1、安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2020年高二數(shù)學(xué)春季聯(lián)賽試題理本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，第I卷第1至第2頁，第II卷 第3至第4頁。全卷滿分150分，考試時間120分鐘?？忌⒁馐马?xiàng)：1 .答題前，務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的姓名、座位號，并認(rèn)真核對答題卡 上所粘貼的條形碼中姓名、座位號與本人姓名、座位號是否一致。2 .答第I卷時，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。3 .答第II卷時，必須使用0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫，要求字體工整、筆跡 清晰。作圖題可先用鉛筆在答題卡規(guī)定的

2、位置繪出，確認(rèn)后再用0.5毫米的黑色墨水簽字筆描清楚。必須在題號所指示的答題區(qū)域作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草 稿紙上答題無效。4 .考試結(jié)束，務(wù)必將試題卷和答題卡一并上交。第I卷（選擇題共60分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一 項(xiàng)是符合題目要求的。）已知集合上x|y =ln(x 1),N= x|x 2 2x>0,則 MA eU N|=(A)(0 , 2)(B)(1, 2)(C)(2, 0)(D)(0, 1)(2)設(shè)復(fù)數(shù) z = (1 2石)2020 (其中i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的共軻復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)-19 -的

3、點(diǎn)位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D） 第四象限1 -（3）在0, 1內(nèi)任取兩個實(shí)數(shù) x, v,則事件0<x yw 的概率等于(A) 1(B)8命題“a,2(D)b>0, a+ 1 >2和b+ 1 >2至少有一個成立”的否定為ba(A) a, b>0, a+ 1<2和b+ - <2至少有一個成立 ba(B) a, b>0, a+ >2 和 b+ >2 都不成立ba(C) a, b>0, a+ 1<2和b+ 1 <2至少有一個成立 ba(D) a, b>0, a+1 >2 和 b+J >

4、;2 都不成立 ba(5)過圓Ci：x2+y2=1上的點(diǎn)P作圓C2:(x 3)2+(y 4)2=4切線，切點(diǎn)為Q,則切線段PQ長的最大值為(A)2、3(B),21(C)4,2(D), 35(6)關(guān)于函數(shù) f(x) = cos2x+ J3 sinxcosx-有下述三個結(jié)論:2f(x)的圖象關(guān)于直線x=一f(x)在區(qū)間,萬上是減函數(shù)；f(x)在區(qū)間z，兀上的值域?yàn)閕其中正確結(jié)論的個數(shù)是(A)0(B)1(C)2(D)3uuu uum uuin(7)在 ABC中，AB= 2, AC= 4, M是 ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且MB MC BC 0,則對稱;3uuuin uurAM BC(A)3(B)6(C)

5、9(D)12(8)已知函數(shù)y = f(x)是定義域?yàn)镽的函數(shù)，則函數(shù) y=f(x +2)與y=f(4 x)的圖象(A)關(guān)于x=1對稱 (B) 關(guān)于x = 3對稱 (C) 關(guān)于y=3對稱 (D) 關(guān)于(3 , 0)對稱一1 9x一一，八.(9)函數(shù)f x x (x>0)的取小值為xx2 1(A)6(B)型(C)逗(D)生30122(10)已知過點(diǎn)A(t , 0)的直線與拋物線y2=8x交于B,C兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，若一1 BF CF為常數(shù)，則t的值為(A)2(B)-2(C)2 或2(D)不存在 (11)已知正多面體共有 5種，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體。任一

6、個正多面體都有內(nèi)切球和外接球，若一個半徑為1的球既是一個正四面體的內(nèi)切球，又 是一個正六面體的外接球，則這兩個多面體的頂點(diǎn)之間的最短距離為(A) 73 - 1(B)1(C)2 亞一1(D)2(12)已知不等式xe2xT axlnx >0對一切x>0成立，則實(shí)數(shù) a的最大值為(A) e (B)2 (C)e (D)2e2第II卷(非選擇題共90分)考生注意事項(xiàng)：請用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上作答，在試題卷上答題無效,二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在答題卡的相應(yīng)位置。)(13)過點(diǎn)(1, 1)與曲線y= ex+ x相切的直線方程為 。(14)已知長軸長

