1、1分動點問題專題訓(xùn)練1、如圖，已知 ABC中，AB = AC=10厘米，BC =8厘米，點D為AB的中點.(1)如果點P在線段BC上以3厘米儂的速度由B點向C點運動，同時，點Q 在線段CA上由C點向A點運動.若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，4BPD與4CQP是否全等，請說明理由；若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點 Q的運動速度為多少時，能夠使 BPD與4CQP全等？(2)若點Q以中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來 的運動速度從點B同時出發(fā)，都逆時針沿 ABC三邊運 動，求經(jīng)過多長時間點 P與點Q第一次在ABC的哪條邊上相遇?解：（1）t =1 秒，BP =CQ =3

2、父1 =3 厘米， AB =10厘米，點D為AB的中點，BD =5 厘米.又厘米,.PC=83 = 5厘米PC=BCBP, BC=8,PC =BD .又. AB =AC ,ZB =/C ,ABPD ACQP . （4 分） vP #vQ,BP #CQ ,又.ABPD CQP , NB = NC ,則 BP = PC =4, CQ = BD = 5 , BP4.點P,點Q運動的時間t=EP = 4秒，33CQ 5 15 VQ = =:=一厘米/秒. (7 分)t4 43(2)設(shè)經(jīng)過x秒后點P與點Q第一次相遇，一1 15由題意，得 一x=3x+2M10, 4解得x =80秒.3.點P共運動了 :父

3、3 =80厘米.380=2x28+24 ,點P、點Q在AB邊上相遇,經(jīng)過80秒點P與點Q第一次在邊 AB上相遇. 3(12 分)，32、直線y =-x+6與坐標軸分別父于A B兩點，動點P、Q同時從。點出發(fā), 4同時到達A點，運動停止.點Q沿線段OA運動，速度為每秒1個單位長度,點P沿路線。一 B -A運動.(1)直接寫出A、B兩點的坐標;(2)設(shè)點Q的運動時間為t秒，4OPQ的面積為S,求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系(3)當S=48時，求出點P的坐標，并直接寫出以點O、P、Q為頂點的平行四5邊形的第四個頂點M的坐標.解(1) A (8, 0) B (0, 6)(2) O OA =8, OB =6.

4、AB =10丁點Q由。到A的時間是8=8 （秒）1，點P的速度是"10 =2 （單位/秒）1分8當P在線段OB上運動（或0Wt03）時，OQ=t, OP=2t2S =t 1分當 P在線段 BA上運動(或 3<tw 8)時，OQ=t, AP =6 + 10 2t =16 2t,.一 . PD AP48-6t如圖，作PD_LOA于點D,由得PD ="_6!1分BO AB513 o 24: S =OQ MPD =t2+t 1 分255（自變量取值范圍寫對給 1分，否則不給分.）(3)cr8 24 'P 一，一15 5 JIl<28 245 ' 5，12

5、 24 )<1224M2 I, , M3I-I 5 5 J 1553如圖，在平面直角坐標系中，直線l: y=2x8分別與x軸，y軸相交于A, B兩點，點P (0, k)是y軸的負半軸上的一個動點，以 P為圓心，3為半 徑作。P.(1)連結(jié)PA,若PA=PB,試判斷。P與x軸的位置關(guān)系，并說明理由；(2)當k為何值時，以。P與直線l的兩個交點和圓心P為頂點的三角形 是正三角形？解：(1) O P與x軸相切.直線y=2x 8與x軸交于A (4, 0),與y軸交于B (0, 8), .OA=4, OB=8.由題意，OP= k, .PB = PA=8+k.在 RtAAOP 中，k2+42=(8+

6、k)2, ，k= 3,，OP等于。P的半徑， O P與x軸相切.(2)設(shè)。P與直線l交于C, D兩點，連結(jié)PC, PD當圓心P 在線段 OB上時，作PE LCD于E. PCD為正三角形,DE=1CD = 3 , PD=3,.，PE=3.2. / AOB = / PEB=90° ,AOBA PEB,/ ABO = / PBE,33AO _ PE 4 _ 方一，即 尸一 ，AB PB 4、5 PB. PB 3 15PB2PO =BO PB =83*15 , 23 153 15k = -8. P(0，-272-8),2當圓心P在線段OB延長線上時，同理可得P（0,3巫 一8）,2. k亞8

