1、中考數(shù)學(xué)專題1:函數(shù)中幾何、面積、定值、最值問題1.如圖，直線 與X軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，C是0B的中點(diǎn)，D是AB上一點(diǎn)，四邊形 0EDC1菱形，那么 OAE勺面積為?！究键c(diǎn)】勾股定理，菱形的判定，一次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題【答案】一 12. (2021 成都中考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，一次函數(shù)y x 5和y - -2x的圖象交于點(diǎn) A2k反比例函數(shù)y的圖象經(jīng)過點(diǎn)Ax(1) 求反比例函數(shù)的表達(dá)式；1(2) 設(shè)一次函數(shù) y x 5的圖象與反比例函數(shù)2交點(diǎn)為B,連接0B求厶ABO勺面積.【答案】15 ( 直線與X軸交點(diǎn)為C( -10 , 0)4. (2021) (3分)如圖，直

2、線y=x+1與拋物線y=x2 4x + 5交于A B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).當(dāng) PAB的周長最小時(shí)， Sa pab=【答案】125【解析】解方程組二乂？1，得:I y = x -4x 5'A (1 , 2) , B (4, 5),作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A '，連接A'B交y軸于點(diǎn)P.那么A'( ,2) 設(shè)直線A'B解析式為y=kx+b,那么2，解得:4k b = 5直線A'B： 3x 13 當(dāng)ZPAB的周長最小時(shí)，點(diǎn)55P的坐標(biāo)為(0,13 )設(shè)直線AB與y軸的交點(diǎn)5為 C，貝U C ( 0， 1 )S/PAB=SZPCB SZPCA131

3、13(匸-1) 4-(百-1) 152 5125【答案】344【解析】點(diǎn)P是雙曲線C : y ( x 0 )上的一點(diǎn)，.可設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(m，蘭)，：PQ ±x軸，Q xm1 14 1在 y= x2 圖像上， Q 坐標(biāo)為(m，一m-2 ), PQ = (m_2), OQ面積2 2m21 4 112=一 >mx一-( m -2= (m -2 ) +3，當(dāng) m=2 時(shí)， POQ面積的最大值為 3.2 m245. ( 2021 深圳)如圖，拋物線經(jīng) y=ax2+bx+c 過點(diǎn) A (-1 , 0)，點(diǎn) C( 0, 3)，且 OB=OC(1) 求拋物線的解析式及其對(duì)稱軸；(2)點(diǎn)D E在

4、直線x=1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且 DE=1,點(diǎn)D在點(diǎn)E的上方，求四邊形 ACDE勺周長的最小值.(3)點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn),求點(diǎn)P的坐標(biāo).解:( 1 ) OB=OC,點(diǎn) B (3, 0),那么拋物線的表達(dá)式為:y=a2 2(x+1)( x-3) =a(x-2x-3) =ax -2ax-3a,故-3a=3，解得：a=-1,二、10 1 A' C'二、101,13 3如圖，設(shè)直線 CP交x軸于點(diǎn)E,直線CP把四邊形CBPA的面積分為3 : 5兩局部,又 T SPCB : Sa PCA1EB X2(yC-yp)-AE X( yc-yp) =BE : AE ,2貝U BE : AE=3 : 5

5、 或 5 : 3,故拋物線的表達(dá)式為：y=-x2+2x+3，對(duì)稱軸為 x=1.(2) ACDE 的周長=AC+DE+CD+AE，其中 AC = 10、DE=1 是常數(shù), 故CD+AE最小時(shí)，周長最小，取點(diǎn)C關(guān)于函數(shù)對(duì)稱點(diǎn) C 2，3,貝U CD=C' D,取點(diǎn) A'-1, 1，貝U A' D=AE ,故：CD+AE=A' D+DC '，那么當(dāng) A'、D、C'三點(diǎn)共線時(shí)， CD+AE=AD+DC '最小，周長也最小，四邊形 ACDE的周長的最小值 =AC+DE+CD+AE =/ A' D+DCP的坐標(biāo)為4, -5或8, -4

6、55331那么AE 或，即：點(diǎn)E的坐標(biāo)為一，0或一，0,2222將點(diǎn)E、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y=kx+3，解得：k=-6或-2,故直線CP的表達(dá)式為：y=-2x+3或y=-6x+3 ,聯(lián)立 y 一 -X 2X 3并解得：x=4或8 不合題意值已舍去，點(diǎn) y = -6x +3掌握：1.相互垂直的直線，K1.K2=-1 ;2.三角形的面積，通常采用分割方法，找公共的邊，利用高的坐標(biāo)值相加，簡化計(jì)算量6. 2021海南如圖，拋物線y=ax2+bx+5經(jīng)過A - 5，0，B - 4，- 3兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為D,連結(jié)CD1求該拋物線的表達(dá)式；2 點(diǎn)P為該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)B、C

