1、專題五綜合測試題（時間：120分鐘 滿分：150分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小 題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.已知無窮數(shù)列心是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，則有（）C啓D.逬解析 S 4/8 =(心 + 3d)(ai + 7/) = 1 + lOfliJ + 21 屮，al = (fli + 5df=di + IQaid + 25J*,故fw寮答案：B已知數(shù)列仙的前H項和S=n9ih第k項滿足5Xjt8,2.A.B. 8C.D6解析S由題意知，數(shù)列吋為等差數(shù)列， 由 52Jt-l（X&得到 R-8.答熱B3對于非零實數(shù)4、b, “地一M）wo”是“詩

2、1”的（）A.充分不必要條件B必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件：N解析：VHO,ftHO,故有-#WOO學(xué)Ml 故選C.答案：C匱+心,4已知函數(shù)/（兀）=仁2兀0）若/（2一“）次0,則實數(shù)a的取值范圍是（）A. (一8, -1)U(2, 4-00)B. (-1,2)D. (一8, -2)U(1, +8)5.A.一定是等差數(shù)列B.一定是等比數(shù)列C.可能是等差數(shù)列，也可能是等比數(shù)列D.答案：c6. （2011-保定）等差數(shù)列他沖，九是其前項和，幻=-2008,號-號=2,則S2OO8的值為（）A. 2006B. 2006C. 2008D. 2008解析：由已知號一縣 =2的結(jié)

3、構(gòu)，可聯(lián)想到等差數(shù)列仙的前II項和S“的變式，普=心+霽- 1）,故由弟帶-計徐=2,得 = 1，Smos2008 -2008 + (2008-1) 1 = -1, ”皿=-2008.C（-2,1）解析s由題知/（X）在R上是增函數(shù)，可得2解得-2/0 時，S3 = l+g +Ml+20 彳=3,當公比 gvo 時，$3 = 1 - (-q-jwi-2 寸(一 q)(違-1,3(-8, -lUp, +8)答案：D9.Qn、（2011-廣東廣州模擬）p=寸亦+7，q=yjnia+HC-0、b、C、d均為正數(shù)），則P、0的大小關(guān)系為（）A.C.pAqB pWqD不確定ah + cdyjah + 2

4、yjah + cd +故選 B.答案：B10.設(shè)比=1+2+3th zieN 則函數(shù)/()=(+器M +的最大值為（）*2030C 一 D 一J4050解析：由1V卄電34、2阿34 HS” =_得幾)=(+ 32)( + 2) = 2 + 34 + 64 1 和當且僅當H-罟，即 = 8時取等號,即 -/(8) -答案：DX yNOx+yWl ,貝！I目標函數(shù)z=5r x+2Q1+j的最大值為（）A. 4B. 5D. 7C. 6解析2如圖，由圖可知目標函數(shù)Z = 5r+J過點4（1,0）時Z取得最, Zmax 5.答案=B12.例為等差數(shù)列，若嚴一1，且它的前項和S“有最大值,10那么當S取

5、得最小正值時，=()B. 17D. 21A. 11C. 19解析：等差數(shù)列仙的前w項和S“有最大值，則公差小于零.又 瓷-1,則有 510, % + 訃0,即 Sw0, S200,則當 S”取得最小正值時，-19答案：C二、填空題=本大題共4小題，每小題4分，共16分，將答案 填在題中的橫線上.13.在公差為(MHO)的等差數(shù)列仙沖，若幾是心的前H項 和，則數(shù)列S2DS10, Sso-S奶S40-S30也成等差數(shù)列，且公差為lOOJ.類比上述結(jié)論，在公比為gHl)的等比數(shù)列加中，若幾是數(shù)列加 的前W項之積，則有.答案：評，斡，孕也成等比數(shù)列，且公比為嚴1020-3014. (2011-陜西省高

6、三診斷)觀察下列等式：2+22_2(2 + 1)(2X2+1)f+22+32,3(3+1)(2X3 + 1)f+2+32+42=(+曙2+1),，根據(jù)上述規(guī)律可得f+22+3?滬=解析S通過觀察前三個等式可得12 + 22 + 32+滬W + 1)(2 + 1)答案.M+l)(2+l)15已知數(shù)列“為等差數(shù)列，則有等式血一22+3=0, ai302+34344=0, 滋:+他404+5=0,(1) 若數(shù)列仙為等比數(shù)列，通過類比，則有等式(2) 通過歸納，試寫出等差數(shù)列S的前+1項5 S , 3 a卄丄之間的關(guān)系為解析=因等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的區(qū)別是前者是加法運算，后 者是乘法運算，所以類比規(guī)

7、律是由第一級運算轉(zhuǎn)化到高一級運算，從 而解出第問；通過觀察發(fā)現(xiàn)，已知等式的系數(shù)與二項式系數(shù)相同， 解出第(2)問.答案S (1M述3 = 1,么述鮎1丄=1,心込%北5 = 1(2)C 汕一 C 汕+C 洌一+(1)9 九+1=016. 若不等式4*一2丄_事0在1,2上恒成立，則“的取值范圍為解析：由題得aW羋2小在1,2上恒成立，即40(4”22)遇 =(2-1)-1 = 0.答案S (8, 0解答題：本大題共6小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. (本小題滿分12分)已知函數(shù)金)滿足 ax fx)=b+f(x(a bQ), /(1)=2 且金+2) =一/(2