7、, 2，當卜二35 8或k= 3：58時，以。P與直線l的兩個交點和圓心 P為頂點的三角形是正三角形.4 （09哈爾濱） 如圖1,在平面直角坐標系中，點O是坐標原點，四邊形ABCO 是菱形，點A的坐標為（一3, 4）,點C在x軸的正半軸上，直線 AC交y軸于點M , AB邊交y軸于點H .（1）求直線AC的解析式；（2）連接BM,如圖2,動點P從點A出發(fā)，沿折線ABC方向以2個單 位/秒的速度向終點 C勻速運動，設(shè)乙PMB的面積為S （SW0）,點P的運動 時間為t秒，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式（要求寫出自變量 t的取值范圍）；（3）在（2）的條件下，當t為何值時，/ MPB與/BCO互為余角，

8、并求 此時直線OP與直線AC所夾銳角的正切值.澗1）解：28. （I）過點A作AE_Lx軸 垂是為E（如圖I）vA(-3t4) t-.AE=4 0E=3 +OA=VAE2+OE2 =5.四邊形 ABCO 為菱形.-.OC=CB=BA=OA=5 .£(5,0)設(shè)直線AC的解析式為爐h+h代:l-3k + b=4 b=y直線AC的解析式為:產(chǎn)一'1）（+-1分由得M點坐播為（01） .OM=1 如圖I,當P點在AB邊上運動時 由題盤得OH口5/bP，MH 小 5-2i吟號亭喋，。，吟）之分當P點在BC邊上運動時，記為R;£0CM-4BCM CO=CB CM=CMaAOM

9、CABMC ,OM=BM卷 LMO= Z.MBC;90口 .S=1-Pi8'BM=l-(2t-5)'1- J5=-1-今恚5)工 2分X,£4 弓1 上！設(shè)OP與AC相交于點Q連接0E交AC于點K 2AOC=£ABC .，上AOMAEM, ZMPB+ZBCQ=90° rBAO=ZBCO 乙 BA0+£A0H=9(FaZMPB=AO1I NMPBMMBH當P點在AB邊上運動時，如圖2y£MPB=£MBH ,-,PM=BM .MH1PB-l=y1分"AQ'£CQO aAAQPACQO ,AQ_A

10、P_L*CQ -CO -5/TH=HB=2 ;,PA=AH-PH=1 /, yAB/OC/PAQEOCQ在 RtAAEC 中 AC=V/AEEC?= V?懣=46,AQ= Qj】oy在 RtAOHB 中 OB=VHBHO1 =V2M2 =2mT vAC 1 OB OK=KB AK=CK,OK=VT AK=KC=2VT，QK=AK-AQhg反 tan£OQC-1-1分當P點在BC邊上運動時，如圖3 +.2BHM=七PBM=91fMPB=£MBHWMPB加NMBH .條耨 >4,BP4r- .=烏1分 36，PChBC-B%5-$=/由PC/OA同理可證APQCsZiOQ

11、A ，興=祟 凡丫 AU1.,段WCQ=i-AC=VT ,QK=KC-CQ=V5"AQ 34vOK-VT .而 £0QK=條 1 卜分KQ圖3綜上所述，當t=1時ZMPB與£BCO互為余角，直線OP與直線AC所夾銳角的正切值為右當kg時,上MFB與EBCO互為余角,直線OP與直線AC所央銳角的正切值為1 65 在 RtAABC 中，/ C=90 , AC = 3, AB = 5.點P從點C出發(fā)沿CA以每秒1個單位長的速度向點 A 勻速運動，到達點A后立刻以原來的速度沿 AC返回； 點Q從點A出發(fā)沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動.伴隨著P、Q的運動，DE保

12、持垂直平分PQ,且交PQ于點D,交折線QB-BC-CP于點E .點P、Q同時出發(fā)，當點 Q 到達點B時停止運動，點P也隨之停止.設(shè)點P、Q運動的時間是t秒(t> 0).(1)當t = 2時，AP =，點Q到AC的距離是;(2)在點P從C向A運動的過程中，求4APQ的面積S與 t的函數(shù)關(guān)系式；(不必寫出t的取值范圍)在點E從B向C運動的過程中，四邊形 QBED能否成為直角梯形？若能，求t的值.若不能，請說明理由；(4)當DE經(jīng)過點C時，請直舉 寫出t的值.解：(1) 1, 8 ;5(2)作 QFLAC 于點 F,如圖 3, AQ = CP= t,，AP=3t.由AQFsabc, bc =/

