1、幾何概型練習(xí)題1 .在正方體ABCDAAGD、內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)則該點(diǎn)落在三棱錐A-ABC內(nèi)的概率是()3.在區(qū)間0,1內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)的平方和也在0,1內(nèi)的概率是()4.某人從甲地去乙地共走了 500 m,途中要過一條寬為 xm 的河流，他不小 心把一件物品丟在途中，若物品掉在河里就找不到，物品不掉在河里就能找 到，已知該物品能被找到的概率為亦，則河寬為()A. 16 m B. 20 m C. 8 m D. 10 m5.一個(gè)路口的紅綠燈，紅燈的時(shí)間為 30 秒，黃燈的時(shí)間為 5 秒，綠燈的時(shí)間為 40 秒，當(dāng)某人到達(dá)路口時(shí)，看見的是紅燈的槪率是_ ;看見的不是黃燈的概率是1 - 4D1 -

2、2C1 - 6B.1 - 3A2.如圖，在一個(gè)邊長為 上、下底邊分別為扌與號(hào),a、d(ad0)的矩形內(nèi)畫一個(gè)梯形，梯形高為 6.向該矩形內(nèi)隨機(jī)地投一點(diǎn)，則所投的點(diǎn)落在梯形內(nèi)部的概率為()7一12D5一12C1 - 4B.丄12AD.n406.取一根長度為 4m 的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得的兩段都不少于 1 m 的概率是_7.點(diǎn)力為周長等于 3 的圓周上的一個(gè)定點(diǎn)，若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)則劣弧的長度小于 1 的概率_8.已知如圖所示的矩形，長為 12,寬為 5,在矩形內(nèi)隨機(jī)地投擲 1 000 粒黃 豆，落在陰影部分的黃豆為 600 粒，則可以估計(jì)出陰影部分的面積為9._點(diǎn) P 在邊長

3、為 1 的正方形內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則動(dòng)點(diǎn) P 到頂點(diǎn)力的距離|刃的概率為_.10._ 利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生 01 之間的均勻隨機(jī)數(shù)彳 則事件“3m-1V0發(fā)生的 概率為_.門.一只螞蟻在三邊邊長分別為 3、4、5 的三角形的邊上爬行，某時(shí)刻該螞蟻距離三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過 1 的概率為_ .12. 在一個(gè)球內(nèi)挖去一個(gè)幾何體，其三視圖如圖.在球內(nèi)任取一點(diǎn) P,則點(diǎn) P落在剩余幾何體上的概率為_13. 在長為 12 cm 的線段 A?上任取一點(diǎn) C現(xiàn)作一矩形，鄰邊 長分別等于線段加的長，則該矩形面積大于 20 cm2的槪率為_.14._在 1 升高產(chǎn)小麥種子中混入一粒帶麥銹病的種子，從中 隨機(jī)取出 10毫升

4、，含有麥銹病種子的概率是_;從中隨機(jī)取出 30 毫升，含有麥銹病種子的概率是_15.只蜜蜂在一個(gè)棱長為 3 的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體 6 個(gè)表面的距離均大于 1,稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為_16. 在區(qū)間隨機(jī)取一個(gè)數(shù)”，cos x 的值介于 0 至了之間的概率為_17. 如圖所示，設(shè)是半徑為/?的圓周上一個(gè)定點(diǎn)，在圓周上等可能地任取一點(diǎn)，連接他 則弦 例的長超過逅 R 的概率為_18如圖，在圓心角為直角的扇形少 3 中，分別以0Ay03 為直徑作兩個(gè)半圓在 扇形013 內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是_19. 已知正三棱錐 S-M%的底

5、邊長為 4,高為 3,在三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn) P, 使得1VP-AB普攸的概率是_20. 已知正方體ABCDA、B、CD、的棱長為 1,在正方體內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)饑 求使四棱1錐一/I 磁的體積小于：的槪率.o21. （1）在半徑為 1 的圓的一條直徑上任取一點(diǎn)，過該點(diǎn)作垂直于直徑的弦， 其長度超過該圓內(nèi)接正三角形的邊長羽的概率是多少（2）在半徑為 1 的圓內(nèi) 任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為中點(diǎn)作弦，問其長超過該圓內(nèi)接正三角形的邊長羽的槪 率是多少（3）在半徑為 1 的圓周上任取兩點(diǎn)，連成一條弦，其長超過該圓內(nèi)接正三角形邊長羽的概率是多少23.設(shè)關(guān)于x的一元二次方程 x+2ax+d=0.若a是從區(qū)間0, 3任取的一