8、兀)對定義域中任意X都成立.(1)求函數(shù)/(X)的解析式;(2)正項數(shù)列仙的前項和為S“，滿足久=樂一孟數(shù)列他是等差數(shù)列.解：(1)由 ax f(x) - b f(x)(a bQ)y 得 f(x)(ax-l)b,若 ov-l =0,則6 = 0,不合題意，故ox-lHO,金)= 八丿ax-1由 /(1)= 2 =注亍得 2a-2=b,(D由/3 + 2)= -f(2 -X)對定義域中任意X都成立，得住(尤+；)_ 1由此解得a把代入，可得b-1,2g) = i = H7(xH2) 尹T(2)證明：皿尸士，S=(3 一孟初S“ = N(a“ + l)2,心=7(心+ 1)2,./,札q7.依題意

9、有b腫和斫冷.64-26= (6 + d)q = 64由(6 + d)q = 64知q為正有理數(shù)，6又由g-2 a知，rf為6的因數(shù)1,23,6之一，解之得d-2, q&故fl = 2/i + l,九=曠(2)證明：由(1)知= (/!+2),1111+ + + +S1 S2 S3S “+ + + +32435 /I + 21-3 2-4 35 H(n + 2)靈2 N + 1 N + 2r4=1 + 亍一-一 一-I久 -Z19.(本小題滿分12分)(2011-山東青島模擬)已知等比數(shù)列他的前/項和為S“=23+ k住丘R, weN).(1) 求數(shù)列仙的通項公式和k的值；(2) 設(shè)數(shù)列仇滿足

10、4“=4(5+燈幾為數(shù)列仇的前項和， 試比較3-167；與4+1血+1的大小，并證明你的結(jié)論.解：(1)由 S-2y + R(kR, hN),得當時，a - S - S.i = 4-3-*a是等比數(shù)列，/.1 = 51 = 6 + = 4,:k= -2,故 = 4yn e N ). 1(2)由a“4(5 +爐化d“43m和*-2,得加-市1 2n-2432+1233幾=尹待i+-2 -1433 + 43”2由-得，27； + +吉+占/I -11 1+ 437 + 苻 43小 r =加+ 02 +厲+九1 +九=石 + “11111 H -132/1 + 1“2 g.3-i 16 163幾肯十

11、麗+詡i+麗k +3也+ 】必”(3 767；) = T T 心)-3(2小).n(n + 1)-3(2/ + 1) =- 5/ - 3,.當5+嚴或5 嚴3(2 + 1),當 5(/1 N)時，有 3 - 1674( + 1 肉同理可得，當 5嚴5+”時,有(+ 1)4( + 1)仇綜上，當 h5（h e N ）時，有 3-16r4（fi + 1 禺 20.（本小題滿分12分）某商店投入81萬元經(jīng)銷某種北京奧運會特許紀念品，經(jīng)銷時間共60天，為了獲得更多的利潤，商店將每天獲得的利潤投入到次日的經(jīng)營中-市場調(diào)研表明,該商店在經(jīng)銷這一產(chǎn)品期間第天的利1, 1WhW20 潤如=彳1IJO”，21W

12、W60（單位J萬元，已N）記第天的利潤第“天的利潤率加=前天投入的資金總和，例如仇=81+心+亦20（1）求久，/2的值？（2）求第H天的利潤率加；（3）該商店在經(jīng)銷此紀念品期間，哪一天的利潤率最大？并求該 天的利潤率.解：（1）當=1時，bl =;當=2時，2 =亦(2)當 1 WwW20 時，1 = 02 = 03 = = a” = 1. h81+41 + 2 +81 + H - 1 n + 805+ +%1當 21WW60 時,b =81 +1 + +20 + 2181 + 20 + U21 + +1訶10 +(“-21)(/2 顧2/1第天的利潤率亠1 + 80“ I 2 12- +

13、16001WwW20(mN),21WW60(h N)(3)當 lWwW20 時，b廠;T磊是遞減數(shù)列，此時加的最大值為當25。時廠;7=謔屮 T尋（當且僅當川=譽，即40時，“=”成立）.又 8，當 /” = 40 時，(仇)max =袒該商店經(jīng)銷此紀念品期間，第40天的利潤率最大，且該天的 利潤率為箱.21.（本小題滿分12分）（2on廣東潮州模擬）設(shè)數(shù)列仙的前H項和為S且對任意的/GN*,都有a卵X）,於a：求S “2的值？（2）求數(shù)列仙的通項公式如（3）證明：血+&必+必7解：當H時，有由于a0,所以Hl = 1.當 w = 2 時，有 S2 =+ a丁,即 41 + 02 =也：+曲,

14、將心=1代入上式，由于a0,所以42 = 2.(2)由 S = 7么；+ 2 + + a青,得么1 +於+兀(1 + “2 + d”)2，貝U有 aj + 6f2 + + 6( +- (1 + /, + + a + -得爲1(1+2 + +- (fll + 2 + +“)1由于 0,所以 云7-2(41+ “2 + + /) + a 1. 同樣有況=21 + 42+ 4歸)+給0&2), -，得此*1-必=偽小+ 5所以 a” -5 = 1.由于么2-心1，即當時都有所以數(shù)列“ 是首項為1,公差為1的等差數(shù)列.故(3)證明：要證+ 2/1-H只需證(2 + l)a(2/f)“ + (2 - 1) 只需站+胡列+(1-胡 由于(1+胡-(1-胡=d + C池卜C仙+ C仙+-U U(胡+ U爲-C仙3 +北繪卜C僦+ C僉