13、52 _32 =4 ,得罟+二. QF=4t.14 . S=(3t) -t , 25即 S = /t2 +-t . 55(3)能.當DE / QB時，如圖4. DEXPQ,PQXQB,四邊形 QBED是直角梯形.此時/ AQP=90 °.由 APQ s、ABC ,得 AQ = AP AC AB '即工=卻.解得t=9. 358如圖5,當PQ/BC時，DEBC,四邊形 QBED是直角梯形.此時/ APQ =90° .由AQPABC,得歿=生AB AC '即 t =3一t .解得 t=15.538/,、545(4) t = 一或 t =.214點P由C向A運動，

14、DE經(jīng)過點C.連接QC,作QGLBC于點G,如圖6.PC =t , QC2 =QG2 +CG2 =3(5 t)2 +4 -4(5 -t)2 ., c c 一 c 3c45由 PC =QC ,得 t =(5T) +4(5-t),解得 t=一 .552圖7點P由A向C運動，DE經(jīng)過點C,如圖7.34爭2, T】6 如圖，在 RtAABC 中，/ACB=90°, NB=60° , BC =2 .點O是AC的中點，過點O的直線l從與AC重合 的位置開始，繞點O作逆時針旋轉(zhuǎn)，交AB邊于點D .過 點C作CE / AB交直線l于點E ,設(shè)直線l的旋轉(zhuǎn)角為a .(1)當口 =度時，四邊形

15、EDBC是等腰梯形,此時AD的長為 一;當口 =度時，四邊形EDBC是直角梯形, 此時AD的長為;(2)當a =90°時，判斷四邊形EDBC是否為菱形，并說 明理由.解(1) 30, 1; 60, 1.5 ; 4 分(2)當/ a =900時，四邊形EDB提菱形., / & =/ACB=90,BC/ EDCE/AB .四邊形EDBO平行四邊形. 6分在 RtABC中，Z ACB900, Z B=600, BC=2, / A=300.AB=4,AC=2、3.1 . 一A(= AC = V3 . 8 分2在 RtAAOD, / A=300, . AD=2.BD=2.:.BD=BC

16、又四邊形EDBC1平行四邊形，DC =5, AB = 472, /B = 45。動四邊形EDBO菱形 10分7 如圖，在梯形 ABCD 中，AD / BC, AD =3,點M從B點出發(fā)沿線段BC以每秒2個單位長度的速度向終點C運動；動點N同時從C點出發(fā)沿線段CD以每秒1個單位長度的速度 向終點D運動.設(shè)運動的時間為t秒.(1)求BC的長.(2)當MN / AB時，求t的值.(3)試探究：t為何值時，MNC為等腰三角形.解 是矩形:(1)如圖，過A、D分另ij作AK _L BC于K , DH _L BC于H ,則四邊形 ADHKKH =AD =3. 1分2在 RtAABK 中，AK = ABsi

17、n 45n = 4 J2. =42BK = AB|_Cos45 ' = 45/2J =4 2分一 2BC 二 BK KH HC =4 3 3 =10（圖）3分（圖）在RtACDH中，由勾股定理得， HC = J52 -42 =3（2）如圖，過 D作DG / AB交BC于G點，則四邊形 ADGB是平行四邊形 MN / ABMN / DGBG = AD = 3GC =10 3 = 7 4 分由題意知，當 M、N運動到t秒時，CN =t, CM =102t. DG / MN/ NMC =/ DGC又/C =/CAMNC szXGDC,CN CM 1 1 = CD CG即1:一57-550解得

18、，t=50 17當NC=MC時，如圖，即t =102t（3）分三種情況討論:（圖）（圖）當MN = NC時，如圖，過 N作NE _L MC于E 解法一：由等腰三角形三線合一性質(zhì)得在 RtCEN 中，cosc =_1 _1EC =-MC =- 10-2t =5tEC 5 -t又在RtADHC中,NCCH cosc =CD5 -t3解得t =一 525解法二：. / C =/ C, ZDHC =NNEC =90s NECA DHCNC ECDC即1 =5HC5 -t325當MN = MC時，如圖，過M作MF11_1_ CN 于 F 點.FC= NC= t22解法一：（方法同中解法一）c FC co

19、sC =-MC解得t -6°171t210-2t解法二：. / C =/ C, /MFCAMFC s* DHCFCMC=.DHC = 90H MDCHC10-2t1t即 >2-=3，t=6017綜上所述，當t25,60 ,或t =時,17 MNC為等腰三角形8如圖1,在等腰梯形ABCD中，AD / BC , E是AB的中點，過點E作EF / BC 交 CD 于點 F . AB=4, BC=6, /B=60。.（1）求點E到BC的距離；（2）點P為線段EF上的一個動點，過 P作PM _L EF交BC于點M ,過M作 MN / AB交折線ADC于點N ,連結(jié)PN ,設(shè)EP = x.

