1、中南大學(xué)開(kāi)放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組中南大學(xué)開(kāi)放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A A2.3 2.3 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用2.3.4 曲線的凹性及其判定法曲線的凹性及其判定法2.3.5 曲線的拐點(diǎn)及其求法曲線的拐點(diǎn)及其求法 2.3.6 曲線的漸近線曲線的漸近線2.3.7 函數(shù)圖形的描繪方法函數(shù)圖形的描繪方法 2.3 2.3 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用課堂思考與練習(xí)課堂思考與練習(xí) . 函數(shù)圖形的凹凸性函數(shù)圖形的凹凸性一一圖形上任意弧段位于圖形上任意弧段位于所張弦的上方所張弦的上方xyo1x2x)(xfy )(xfy xyo1x2x圖形上任意弧段位于圖形上任意弧段位于所張弦的下方所張弦的

2、下方的的直直線線方方程程為為和和過(guò)過(guò))(,()(,(2211xfxxfx,)()()(121121xxxxxfxfxfy 即即),()()()(112121xxxxxfxfxfy 若若函數(shù)為凸函數(shù)函數(shù)為凸函數(shù), 則有則有),()()()()(112121xxxxxfxfxfxf ),()()(21211122xfxxxxxfxxxxxf ,21211122 xxxxxxxx令令, 1221121xxx 則則).()()(22112211xfxfxxf 類(lèi)似地類(lèi)似地, 若函數(shù)為凹函數(shù)若函數(shù)為凹函數(shù), 則有則有).()()(22112211xfxfxxf 1. 定義定義: 設(shè)設(shè) f (x)在在 I

3、內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù),21Ixx . 1, 0, 02121 且且),()()()1(22112211xfxfxxf 若若則則 f (x)為區(qū)間為區(qū)間 I上的凸函數(shù)上的凸函數(shù).),()()()2(22112211xfxfxxf 若若則則 f (x)為區(qū)間為區(qū)間 I上的凹函數(shù)上的凹函數(shù).如圖所示如圖所示xoy凹弧的凹弧的曲線位于各點(diǎn)處切線的上方曲線位于各點(diǎn)處切線的上方xoy凸弧凸弧的的曲線位于各點(diǎn)處切線的下方曲線位于各點(diǎn)處切線的下方1x 2x 3x tantantan ).()()( , 321321xfxfxfxxx 時(shí)時(shí)即當(dāng)即當(dāng). )(單調(diào)遞增單調(diào)遞增xf 2. 判別法判別法 定理定理1.),()(

4、 )(),()1(內(nèi)遞減內(nèi)遞減在在充要條件是導(dǎo)函數(shù)充要條件是導(dǎo)函數(shù)為凸函數(shù)的為凸函數(shù)的內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間baxfxfba .),()( )(),()2(內(nèi)遞增內(nèi)遞增在在充要條件是導(dǎo)函數(shù)充要條件是導(dǎo)函數(shù)為凹函數(shù)的為凹函數(shù)的內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間baxfxfba 定理定理2. 設(shè)設(shè) f (x)在在(a,b)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù), , 0)(),( )1( xfbax時(shí)有時(shí)有若若則則 f (x)在在(a,b)內(nèi)的圖形是凸的內(nèi)的圖形是凸的., 0)(),( )2( xfbax時(shí)有時(shí)有若若則則 f (x)在在(a,b)內(nèi)的圖形是凹的內(nèi)的圖形是凹的.例例1. 判定下列曲

5、線的凹凸性判定下列曲線的凹凸性.arctan)()2( ;ln)()1(xxfxxf 例例2.).1, 0, 0( )2()(21 nyxyxyxyxnnn證明證明例例1. 判定下列曲線的凹凸性判定下列曲線的凹凸性.arctan)()2( ;ln)()1(xxfxxf 解解:)., 0( ln)( (1) 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)閤xf,1)(xxf . 01)(2 xxf.), 0( ln)(上是凸的上是凸的的圖形在的圖形在 xxf).,( arctan)( (2) 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)閤xf,11)(2xxf .)1(2)(22xxxf . 0 , 0)( xxf得得令令列表討論如下列表討論如

6、下: x)0 ,(0), 0()(xf 0 )(xf;)0 ,( arctan)(上上是是凹凹的的的的圖圖形形在在 xxf.),0(上上是是凸凸的的在在 例例2.).1, 0, 0( )2()(21 nyxyxyxyxnnn證明證明證明證明:).1, 0( )( ntttfn設(shè)設(shè),)(1 nnttf)1, 0( 0)1()(2 nttnntfn. )(是凹的是凹的nttf ).2(2)()(yxfyfxf .)2()(21 nnnyxyx 即即定義定義: . 函數(shù)圖形的拐點(diǎn)函數(shù)圖形的拐點(diǎn)二二連續(xù)曲線連續(xù)曲線y=f(x)上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱(chēng)為拐點(diǎn)上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱(chēng)為拐點(diǎn). ., 2, 1,