6、個(gè)數(shù)，b 是從區(qū)間0,2任取的一個(gè)數(shù)，求方程有實(shí)根的概率.24.設(shè)AB=6,在線段 S3 上任取兩點(diǎn)（端點(diǎn)力，3 除外），將線段力 0 分成了三 條線段，（1）若分成的三條線段的長度均為正整數(shù)，求這三條線段可以構(gòu) 成三角形的槪率；（2）若分成的三條線段的長度均為正實(shí)數(shù)，求這三條線 段可以構(gòu)成三角形的槪率.答案：1.在正方體ABCDA&GD、內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)則該點(diǎn)落在三棱錐A-ABC內(nèi)的概率是（）B.1 - 4D1 - 2C解析體積型幾何概型問題.2.如圖，在一個(gè)邊長為8、 babG）的矩形內(nèi)畫一個(gè)梯形，梯形上、答案C解析S 矩形=日方.5b=ab.故所投的點(diǎn)落在梯形內(nèi)部的概率為P=3.（201320

7、14山東濟(jì)南模擬）在區(qū)間0,1內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè) 數(shù)的平方和也在0,1內(nèi)的概率是（）答案A解析設(shè)在0,1內(nèi)取出的數(shù)為b,若#+/也在0,1內(nèi)，則有 0VA-ABC& VABCDARCQ1-6下底邊分別為與刁高為b.向該矩形內(nèi)隨機(jī)地投一點(diǎn)，則所投的點(diǎn)落在梯形內(nèi)部的概率為（）712D5一12c1-4B.丄12D.n40a2如右圖，試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)檫呴L為 1 形，滿足a+b2在0,1內(nèi)的點(diǎn)在扌單位圓內(nèi)（如陰影部1TH4 TT示），故所求概率為一=才.4. 某人從甲地去乙地共走了 500 m,途中要過一條寬為 xm 的 河流，他不小心把一件物品丟在途中，若物品掉在河里就找不到，24 物

8、品不掉在河里就能找到，已知該物品能被找到的槪率為亦，則河寬為（）A. 16 m B. 20 m C. 8 m D. 10 m答案B解析物品在途中任何一處丟失的可能性是相等的，所以符合幾何槪型241的條件找到的概率為去，即掉到河里的概率為羔，則河流的寬度占總距離ZOZO11的其，所以河寬為 500X=20（m）.ZDZO二、填空題5.一個(gè)路口的紅綠燈，紅燈的時(shí)間為 30 秒，黃燈的時(shí)間為 5 秒，綠燈的時(shí)間為 40 秒，當(dāng)某人到達(dá)路口時(shí)看見的是紅燈的概率是_30 2 解析 以時(shí)間的長短進(jìn)行度量，故P=-=-.答案!的正方分 所1D6.取一根長度為 4m 的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得的兩

9、段都不少于 1 m 的概率是_ .解析 把繩子 4 等分，當(dāng)剪斷點(diǎn)位于中間兩部分時(shí)，兩段繩子都不少于 1 m,2 1故所求概率為p=-=.7.點(diǎn)力為周長等于 3 的圓周上的一個(gè)定點(diǎn)，若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)則劣弧扼的長度小于 1 的槪率為_解析 如圖可設(shè)與F 的長度等于 1,則由幾何概型可知其整體事件是其2周長 3,則其概率是答案 I8. 已知如圖所示的矩形，長為 12,寬為 5,在矩形內(nèi)隨機(jī)地投擲 1 000 粒黃 豆，落在陰影部分的黃豆為 600 粒，則可以估計(jì)出陰影部分的面積為解析設(shè)所求的面積為 S,由題意，得澀 5=齊冷，則 S=36答案 369.（2014長沙聯(lián)考）點(diǎn) P 在邊長為 1

10、 的正方形力 3內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則動(dòng)點(diǎn) P 到頂點(diǎn)/I 的距離|刃的槪率為_.解析 如圖，滿足|刃|W1 的點(diǎn) P 在如圖所示陰影部分運(yùn)動(dòng)，則動(dòng)點(diǎn) P 到1?門 -X n X12Sm 彭_4nrxi答案10. （2013 福建）利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生 01 之間的均勻隨機(jī)數(shù)彳則事件“3 曰一 1V0”發(fā)生的概率為_答案I分析解不等式，求出 m 的取值范圍，算出此范圍與所給區(qū)間的比值 即可.1解析由題意，得 OVmVy 所以根據(jù)幾何概型的槪率計(jì)算公式，得 事件“3 日一10”發(fā)生的概率為扌.11. 一只螞蟻在三邊邊長分別為 3、4、5 的三角形的邊上爬行，某時(shí)刻該螞蟻距離三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過 1 的概率

11、為_頂點(diǎn)力的距離的概率為1答案2解析 如圖所示，ABC中，AB=3, AC=4, BC=5,則如的周長為 3+4+5 = 12.設(shè)某時(shí)刻該螞蟻距離三角形的三個(gè)頂點(diǎn)DE+FG+MN 3 + 2 + BC+CA+A12 =?12. 在一個(gè)球內(nèi)挖去一個(gè)幾何體，其三視圖如圖在球內(nèi)任取一點(diǎn) P,則點(diǎn) P 落在剩余幾何體上的概率為_解析由三視圖可知，該幾何體是球與圓柱的組合體，球半徑R=5,4500 n圓柱底面半徑廠=4,高h(yuǎn)=6,故球體積=-n /?=一-一,圓柱體積 14 =的距離均超過 1 為事件力，則 PG4） =答案53125AC, CB 的長,則該矩形面積大于 20 cn?的概率為_二所求概率

