1、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：打開學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的另一扇窗鎮(zhèn)江市中山路小學(xué) 姜嶸在多數(shù)人的印象中，“實(shí)驗(yàn)”一般指物理實(shí)驗(yàn)、化學(xué)實(shí)驗(yàn)、生物實(shí)驗(yàn)等科學(xué)實(shí)驗(yàn)，很難想到還有“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”。實(shí)際上，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)伴隨著數(shù)學(xué)發(fā)展的整個(gè)歷程，在每個(gè)嚴(yán)密抽象的數(shù)學(xué)結(jié)論的背后都隱藏著一段漫長(zhǎng)的實(shí)驗(yàn)過(guò)程。試想一下，當(dāng)我們面對(duì)一道圖形復(fù)雜的題目而苦思冥想時(shí)，手總是不停地比畫著，試圖找到合適的輔助線，其實(shí)，這個(gè)比畫的過(guò)程就是一次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?！皵?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”的研究起源于大學(xué)，早在1989年美國(guó)的曼荷蓮女子學(xué)院在數(shù)學(xué)系的本科教學(xué)計(jì)劃中增加了一門導(dǎo)引性課程數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。1996年的第八屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)，提出了“實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)”這一重要概念。在發(fā)達(dá)國(guó)家中，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)也逐

2、漸應(yīng)用于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，如美國(guó)的中學(xué)里設(shè)有專門的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室，英國(guó)的中學(xué)數(shù)學(xué)教材中包含許多數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)素材?，F(xiàn)在國(guó)外小學(xué)也開設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室或?qū)嶒?yàn)角，準(zhǔn)備各種各樣的教具、操作用具，許多用發(fā)現(xiàn)法教學(xué)的課就在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室中進(jìn)行。隨著課程改革的不斷深入，義務(wù)教育 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年）版的正式使用，“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”也逐漸揭開其神秘的面紗，呈現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)研究中。數(shù)學(xué)教育家G·波利亞曾指出：“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，一方面它是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，從這方面看數(shù)學(xué)像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但另一方面，創(chuàng)造過(guò)程中的數(shù)學(xué)看起來(lái)卻像一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)?！?可見，數(shù)學(xué)教學(xué)既要充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的抽象化的一面，又要重視數(shù)學(xué)創(chuàng)

3、造過(guò)程中的具體化的一面。在實(shí)施新課程改革的今天，我們更應(yīng)關(guān)注后者。一、什么是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)？數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是計(jì)算機(jī)技術(shù)和數(shù)學(xué)、軟件引入教學(xué)后出現(xiàn)的新事物。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的目的是提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)并培養(yǎng)學(xué)生用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和計(jì)算機(jī)技術(shù)去認(rèn)識(shí)問(wèn)題和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。不同于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，它強(qiáng)調(diào)以學(xué)生動(dòng)手為主的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。近年來(lái)，隨著數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)走進(jìn)中小學(xué)，人們開始嘗試結(jié)合中小學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行具體化的描述。有的定義側(cè)重于問(wèn)題情境的描述，“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是教師根據(jù)某一數(shù)學(xué)問(wèn)題的各種元素創(chuàng)設(shè)的一個(gè)問(wèn)題情境，在這一情境下，學(xué)生通過(guò)觀察、操作、實(shí)踐、試驗(yàn)等活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、驗(yàn)

4、證問(wèn)題，總結(jié)新結(jié)論。”有的定義側(cè)重于操作層面進(jìn)行描述，“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是為了探究數(shù)學(xué)知識(shí)、檢驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)論（或假設(shè)）而進(jìn)行的某種操作或思維活動(dòng)”。有的從數(shù)學(xué)建模的視角給出定義，“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是一種新的數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)模式，它是實(shí)驗(yàn)者根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn)和要求，經(jīng)過(guò)反復(fù)思考和研究后，做出某些合理的假設(shè)，使問(wèn)題在不致失真的情況下得到簡(jiǎn)化，并進(jìn)行抽象和概括，建立數(shù)學(xué)模型，然后研究所建立的數(shù)學(xué)模型的方法與算法，求得結(jié)果并將結(jié)果返回到實(shí)際問(wèn)題中去檢驗(yàn)和解釋。”有的定義是綜合上面的多個(gè)視角進(jìn)行描述，“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是把表現(xiàn)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的各種元素構(gòu)成一個(gè)程序，即構(gòu)建一個(gè)問(wèn)題情境。在這個(gè)情境下，由教師或?qū)W生對(duì)各元素進(jìn)行有控制的操