20、當點N在線段AD上時（如圖2）, APMN的形狀是否發(fā)生改變？若不變，求出4PMN的周長；若改變，請說明理由；當點N在線段DC上時（如圖3）,是否存在點P ,使4PMN為等腰三角形？ 若存在，請求出所有滿足要求的X的值；若不存在，請說明理由.BAN DCADE圖4 （備用）M圖1解（1）如圖1,過點E作EG _L BC于點G. 1分 E為AB的中點，1 BE =-AB =2.2在 RtEBG 中，/B=60BEG =300, 2 分 BG J BE =1, EG = J；2 -12 =、3.2即點E到BC的距離為雜.3分(2)當點N在線段AD上運動時， 4PMN的形狀不發(fā)生改變. PM _L

21、EF, EG _LEF,PM / EG. EF / BC, EP =GM , PM=EG=V5.同理 MN = AB =4. 4分如圖 2,過點 P 作 PH _LMN 于 H，: MN / AB,/ NMC =/ B =60: P PMH =30°13 PH = PM =.22 MH -PMbcos30' =3. 23 5則 NH =MN -MH =4 = 一 .2 2在 RtAPNH 中，PN = JNH2 +PH2 =APMN 的周長=PM +PN +MN =V3 + "+4. 6 分當點N在線段DC上運動時，4PMN的形狀發(fā)生改變，但 4MNC恒為等邊三角

22、形.當 PM = PN 時，如圖 3,作 PR _L MN 于 R ,則 MR = NR.，一3類似，MR =.2MN =2MR =3. 7 分 AMNC是等邊三角形， MC =MN =3.此時，x=EP=GM當MP =MN時，如圖4,這時MC =MN =MP =此時，x = EP = GM = 6 -1 -、, 3 = 5 -，3.當 NP =NM 時，如圖 5, / NPM =/ PMN =30 s.則 / PMN =120，又/MNC=60°, / PNM +/ MNC =180°,因此點P與F重合，4PMC為直角三角形.MC = PM tan30 =1.此時，x =

23、EP =GM =6 -1 -1 = 4.綜上所述，當x=2或4或(5-J3)時，4PMN為等腰三角形. 10分9如圖，正方形 ABCDK點A、B的坐標分別為(0, 10), (8, 4),點C在第一象限.動點P在正方形ABCD勺邊上，從點A出發(fā)沿A- B- C-D 勻速運動，同時動點Q以相同速度在x軸正半軸上運動，當P點到達D點時，兩點同時 停止運動，設(shè)運動的時間為t秒.(1)當P點在邊AB上運動時，點Q的橫坐標x (長度單位)關(guān)于運動時間t (秒)的函數(shù)圖象如圖所示，請寫出點Q開始運動時的坐標及點P運動速度；(2)求正方形邊長及頂點C的坐標；(3)在(1)中當t為何值時， OPQ勺面積最大，

24、并求此時P點的坐標；(4)如果點P、Q保持原速度不變，當點P沿A-B-C-D勻速運動時，OP與PQ能否相等，若能，寫出所有符合條件的 t的值；若不能，請說明理由.點P運動速度每秒鐘1個單位長度. 2分(2) 過點B作BFy軸于點F , BE，x軸于點E ,則BF =8, OF = BE =4 .AF =10 T =6.在 RtAFB 中，AB = v；82 +62 =10 3分過點C作CG，x軸于點G ,與FB的延長線交于點 H . ZABC =90= AB =BC .-.A ABFA BCH .BH =AF =6, CH =BF =8 . OG =FH =8+6 =14, CG =8+4 =