7、不重合，設(shè)點(diǎn) P的橫坐標(biāo)為t . 當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的下方運(yùn)動(dòng)時(shí)，求 PBC的面積的最大值； 該拋物線上是否存在點(diǎn) P,使得/ PBCN BCD假設(shè)存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由.解：(1)將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得:25a - 5b 5 = 0a = 116a-4b 53，解得 b=6故拋物線的表達(dá)式為：y=x2+6x+5.(2)如圖1,過點(diǎn)P作PE丄x軸于點(diǎn)E,交直線BC于點(diǎn)F.22在拋物線 y=x +6x+5 中，令 y=0，那么 x +6x+5=0 ,解得x= - 5, x= - 1 ,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1, 0).由點(diǎn)B (- 4, - 3)和C (- 1, 0

8、),可得直線BC的表達(dá)式為設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t, t2+6t+5)，由題知-4vtv- 1,那么點(diǎn) F (t, t+1 ), FP= (t+1)-( t2+6t+5) =- t2- 5t- SA PBC=SA FPB+SA FPC= - FP 32=3 _t2 _5t -4 = _3t2_6 = _3 t 52 2 2 2 25527- 4< - v - 1 ,.當(dāng)t=- 時(shí)， PBC的面積的最大值為-228存在. y=x2+6r+5= (x+3) 2 - 4,拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-3,- 4).由點(diǎn)C (- 1, 0)和D (- 3,4)，可得直線CD的表達(dá)式為y=2x+2.分兩種情

9、況討論：(i) 當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方時(shí)，有/ PBC= / BCD，如圖2.假設(shè)/ PBC= / BCD，貝U PB/ CD，設(shè)直線 PB的表達(dá)式為y=2x+b.把B (- 4,- 3)代入y=2x+b,得b=5,.直線PB的表達(dá)式為y=2x+5.2由 x +6x+5=2x+5，解得 X1=0, X2= - 4 (舍去)，點(diǎn) P的坐標(biāo)為(0, 5).(ii) 當(dāng)點(diǎn)P在直線BC下方時(shí)，有/ PBC=Z BCD，如圖3.設(shè)直線BP與CD交于點(diǎn)M，那么MB=MC.過點(diǎn)B作BN丄x軸于點(diǎn)N，那么點(diǎn)N ( - 4, 0), NB=NC=3, MN垂直平分線段 BC.(53設(shè)直線MN與BC交于點(diǎn)G,那么線

10、段BC的中點(diǎn)G的坐標(biāo)為 ，-I 22丿由點(diǎn)N (- 4, 0)和G i °, -'，得 直線NG的表達(dá)式為y= - x- 4.I 22丿直線CD:y=2x+2與直線NG :y= - x - 4交于點(diǎn)M ,由 2x+2= - x- 4,解得 x= - 2,二點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(-2,- 2).圖31由B (- 4,- 3)和M ( 2. - 2)，得直線BM的表達(dá)式為y= x _1 .2丄丄13一37由 x+6x+5= X -1，解得 xi= -, x2= - 4 (含去)，點(diǎn) P的坐標(biāo)為(-，-一).222437綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn) P的坐標(biāo)為(0, 5)和(-?，-).

11、247. (2021綿陽)在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù) y=ax2 (a> 0)的圖象向右平移1個(gè)單位，再向下 平移2個(gè)單位，得到如下圖的拋物線，該拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B (點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，OA=1,經(jīng)過點(diǎn)A的一次函數(shù)y=kx+b (kz0)的圖象與y軸正半軸交于點(diǎn) C,且與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為 D,A ABD的 面積為5.(1) 求拋物線和一次函數(shù)的解析式；(2) 拋物線上的動(dòng)點(diǎn) E在一次函數(shù)的圖象下方，求 ACE面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3) 假設(shè)點(diǎn)P為x軸上任意一點(diǎn)，在(2)的結(jié)論下，求 PE + -PA的最小值.|備用團(tuán)【答案】(1) y= x2-x-(2)