5、作。通過(guò)對(duì)各種情境的變換，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、驗(yàn)證問(wèn)題，總結(jié)新結(jié)論?！逼鋵?shí)無(wú)論何種視角，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的本質(zhì)特征都體現(xiàn)在：借助一定的工具，在數(shù)學(xué)思維指導(dǎo)下，通過(guò)實(shí)際操作解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)實(shí)踐探索活動(dòng)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種方式，這種學(xué)習(xí)方式是讓學(xué)生從自己已有的“數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)”出發(fā)，通過(guò)動(dòng)手、動(dòng)腦去獲得新的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，逐步構(gòu)建并完善、發(fā)展自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。因此，我們可以把數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的概念界定為：為獲得某種數(shù)學(xué)理論，檢驗(yàn)?zāi)硞€(gè)數(shù)學(xué)猜想，解決某類數(shù)學(xué)問(wèn)題，實(shí)驗(yàn)者運(yùn)用一定的物質(zhì)手段，在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的參與下，在典型的實(shí)驗(yàn)環(huán)境中或特定的實(shí)驗(yàn)條件下所進(jìn)行的一種數(shù)學(xué)實(shí)踐探索活動(dòng)。二、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的基本類型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與物理、化學(xué)實(shí)

6、驗(yàn)、生物實(shí)驗(yàn)相比，不僅需要?jiǎng)邮?，更需要?jiǎng)幽X，思維量大是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的基本特征，根據(jù)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的實(shí)踐和探索，數(shù)學(xué)常見的實(shí)驗(yàn)教學(xué)大致可以歸納為以下三種形式：1. 操作型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)操作型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)是通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，對(duì)一些工具、材料的動(dòng)手操作，引導(dǎo)學(xué)生自主探索數(shù)學(xué)知識(shí)、檢驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)論(或假設(shè))的教學(xué)活動(dòng)。這種實(shí)驗(yàn)教學(xué)常用于與幾何圖形相關(guān)知識(shí)、定理、公式的探求或驗(yàn)證。2. 思維型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué) 思維型是按照真實(shí)實(shí)驗(yàn)方式展開的一種復(fù)雜的思維活動(dòng)。思維型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)是指通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的不同變化形態(tài)的展示，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用思維方式探究數(shù)學(xué)知識(shí)、檢驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)論(或假設(shè))的教學(xué)活動(dòng)。3. 多媒體模擬實(shí)驗(yàn)教

7、學(xué)多媒體模擬實(shí)驗(yàn)教學(xué)指借助于計(jì)算機(jī)的快速運(yùn)算功能和圖處理能力，模擬再現(xiàn)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生自主探究數(shù)學(xué)知識(shí)、檢驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)論（或假設(shè)）的教學(xué)活動(dòng)。計(jì)算機(jī)多媒體技術(shù)能為教學(xué)活動(dòng)提供并展示各種所需的圖文資料，創(chuàng)設(shè)、模擬各種與教學(xué)內(nèi)容相適應(yīng)的情境，為抽象的數(shù)學(xué)思維提供了直觀模型，為學(xué)生的學(xué)習(xí)和發(fā)展提供了豐富多彩的學(xué)習(xí)情境和有力的學(xué)習(xí)工具。三、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的一般模式從實(shí)驗(yàn)前期準(zhǔn)備工作量的大小、實(shí)驗(yàn)操作的復(fù)雜程度、實(shí)驗(yàn)時(shí)間的長(zhǎng)短等方面來(lái)講，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)可分為片段式和專題式兩種實(shí)驗(yàn)教學(xué)形式。1. 片段式實(shí)驗(yàn)片段式實(shí)驗(yàn)是指穿插在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的實(shí)驗(yàn)，如根據(jù)教學(xué)的需要，在某一數(shù)學(xué)主題內(nèi)容學(xué)習(xí)前，設(shè)置引入一個(gè)與主題內(nèi)

8、容有關(guān)的實(shí)驗(yàn)情境，在課堂上通過(guò)教師的演示或?qū)W生的操作，在較短時(shí)間內(nèi)完成實(shí)驗(yàn)。片段式實(shí)驗(yàn)可以直接為隨后的教學(xué)主題服務(wù)，通過(guò)觀察可獲得猜想，一般具有啟發(fā)性、歸納性、直觀性等特征，從實(shí)驗(yàn)規(guī)模上來(lái)講，可以理解為“小實(shí)驗(yàn)”。片段式實(shí)驗(yàn)的基本模式是：提出實(shí)驗(yàn)主題教師（或?qū)W生）操作實(shí)驗(yàn)學(xué)生觀察猜想驗(yàn)證歸納結(jié)論。例如在教學(xué)有余數(shù)的除法時(shí)，教學(xué)的重、難點(diǎn)是使學(xué)生理解余數(shù)一定要比除數(shù)小。在教學(xué)時(shí)，設(shè)計(jì)了一個(gè)用小棒搭正方形的實(shí)驗(yàn)，分別用4根、8根、12根、13根、14根、15根、16根可以搭成（     ）個(gè)正方形，還剩余（   