25、12 .所求C點的坐標為(14, 12).M, PN± x軸于點N,(3) 過點P作PMy軸于點 則 APMs ABF.AP _ AM _MPAB - aF - BFtToAM M P3_4AM =3t, PM =4t553PN =OM =10 -3t,5-4ON =PM =4t.5設(shè) OPQ的面積為S (平方單位).13473 2. - S =x(10t)(1+t) =5+t t (0W w 10251010說明：未注明自變量的取值范圍不扣分.47.a=_3<0 ，當1=10一=47時， OPQ的面積最大.102(-3)6'10，此時P的坐標為(94 , 53 )15

26、10(4)當 t=5 或 t310數(shù)學課上,295 .二295時，OP與PQ相等.13 張老師出示了問題：如圖 1,四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點./AEF =90°,且EF交正方形外角/DCG的平行線CF于點F,求證：AE=EF.經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取 AB的中點M,連接ME, 則 AM = EC,易證 AMEECF ,所以 AE = EF .在此基礎(chǔ)上，同學們作了進一步的研究：(1)小穎提出：如圖2,如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊 BC上(除B, C外)的任意一點”，其它條件不變，那么結(jié)論" AE=EF”仍然 成立，你認為小穎

27、的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請 說明理由；(2)小華提出：如圖3,點E是BC的延長線上(除C點外)的任意一點， 其他條件不變，結(jié)論" AE=EF”仍然成立.你認為小華的觀點正確嗎？如果正 確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由.（5分）（6分）(I )若折疊后使點B與點A重合，求點C的坐標;解：(1)正確. (1分)證明：在 AB上取一點M ,使AM = EC ,連接ME .（2分）; BM=BE. j.NBME =45 ,AME =135 .；'CF是外角平分線，£ DCF =45 , 二/ ECF =135 . 二/AME =NECF .

28、'；/AEB +/BAE =90 , ZAEB +/CEF =90 , /BAE =/CEF .二AME,BCF （ASA）.二 AE = EF （2）正確. （7分）證明：在BA的延長線上取一點 N .使 AN =CE，連接 NE . （8 分）二 BN = BE ./ N =/PCE =45 .四邊形ABCD是正方形，二 AD / BE ././ DAE =ZBEA .NAE =/CEF .ANEKECF （ASA）. （10 分）, AE =EF . （11 分）11已知一個直角三角形紙片 OAB,其中/AOB=90°, OA = 2,OB =4 .如圖， 將該紙片放置

29、在平面直角坐標系中，折疊該紙片，折痕與邊OB交于點C ,與邊AB交于點D .OC = y ,試寫出y關(guān)(H)若折疊后點B落在邊OA上的點為B',設(shè)OB'=x,于x的函數(shù)解析式，并確定y的取值范圍;(m)若折疊后點 標.B落在邊OA上的點為B',且使B'D / OB ,求此時點C的坐OA解（I）如圖，折疊后點 B與點A重合，則 zACD BCD .設(shè)點C的坐標為（0, m/mA。）.則 BC =OB -OC =4 _m .于是 AC = BC = 4 一 m .在Rt AOC中，由勾股定理，得 AC2=OC2+OA2,2223即（4 m ） =m +2 ,解得 m

30、 =-.二點C的坐標為 0, . 4分I 2.）（n）如圖，折疊后點 B落在OA邊上的點為B',則 4BCD BCD.由題設(shè) OB' = x, OC = y,則 BC = BC =OB -OC =4-y ,在RtBOC中，由勾股定理，得 BC2 =OC2+OB'2.222二（4-y ） = y +x ,1 2即 y = x +2 6 分8由點B'在邊OA上，有0W xw 2,一、1 2二解析式y(tǒng) =-x +2（0&x&2 ）為所求.二:當0 w x w 2時，y隨x的增大而減小，3 -iy的取值氾圍為 w y 0 2 . 7分2（出）如圖，折疊后

31、點 B落在OA邊上的點為B”,且B"D / OB .則 OCB” /CB D .又'；/CBD =/CB"D,，/OCB "=NCBD ,有 CB"/ BA.二 RtACOB "s RtA BOA .有 OB_=OC 得 OC=2OB”. 9 分OA OB在 RtAB'OC 中，設(shè) OB* = x0（xA0）,則 OC=2x0.1 2由（n）的結(jié)論，得2x0 =x20 + 2 ,8解得 x - -8 二4 5.'： x 0, x0 - -8 4 5.二點C的坐標為（0,8j516 ）一12問題解決如圖（1）,將正方形紙片ABCD折疊，使點B落在CD邊 上一點E （不與點C , D重合）,壓平后得到折痕MN .當CECD”求黑的值.方法