7、為2a,短軸長為2b的橢圓的面積為Ttabo現(xiàn)用隨機(jī)模擬的方法來估計(jì) 兀的 近似值，先用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生 n個數(shù)對(xi, yi), i =1, 2, 3，n,其中xi, yi均為0 , 2內(nèi)的 隨機(jī)數(shù)，再由計(jì)算機(jī)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)其中滿足條件yi ,1 2的數(shù)對有m個，由此可估計(jì)兀的近似值為。(15)已知 ABC中，AB= 9, / BAC= 60° , D為邊 BC上一點(diǎn),且 CD= 2BR AD= 2113,則4ABC的面積為220)的左、右焦點(diǎn)分別為 F1, F2,過F2的直線分別交xy(16)已知雙曲線 C： 2- 2- 1(a 0, b ab雙曲線C的左、右支于 A, B兩點(diǎn)， AB桎為

8、直角三角形，且/ F1A桎=45° ,則雙曲線 C的離 心率為。三、解答題(本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、 證明過程或?M算步驟。)sinB sinCcosB cosC(17)(本題滿分10分) 已知 ABC中，A B、C的對邊分別為 a、b、c, tan A求角A;(2)若a= J3 ,求b+2c的取值范圍。(18)(本小題滿分12分)已知公差不等于0的正項(xiàng)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,遞增等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn,2Cn = an , bn , H1 = b2 = 2 , C1 + C2 + C3= 34 , 4S1+ 1 = (a n + 1) o 求

9、滿足 ne N*, n3w入Cn的入的最小值； (2)求數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和M。(19)(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐 PABCM,底面 ABCM菱形,/ APC= 90° , / BPD= 120° , PB= PD求證：平面 APCL平面 BPD(2)若AB= 2AP= 2,求直線AP與平面PCD所成角的正弦值。(20)(本小題滿分12分)Fibonacci數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列，因?yàn)楫?dāng)n趨向于無窮大時,其相鄰兩項(xiàng)中的前項(xiàng)與后項(xiàng)的-1 、5. .比值越來越接近黃金分割數(shù) 0.618。已知Fibonacci數(shù)列的遞推關(guān)系式為2現(xiàn)a21anan 1 an 2，n(1)證明：

10、Fibonacci數(shù)列中任意相鄰三項(xiàng)不可能成等比數(shù)列;(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明: 115 nFibonacci數(shù)列的通項(xiàng)公式為ann 、, 521 .5 n(21)(本小題滿分12分)已知曲線E上任一點(diǎn)P到直線l: x= 4的距離是點(diǎn)P到點(diǎn)M(1, 0)的距離的2倍。(1)求曲線E的方程；(2)過點(diǎn)A(2, 0)作兩條互相垂直的直線分別交曲線E于B D兩點(diǎn)(均異于點(diǎn)A),又C(-2,0),求四邊形ABCM面積的最大值。(22)(本小題滿分12分)a已知函數(shù)f x e一有兩個不同的零點(diǎn) xi, x2。x(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)證明：Xi + x2<2。安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟 2020

11、年春季聯(lián)賽(高二)數(shù)學(xué)(理科)試題答案選擇題：1-12 BCCDC DBAAC DB1.B【解析】M x| y ln(x 1)1,2x| x2x 0,0 U 2,CrN =(0,2),2.C【解析】設(shè)Z01 ,3iZ0Zo ,所以z0n的值以3為周期呈周期性出現(xiàn)，故2020zZ0z0 ,所以zZ0在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第三3.C【解析】樣本空間為x,y |x0,1 ,y 0,1個面積為1的正方形，所求事件所包含的樣本點(diǎn)在直線y xy 與直線2之間,且在樣本空間的正方形內(nèi)，其面積為38,所以所求事件的概率為8 .4.D【解析】由全稱命題的否定形式,易知答案D正確.5.C【解析】當(dāng)點(diǎn)P到圓心C2距離