12、提示：(2)E(，-)(3) 3昴 U)(d>0)的陽鼻向右平移L牛單仏 再向下平移2亍單位得河的拋"41,二蟲扌炯李標(biāo)為(-1，0).冗人拋糊線的解伽式帯4a-2=D.鋰枷的時(shí)沏辱y即尊宀令尸D* li=-E 2t二旅M(3+ C),V.'-.ABD的面積為bg513*：.Fp=_*代入掘抑我屛曲試得.=JT X2222準(zhǔn)歸一¥|=-階h5代ZHl一】2訕it找個(gè)的戟忻成溝 Ef5：從.b = w咄弘，1 <£ +b = 0Aft't 3前扉和式為尸扌jt+£.i型過必引LEl/r軸忑肋；城如:禺.啜£7, -o一

13、寸、劃if( 7* + ?>£JL£tX 2 = y > ZAEg 乙 REF、PH EG Xin"EG = sinzHEF =聲聖=, 第'-FH =5x = 354技巧：求兩線段之和最小值的方法，將兩線段轉(zhuǎn)化成一條直線利用點(diǎn)在平面 鏡成像原理8. 2021荊州如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形OABC勺頂點(diǎn)A, C的坐標(biāo)分別為6，0,4，3，經(jīng)過B, C兩點(diǎn)的拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)D的坐標(biāo)為1, 0.1求該拋物線的解析式；2 假設(shè)/ AOO的平分線交BC于點(diǎn)E,交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn) F,點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PE+PF的值最小 時(shí)，求點(diǎn)P

14、的坐標(biāo)；3 在2的條件下，過點(diǎn) A作OE的垂線交BC于點(diǎn)H,點(diǎn)M, N分別為拋物線及其對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn) M, N,使得以點(diǎn)M, N, H, E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？假設(shè)存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)，假設(shè)不存在，說明理由.解：(1 )平行四邊形 OABC 中，A ( 6, 0), C ( 4, 3)BC= OA = 6, BC/ x軸Xb = Xc+6 = 10, yB = yc = 3，即 B (10, 3)設(shè)拋物線 y= ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn) B、C、D (1, 0)解得:拋物線解析式為y _x2x 一直線0E交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn) F，對(duì)稱軸為直線：x點(diǎn)E與點(diǎn)E咲于x軸對(duì)稱

15、，點(diǎn) P在x軸上 E' 9, - 3, PE = PE'當(dāng)點(diǎn)F、P、E'在同一直線上時(shí)， PE + PF = PE'+PF = FE'最小設(shè)直線E'F解析式為y= kx+h?-解得：-直線 E'F : y -x+21當(dāng) -x+21 = 0 時(shí)，解得：x 一當(dāng)PE+PF的值最小時(shí)，點(diǎn) P坐標(biāo)為一，0.0/DA i圖23存在滿足條件的點(diǎn) M , N，使得以點(diǎn)M , N , H , E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形.設(shè)AH與0E相交于點(diǎn)G (t, r),如圖2, AH 丄 0E 于點(diǎn) G, A (6, 0):丄 AGO = 90° AG2

16、+OG2= OA2 ( 6 -1) 2+(t)2+t2+ rt) 2= 62解得：= 0 舍去，t2 一 G , 一 設(shè)直線AG解析式為y= dx+e解得:直線 AG : y=- 3x+18 當(dāng) y= 3 時(shí)，-3x+18 = 3，解得：x= 5/ H (5, 3) HE = 9 - 5= 4，點(diǎn)H、E關(guān)于直線x = 7對(duì)稱 當(dāng)HE為以點(diǎn)M , N , H , E為頂點(diǎn)的平行四邊形的邊時(shí)，如圖2那么 HE / MN , MN = HE = 4.點(diǎn)N在拋物線對(duì)稱軸：直線 x = 7上- xm = 7+4或7 - 4，即xm = 11或3當(dāng) x = 3 時(shí)，yM一 9 一 9 一 一 M (3,)或(11,) 當(dāng)HE為以點(diǎn)M , N , H , E為頂點(diǎn)的平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，如圖3那么HE、MN互相平分1直線x = 7平分HE，點(diǎn)F在直線x= 7上點(diǎn)M在直線x = 7上，即M為拋物線頂點(diǎn)叭 yM 49 一 7 4 M (7, 4)0ZDA 1綜上所述，點(diǎn) M坐標(biāo)為(3, )、(11,)或(7, 4).圖3一、幾種常見面積的計(jì)算方法：1.三角形的一邊在x軸上時(shí)， 2.三角形的一邊在y軸上時(shí)i01 x第9