7、 0),0 ,( sin kkxy 的拐點(diǎn)有的拐點(diǎn)有如如xoy定理定理3 (拐點(diǎn)存在的必要條件拐點(diǎn)存在的必要條件) . 0)(,)(,( ,)(0000 xfxfxIxxf則則為拐點(diǎn)為拐點(diǎn)若若上二階可導(dǎo)上二階可導(dǎo)的區(qū)間的區(qū)間在包含在包含設(shè)設(shè)注意注意: :拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過(guò)曲線拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過(guò)曲線.注意注意: ,),()(0內(nèi)存在內(nèi)存在在在設(shè)設(shè) xUxf 0)(,;0)(,)1(00 xfxxxfxx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng).)()(,(00的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)是曲線是曲線則則xfyxfx 或者或者0)(,;0)(,)2(00 xfxxxfxx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng).)()(,(00的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)是曲

8、線是曲線則則xfyxfx .點(diǎn)的步驟點(diǎn)的步驟判定函數(shù)圖形凹凸與拐判定函數(shù)圖形凹凸與拐三三.)()1(的定義域的定義域?qū)懗鰧?xiě)出xf).()2(xf 求求.0)()3(ixxf的點(diǎn)的點(diǎn)的點(diǎn)及二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)及二階導(dǎo)數(shù)不存在求出求出 .)4(小小區(qū)區(qū)間間將將定定義義區(qū)區(qū)間間分分成成若若干干個(gè)個(gè)ix;)()5(的的符符號(hào)號(hào)可可得得凹凹凸凸區(qū)區(qū)間間由由xf .,)(,()(,否否則則不不是是拐拐點(diǎn)點(diǎn)為為拐拐點(diǎn)點(diǎn)變變號(hào)號(hào)則則左左右右兩兩側(cè)側(cè)若若在在iiixfxxfx 例例3. .14334的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)求求 xxy例例4. .4)3(3的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)求求 xy例例5.

9、?)3 , 1( ,23的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)為曲線為曲線為何值時(shí)為何值時(shí)問(wèn)問(wèn)bxaxyba .143. 334的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)求求例例 xxy解解:).,(的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)楹瘮?shù)函數(shù)y,121223xxy ).32(3624362 xxxxy.32, 0 , 0 21 xxy得得令令x)0 ,(0)32, 0(32),32(y 00 y拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn). )2711,32( )1 , 0(是拐點(diǎn)是拐點(diǎn)和和例例4. .4)3(3的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)求求 xy解解:, 433 xy).,(其定義域?yàn)槠涠x域?yàn)?)4(3132 xy.)4()4(9232 xxy,0的的點(diǎn)點(diǎn)沒(méi)沒(méi)

10、有有二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為x)4 ,(4), 4(y 不存在不存在 y拐點(diǎn)拐點(diǎn). )3,4(是是拐拐點(diǎn)點(diǎn).4為不可導(dǎo)點(diǎn)為不可導(dǎo)點(diǎn)但但 x例例5.?)3 , 1( ,23的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)為曲線為曲線為何值時(shí)為何值時(shí)問(wèn)問(wèn)bxaxyba 解解:,232bxaxy .26baxy . )3 , 1(23的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)是是又又bxaxy 3)1( y0)1( y 0263 baba.29,23 ba . 曲曲線線的的漸漸近近線線四四1. 水平漸近線水平漸近線 ,)(lim )(lim )(limAxfAxfAxfxxx 或或或或若若則則 y=A 是曲線是曲線 y = f(x) 的水平漸近線的水平漸近線. 2.

11、鉛直漸近線鉛直漸近線 ,)(lim )(lim )(lim xfxfxfaxaxax或或或或若若則則 x=a 是是曲線曲線 y = f(x) 的的鉛直漸近線鉛直漸近線. 3. 斜漸近線斜漸近線 , 0)()(lim bkxxfx若若則則 y=kx+b 是曲線是曲線 y=f(x) 的斜的斜漸近線漸近線. 由此可得由此可得,)(limxxfkx .)(limkxxfbx 例例6.32 23的漸近線的漸近線求曲線求曲線 xxxy解解:,)1)(3(3 xxxy,)1)(3(limlim311 xxxyxx,)1)(3(limlim333 xxxyxx. 3 1 xx與與故有鉛直漸近線故有鉛直漸近線,

12、 1)1)(3(lim)(lim 3 xxxxxxfkxx又又)1)(3(lim)(lim3xxxxkxxfbxx , 23232lim22 xxxxx. 2 xy有斜漸近線有斜漸近線 . 函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪五五利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形, 一般步驟如下一般步驟如下:(1) 確定函數(shù)確定函數(shù) f (x)的定義域的定義域.0)( , 0)( (2)的點(diǎn)的點(diǎn)求得求得 xfxf. 0)( 0)( , (3)間間定定義義域域分分成成若若干干個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)的的點(diǎn)點(diǎn)把把和和不不可可導(dǎo)導(dǎo)點(diǎn)點(diǎn)以以間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) xfxf., , )( ),( (4)極極值值與與拐拐點(diǎn)點(diǎn)凹凹凸凸圖圖