12、最大時，切線段PQ最長,PC2minC1C226.D【解析】f (x) cos x3sin xcosx 12sin 2x一 2x22k 6的單調(diào)遞減區(qū)間為正確；由sin1 ,可知f(x)的圖象關(guān)于直線x 不對稱，所以3正確；當(dāng)x7,時，2x2 13,所以 f(x) sin 2x7.B取BCuuur uuuu uur由 MB MC BC 0uuuu uuurMD BCuuuuAMuur uurBC ADuur umrBC DMunrBCuuur uurAD BC1 uuu uuruur uuuAB ACAC AB2uuur2 uuu2AC AB-422228.A【解析】設(shè)Px0,y0 為 yf

13、x 2圖象上任一點(diǎn)，則 y0Xo2Xo以點(diǎn) Q 2 xo, yo在函數(shù)y f4 x的圖象上，而P xo,yoxo,yo關(guān)于直線x稱，所以函數(shù)yf x 2與y f 4 x的圖象關(guān)于直線x1對稱.t x9.A【解析】令y0 ,所以t 2 ,則函數(shù)f x轉(zhuǎn)化為2t 9 6x當(dāng)且僅當(dāng)t 3,即10.C【解析】設(shè)過點(diǎn)B Xi, yiC X2, y2也即t,0的直線方程為x myt ,代入y28x得8my8t 0 .設(shè)8mVN28t ,所以2V12y2yiy2264 m16t1BF1CFXi1x221-2- y1 T1-2- y2 "8"28 y12y225622-22y1y216 y

14、1y2256_ _28 64m216t25664t216 64m2 16t2568 m2 2t-不一，要使該式對8m2 2t t2 22m所有可能取值均為常數(shù),則2t211.D【解析】固定正四面體 ABCD不動，則其內(nèi)切球也隨之固定，正方體）的頂點(diǎn)的距離.當(dāng)正方體的頂點(diǎn)在球面上移動時，頂點(diǎn)就是頂點(diǎn)A與正方體頂點(diǎn)距離的最小值.由正四面體的內(nèi)切球半徑為考慮頂點(diǎn)A與正六面體（即 A到球面上點(diǎn)的距離最小值1,知球心到頂點(diǎn)A的距離為3,所以頂點(diǎn)A到球面上點(diǎn)的距離最小值為3 1 2.12.B【解析】2x 1 2x 1 In xxe e 2x 1In X 1 2x In X ,等號成立條件為2x 1 In

15、x2x.xeaxlnx 2x In x ax Inx2 a x, 只需 2 a即a 2.填空題13.2x【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為x0,ex0xo ，由 yexx 得 y1,所以線方程ex01 x x0exo為切線過點(diǎn) 1,ex01xoex0xd ,即 xoex00 ,所以xoo,即所求切線方程為 y 2x14.8m .【解析】 n因?yàn)閤i, yi0,2 ,所以yi小2X2表示的數(shù)對對應(yīng)的點(diǎn)42 X 在橢圓一42y 1的內(nèi)部,且在第一象限，其面積為、，故一2- 22 2 n8m27叵.【解析】設(shè)AC x , BD y ,則CD 2y.在ABD和ACD中分別由 27E99292 y2 2,132 y

16、2. 13 cos ADB2y_2 _ 22歷 2 2y 2歷 cos ADC ,兩式消去角，得x_26y ,在AABC中由余7E得3y 2922x 2 9 x cos60一2即 9y812x 9xx2 9x 81解得x 6或x 24（舍去）.以MBC的面積為3 27,322V3或花J3 .【解析】設(shè)F1F22c .當(dāng)AF1B90時，設(shè)AF1 m,AB 72m， BF22a ,所以2aAF2AF1 J2m 2a ,所以m 2J& ,在BFE中由2余弦定理，得2c2 2a 22 2a22a2 2.2a 2 2a2a22當(dāng) ABF1 90設(shè) BFi mAF1BF2 m 2a ,2a AF2