12、P=500 n丁一 96 口500 n53?25*13. （2012遼寧卷改編）在長為 12 cm 的線段AB任取一點(diǎn) C現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段備解析 設(shè)AC=xcm, 0 x20,則 x-12x+200,解得 2x S 啟彩妙=才，/.（4 在以為直徑的半圓中，空白部分面積 5=y-2所有陰影rt_ X 22面積為 n 2.故所求槪率/-=1-nn19.（2014徐州二模）已知正三棱錐 S-/1%的底邊長為 4,高為 3,在三棱1錐內(nèi)任取一點(diǎn) P,使得VP-ABVS-ABC的概率是_解析 三棱錐P-ABC與三棱錐S-ABC的底面相同，Vp-Vs-就是三棱錐P-ABC的高小于三棱錐 S

13、-力的高的一半，過高的中點(diǎn)作一平行底面 的截面，這個(gè)截面下任取一點(diǎn)都符合題意， 設(shè)底面力的面積為 S,三棱 錐 S-/1%的高為h,則所求槪率為：三、解答題20.已知正方體ABCD A、BC、D、的棱長為 1,在正方體內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)饑 求1使四棱錐M-ABCD的體積小于 2 的槪率.o分析由題目可荻取以下主要信息：1正方體ABCDA、EC、D的棱長為 1, 為其內(nèi)一點(diǎn)；12求四棱錐M-ABCD的體積小于；的概率解答本題的關(guān)鍵是結(jié)合幾何圖形分析出概率模型13Shp=一1 1 13X45X2A713Sh解的高為21. (1)在半徑為 1 的圓的一條直徑上任取一點(diǎn)，過該點(diǎn)作垂直于直徑的 弦，其長度超過該

14、圓內(nèi)接正三角形的邊長羽的概率是多少(2) 在半徑為 1 的圓內(nèi)任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為中點(diǎn)作弦，問其長超過該圓內(nèi) 接正三角形的邊長書的概率是多少(3) 在半徑為 1 的圓周上任取兩點(diǎn)，連成一條弦，其長超過該圓內(nèi)接正三 角形邊長羽的概率是多少解析(1)設(shè)事件力=“弦長超過&”，弦長只與它跟圓心的距離有關(guān),1弦垂直于直徑，.當(dāng)且僅當(dāng)它與圓心的距離小于時(shí)才能滿足條件，由1h,則扌 xs四邊彤A8CD1則/7刁 即點(diǎn)在正方體的下半部分.故所求概率 QHE方體12*幾何概率公式知 P(力)=-(2)設(shè)事件 3= “弦長超過羽”，弦被其中點(diǎn)惟一確定，當(dāng)且僅當(dāng)其中點(diǎn)1 1 在半徑為刁的同心圓內(nèi)時(shí)，才能滿足條件，由

15、幾何槪率公式知PS)=-1(3)設(shè)事件 C= “弦長超過羽”，固定一點(diǎn)/I 于圓周上，以此點(diǎn)為頂點(diǎn)作內(nèi) 接正三角形力,顯然只有當(dāng)弦的另一端點(diǎn) Q 落在況上時(shí)，才有 Mz?| = 羽，由幾何概率公式知P(0 =-22.設(shè)關(guān)于的一元二次方程,+2*+廳=0若日是從區(qū)間0,3任取的一 個(gè)數(shù)，6 是從區(qū)間0,2任取的一個(gè)數(shù)，求方程有實(shí)根的概率.解 設(shè)事件/I 為“方程 V+2ax+d2=0 有實(shí)根”當(dāng) aO, &M0 時(shí)， 方 程 H+2mx+b2 =0 有實(shí)根的充要條件為aNb.試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?彳 4 |0WmW3,0W6W2,構(gòu)成事件/I 的區(qū)域?yàn)?a, d) |0WmW3,0W6W2,於 b,根據(jù)條件畫出構(gòu)成的區(qū)域(略)，23.設(shè)AB=6,在線段力 3 上任取兩點(diǎn)(端點(diǎn)兒 3 除外)，將線段 SB 分成了三 條線段，(1)若分成的三條線段的長度均為正整數(shù)，求這三條線段可以構(gòu)成三角形 的概率；(2)若分成的三條線段的長度均為正實(shí)數(shù)，求這三條線段可以構(gòu)成三角形 的概率.A解(1)若分成的三條線段的長度均為正整數(shù)，則三條線段的長 度所有可能情況是1,1,4；1,2,3; 2,2,2,共 3 種情況，其中只可得所求的概率為 m =3X