9、60; ）根，怎樣列式？并想一想為什么剩余的小棒不能再搭成正方形了？通過(guò)反饋形成板書，并整理成表格，再引導(dǎo)學(xué)生觀察表格，提出猜想：余數(shù)可以使1、2、3，不可能是4；余數(shù)要比除數(shù)小。而學(xué)生在之前進(jìn)行搭正方形的實(shí)驗(yàn)時(shí)，非常容易知道剩余1、2、3根就不可能搭成一個(gè)正方形，如果剩余的根數(shù)是4根或比4根多，還可以再搭正方形，直到剩余的根數(shù)比4根少。這時(shí)再讓學(xué)生觀察、比較、歸納，就會(huì)較輕松地突破“余數(shù)一定要比除數(shù)小”這個(gè)重點(diǎn)、難點(diǎn)。   2. 專題式實(shí)驗(yàn)專題式實(shí)驗(yàn)指的是圍繞一個(gè)數(shù)學(xué)主題組織專項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，內(nèi)容比較豐富、內(nèi)涵比較深刻。專題式實(shí)驗(yàn)需要制定實(shí)驗(yàn)計(jì)劃，要求學(xué)生觀察

10、現(xiàn)象或記錄數(shù)據(jù)，分組討論實(shí)驗(yàn)中所出現(xiàn)的現(xiàn)象或進(jìn)行數(shù)據(jù)分析處理，得出結(jié)論，給出合理的數(shù)學(xué)解釋，寫出完整的實(shí)驗(yàn)報(bào)告，并就實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題做出嚴(yán)格的證明，一般具有探索性、過(guò)程性等特征，從實(shí)驗(yàn)規(guī)模上來(lái)講，可以理解為“大實(shí)驗(yàn)”。專題式實(shí)驗(yàn)教學(xué)通常指的是一節(jié)完整的實(shí)驗(yàn)課，一般來(lái)說(shuō)，其操作流程主要包括實(shí)驗(yàn)過(guò)程和驗(yàn)證過(guò)程。具體來(lái)說(shuō)，專題實(shí)驗(yàn)教學(xué)的基本模式包括六個(gè)步驟：實(shí)驗(yàn)主題實(shí)驗(yàn)實(shí)施提出猜想驗(yàn)證猜想（若猜想不正確即返回頭從來(lái)）交流反思填寫報(bào)告。例如可以給六年級(jí)的學(xué)生設(shè)計(jì)這樣一個(gè)專題式實(shí)驗(yàn)：1. 一張紙的厚度為0.09mm，那么你的身高是紙的厚度的多少倍？2. 將這張紙連續(xù)對(duì)折6次，這時(shí)它的厚度是多少？3. 假

11、設(shè)連續(xù)對(duì)折始終是可能的，那么對(duì)折多少次后，所得的厚度可以超過(guò)你的身高？先猜一猜，然后計(jì)算出實(shí)際答案。你的猜想符合實(shí)際問(wèn)題嗎？實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備：全班每四人一組，每人準(zhǔn)備一張A4型號(hào)白紙。實(shí)驗(yàn)要求：讓學(xué)生將手中的紙按要求對(duì)折，并記錄每一次對(duì)折后紙張的層數(shù)，計(jì)算出它的高度，尋找出數(shù)據(jù)變化的規(guī)律，并解決上述問(wèn)題。實(shí)驗(yàn)結(jié)果：?jiǎn)栴}1學(xué)生很快就能解決。解決問(wèn)題2時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生列出這樣一份表格：對(duì)折次數(shù)123456紙張層數(shù)22×22×2×22×2×2×2( )( )學(xué)生動(dòng)手操作，找到規(guī)律，很快就解決問(wèn)題2。而在解決問(wèn)題3時(shí)，學(xué)生有可能產(chǎn)生疑問(wèn)：“我第幾次折