17、 AF122a ,所以m2 2a中由勾股定理2c 24 2 2 a_22V2 a ,整理得ec、3 a而.解答題17.【解】（由 tan Asin Bcos BsinCcosCsin AcosBsin AcosCcos Asin Bsin A得 cos Acos Asin Csin B sin Ccos BcosC也sin AcosBcos Asin B=cos Asin Csin AcosCsinsinABC2A(4分)（2）由正弦定理得sin Bcsin Casin A2sin2sinC.因?yàn)锳所以2C 丁 B，所以 32c2 sin B2sin2 2sin B3cosB2 7 sin中為

18、銳角，且sincos2,7.因?yàn)?B 3所以 B易知y sin x 在 x單調(diào)遞增，在 2單調(diào)遞減,所以B2c取得最大值2",又 sin 32.7所以b 2c2 j7sin B故b 2c的取值范圍為3,2 7（12 分）18.4san 12 得 4shan整理得an1ananan0,an為正項(xiàng)數(shù)列，.an 1anan 1an2,an2n由C1C2C334得22q346q213q 20,解得q（舍去）bn2n1,2n.（3分）所以n3Cn2 n 2n，設(shè)knkn 1因?yàn)?quot;2I 12n2n 3時,kn單調(diào)遞減k2所以kn的最大項(xiàng)為k3,故的最小值為（7分）（2）由（1）知cnn

19、2n所以Mn212 223 23則2Mn222232n得Mn所以Mn2n（12 分）19.【解】（1） -的中點(diǎn)，BD證明:AC與BD交點(diǎn)為O , PB PD ,。為BDOP,又 ABCD 為菱形，BD AC .AC和OP是平面APC內(nèi)兩條相交直線，BD 平面APC .又BD平面BPD，平面APC平面（2）設(shè) PO m ,APC 90 , AC 2m ,又 BPD 120 ,所以BPO 60 ,所以BO 出m ,因?yàn)锽CAB 2,所以在Rt BOC中，由勾股定理得 m 1,知，BD 平面APC ,，平面 APC 平面ABCD .以。為原點(diǎn)，OB方向?yàn)閤軸正方向，OC方向?yàn)閥軸正方向，建立如圖空

20、間直角坐標(biāo)系.則 A 0, 1,0 , C 0,1,0 ,3,0,0uuuAPa"2 2uuuCP"2"uuir_CD3,1,0 CPD的法向量為x, y, z3y3x3,uuu r cos AP,nuuu AP uurr n -r設(shè)平面y 0AP n所以直線AP與平面【解】（1）證明:20.2 31132 3913，PCD所成角的正弦值（反證法）假設(shè)存在sin所以 an 12an anan+1,所以anan 1ananFibonacci數(shù)列的所有項(xiàng)均大于0,所以anan 1anan所以 應(yīng)該為有理數(shù)，這與 成立.an 1an 152（2）證明：易驗(yàn)證n 1,2時

21、命題成立.假設(shè)n）時命題成立，即 ak1時,ak 1akak 1uuu r cos，AP,n1 ,52（無理數(shù)）2.39132三項(xiàng)成等比數(shù)列，則2an 1anan+2 ,解得當(dāng)an 1又 Fibonacci矛盾,由條件可知數(shù)列的所有項(xiàng)均為整數(shù),所以假設(shè)不成立，所以原命題15 k（6分）1.5所以，n k 1時，命題也成立.由可知，F(xiàn)ibonacci數(shù)列的通項(xiàng)公式為an1. 5 n z *2（ n N ） .（12 分）【解】 21.（1）設(shè)p x,y ,則由題意得兩邊平方并整理得曲線E的方程為2y_3（4分）（2）易知直線AB的斜率存在且不為 0,可設(shè)AB的方程為21聯(lián)立并3消去y得2，4k2 x_2_216k