,證明A為正定矩陣。,分析：這里沒有給出具體的矩陣，故根據(jù)正定的定義 來證明。,解：對于任意給定的非零向量x，由于U可逆，則 Ux也非零。,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,55,56,57,58,59,60,61,16.

7、證明：秩等于r的對稱矩陣可以表成r個秩等于1的對稱矩陣之和.,證: 由題設(shè),又因?yàn)?，存在可逆矩陣C使,于是,17.設(shè)A是一個n級矩陣，證明： A是反對稱矩陣當(dāng)且僅當(dāng)對任一個n維向量X， 有XAX=0； 2)如果A是對稱矩陣，且對任一個n維向量X有XAX=0，那么A=0.,證: 1）必要性,充分性,取,取,從而,可知 A 反對稱.,2）,則由1）知,從而,反對稱，,18.如果把實(shí)n級對稱矩陣按合同分類，即兩個實(shí)n 級對稱矩陣屬于同一類當(dāng)且僅當(dāng)它們合同，問共 有幾類？,解: 實(shí)對稱矩陣A與B合同充要條件是 存在可逆矩陣T與C使,考慮對角矩陣D的相應(yīng)二次型的合同分類情況， 共計r+1個合同類.但秩r又分別取n，n-1，2,1,0，,.,故共有,.,19.證明：一個實(shí)二次型可以分解成兩個實(shí)系數(shù)的一次齊次多項(xiàng)式的乘積的充分必要條件是，它的秩等于2且符號差等于0，或者秩等于1.,證: 必要性,設(shè),1) 若上式右邊的兩個一次式系數(shù)成比例，即,.,二次型化為,秩為1.,2) 若上式右邊的兩個一次式系數(shù)不成比例，設(shè),二次型化為,二次型化為,秩為2，且符號差為0.,充分性,1）,秩為1，,則可經(jīng)線性替換X=CY，二次型化為,.,2）,秩為2，且符號差為0，,則可經(jīng)線性替換X=CY，二次型化為,可表成兩個一次齊次式的乘積.,總之，,.,20.設(shè)A為一個n級實(shí)對稱矩陣，且|A|0,