12、就折不起來(lái)了，紙這么小，要折到人這么高，該用多大的紙來(lái)折？”學(xué)生忽視了題中的“假設(shè)”，把整個(gè)問(wèn)題的焦點(diǎn)轉(zhuǎn)化為對(duì)紙的選擇上。這樣一個(gè)虛擬的問(wèn)題就會(huì)變成棘手的課堂突發(fā)事件。這時(shí)，我們可以再次提出實(shí)驗(yàn)主題：一張紙最多可以對(duì)折幾次？引導(dǎo)學(xué)生理清實(shí)驗(yàn)實(shí)施的準(zhǔn)備和步驟，四人一組，分別利用學(xué)生練習(xí)本的紙做折紙實(shí)驗(yàn)：練習(xí)本大小的紙；練習(xí)本一半大小的紙；練習(xí)本四分之一大小的紙；兩張練習(xí)本大小的紙對(duì)折?？锤髯宰疃嗄軐?duì)折多少次？實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示：按題中的方法對(duì)折，不論紙張大小，第6次對(duì)折都能完成，小的紙張第7次對(duì)折就比較勉強(qiáng)，第八次對(duì)折就難以完成了；大的紙可對(duì)折7次，第八次就難以完成，超過(guò)8次是不可能的。這時(shí)引導(dǎo)學(xué)生提

13、出猜想：一張紙最多可以對(duì)折7次。再讓學(xué)生交流反思：如果紙?jiān)俅笠恍┰俦∫恍?，能不能再多折幾次？?duì)折7次是不是可以對(duì)折的極限了？學(xué)生充分交流時(shí)，教師可趁機(jī)提問(wèn)：一張紙對(duì)折了7次后，厚度是原來(lái)的多少？而寬度又是原來(lái)的多少？找你認(rèn)為很薄的紙和很大的紙（可以課前準(zhǔn)備好），再做對(duì)折實(shí)驗(yàn)，探究紙張對(duì)折的極限。學(xué)生再次實(shí)驗(yàn)后得出：一張紙對(duì)折了7次后，厚度是原來(lái)的128倍，而寬度則是原來(lái)的，這樣就接近了可以對(duì)折的極限。最后，可以讓學(xué)生把整個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過(guò)程寫成實(shí)驗(yàn)報(bào)告。四、有關(guān)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的幾點(diǎn)思考1. 明確數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的本質(zhì)特性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)使教學(xué)的表現(xiàn)形式形象化、多樣化、可視化，既有利于充分揭示數(shù)學(xué)概念和定理的形成與發(fā)展

14、、數(shù)學(xué)思維的過(guò)程和本質(zhì)，又有利于數(shù)學(xué)思想的滲透、數(shù)學(xué)方法的選擇、數(shù)學(xué)新問(wèn)題的形成。因此，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)具有以下四個(gè)基本特征：·實(shí)證性。（即數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)本質(zhì)上就是把過(guò)程弄出來(lái)）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)追求的不僅僅是對(duì)數(shù)學(xué)命題的邏輯論證，更重要的是揭示數(shù)學(xué)問(wèn)題的形成過(guò)程。·深刻性。（有實(shí)物、有發(fā)現(xiàn)才是實(shí)驗(yàn)）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)追求的不僅僅是知識(shí)的獲取和解決的過(guò)程，更重要的是對(duì)知識(shí)的再發(fā)現(xiàn)和對(duì)問(wèn)題的創(chuàng)造過(guò)程。·探索性。（引進(jìn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為過(guò)程服務(wù)）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)追求的不僅僅是解決問(wèn)題的方法與途徑的選擇，更重要的是解決問(wèn)題過(guò)程中的數(shù)學(xué)精神。·創(chuàng)造性。（實(shí)驗(yàn)不是邏輯推理出來(lái)的）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)追求的不僅僅是按部就班地獲

15、得結(jié)論，更重要的是培養(yǎng)求異思維和創(chuàng)新精神。2. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)研究過(guò)程中的幾點(diǎn)困惑·數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)課堂中的學(xué)生操作活動(dòng)有何區(qū)別？例如一位教師在引入平角、周角等概念后，引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑：0°角與周角有什么區(qū)別？有沒(méi)有大于360°的角？教師給學(xué)生創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行活動(dòng)：讓學(xué)生伸直右臂前平舉不動(dòng)，表示0°。然后身體連續(xù)兩次“向后轉(zhuǎn)”，即旋轉(zhuǎn)360°，這時(shí)手臂又回到了原來(lái)的位置。通過(guò)活動(dòng)，學(xué)生自己就能感悟0°與360°的區(qū)別與聯(lián)系。如果連續(xù)三次向后轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的度數(shù)就大于360°，第二個(gè)問(wèn)題也就有了答案。一次簡(jiǎn)單的活動(dòng)、幾個(gè)簡(jiǎn)單的動(dòng)作，幫助學(xué)生解惑釋疑、使學(xué)生茅塞頓開，那這樣的活動(dòng)是否也可以看作數(shù)學(xué)小實(shí)驗(yàn)？·現(xiàn)有小學(xué)數(shù)學(xué)教材中有哪些內(nèi)容適合使用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)？·在六年小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，有哪些專題式數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是必須要做的？對(duì)于我來(lái)說(shuō)，“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”這一課題才剛剛起步