13、形形的的升升降降從從而而確確定定出出的的符符號(hào)號(hào)在在各各小小區(qū)區(qū)間間上上確確定定xfxf (5) 求出極值求出極值,拐點(diǎn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)拐點(diǎn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn).(6) 求出漸近線求出漸近線.(7) 描圖描圖.例例7.,1 2描繪圖形描繪圖形設(shè)設(shè)xxy 例例8.,)3(361 2描繪圖形描繪圖形設(shè)設(shè) xxy例例9. .044)3(2的圖形的圖形描繪方程描繪方程 yxyx例例10.21 22的圖形的圖形描繪函數(shù)描繪函數(shù)xey 例例7.,1 2描繪圖形描繪圖形設(shè)設(shè)xxy 解解:).,( (1)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)楹瘮?shù)函數(shù)y,)1(1)2(222xxy . 1 , 0 xy得得令令,)1()3(2322xx

14、xy . 3, 0 , 0 xxy得得令令(3)列表討論如下列表討論如下:x)3,( 3 )1, 3( 1 )0 , 1( 0)1 , 0(1)3, 1(3), 3(y 00 y 000 y,21)1( )4( y極大值為極大值為,21)1( y極小值為極小值為).43, 3(),0 , 0(),43, 3( 拐點(diǎn)有拐點(diǎn)有, 01lim)5(2 xxx. 0為水平漸近線為水平漸近線 y(6) 描圖如下描圖如下: xoy11 例例8.,)3(361 2描繪圖形描繪圖形設(shè)設(shè) xxy解解:)., 3()3,( (1) 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)楹瘮?shù)函數(shù)y,)3()3(36)2(3 xxy. 3 , 0 x

15、y得得令令,)3()6(724 xxy. 6 , 0 xy得得令令(3)列表討論如下列表討論如下:x)3,( 3 )3 , 3( 3)6 , 3(6), 6(y 不存在不存在0 y 不存在不存在0 y, 4)3( )4( y極大值為極大值為).311, 6( 拐點(diǎn)有拐點(diǎn)有).1 , 0(),0 , 336(: 與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn), 1)3(361 lim)5(2 xxx. 1是水平漸近線是水平漸近線 y,)3(361 lim23 xxx. 3是鉛直漸近線是鉛直漸近線 x(6) 描圖如下描圖如下:xoy11 函數(shù)圖形的描繪綜合運(yùn)用函數(shù)圖形的描繪綜合運(yùn)用函數(shù)性態(tài)的研究函數(shù)性態(tài)的研究, ,

16、是導(dǎo)數(shù)應(yīng)是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的綜合考察用的綜合考察. .解解: :,)1(4)3()1(2 xxy定義域?yàn)槎x域?yàn)?,1( , )1 ,( (2) 求關(guān)鍵點(diǎn)求關(guān)鍵點(diǎn))3(2 xy 4044 yxy)1(223 xyxy2)1(4)1)(3( xxxy 42048 yxy)1(241 xyy3)1(2 x得得令令0 y;3,1 x例例9. .044)3(2的圖形的圖形描繪方程描繪方程 yxyx113) 1,() 1 , 1()3, 1 (), 3(xyy y20,)1(4)3(2 xxy,)1(4)1)(3(2 xxxy3)1(2 xy(3) 判別曲線形態(tài)判別曲線形態(tài)00(極大極大)(極小極小)(4) 求

17、漸近線求漸近線,lim1 yx為為鉛直漸近線鉛直漸近線無(wú)定義無(wú)定義1 x又因又因xyx lim,41 41 k即即)41(limxybx 41)1(4)3(lim2xxxx )1(495lim xxx45 )1(4)3(2 xxy(5) 求特殊點(diǎn)求特殊點(diǎn)xy049 241為斜為斜漸近線漸近線4541 xy2)1(4)1)(3( xxxy3)1(2 xy(6)(6)繪圖繪圖(極大極大)(極小極小)斜漸近線斜漸近線1x鉛直漸近線鉛直漸近線4541xy特殊點(diǎn)特殊點(diǎn)11302) 1(4) 3(2xxy2無(wú)定義無(wú)定義xy113)1,()1 , 1()3, 1 (),3(0 xy049241解解: : ( (1) ) 定義域?yàn)槎x域?yàn)? ),( 圖形對(duì)稱(chēng)于圖形對(duì)稱(chēng)于 y 軸軸.(2) 求關(guān)鍵點(diǎn)求關(guān)鍵點(diǎn) y 21 ,22xex y 21 22xe )1(2x 得得令令0 y;0 x得得令令