1、2019-2020年高二數(shù)學(xué)組合資料分組分配問題人教版1.組合數(shù)公式n!例i：求證Cmn 1C：1m! (nC；2m)!2,lC n 1Cn m 1CnCn 1n 1Cn m 12.平均分組與不平均分組問題 例2:有6本不同的書.(2)(4) 解析：甲乙丙每人兩本，有分成三堆，每堆兩本，有種分法？種分法？分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本,有 分給甲乙丙，一人1本，一人2本，一人3本，有.分成三堆，有兩堆各1本，另一堆4本，有種分法？種分法？ 種分法？(1)屬平均有序分組問題先取2本給甲再取2本給乙余下2本給丙共有C； C： C2290種.(2)屬平均無序分組問題應(yīng)在平均有序分組后消序C2

2、C： C22共有A315種.可證明:設(shè)分成三堆,每堆兩本，有x種分法，再分給甲乙丙時(shí)乘以A3 C2 C： C；c6 c4 C2(3)由于是不平均分組A,屬有序分組先取再取余下共有123C6 C5 C360種.1本作一堆2本作一堆3本作一堆(4)先不平均分成三堆有種， 然后再分給甲乙丙共有 C6 C： C； A3 360種.(6)三組中有兩組是平均分組，這兩組是無序的，應(yīng)對這兩組消序.共有c6 c5 c：15種.點(diǎn)評:平均分組是無序的，各組合數(shù)相乘時(shí)產(chǎn)生了順序，故應(yīng)消序(除以平均組數(shù)的全排列);不平均分組是有序的，不需要消序；局部平均分組應(yīng)局部消序.練習(xí)：(1)把7本書分成5堆，有兩堆各2本，另

3、三堆各1本，有 種分法？22 02 c1 c1 C1C7 C5 C3 C2 C1答案:3.元素抽取問題例3:從四雙鞋子中取解法一：先從四雙鞋子中取一雙 再從余下三雙中取一雙 再從余下兩雙中取一雙4只，恰有兩只是一雙的取法有，從中取一只，從中取一只種？故共有c4 c3 c2c2c296解法二：先從四雙鞋子中取一雙 再從余下六只中取一只 再從余下四只中取一只故共有c4 C1 c496種.解法三：先從四雙鞋子中取一雙再從余下三雙中取兩雙再從取出兩雙中各取一只故共有種.分析：哪個(gè)對呢？解法一錯(cuò)在哪里？第二步中取出一只假設(shè)為 M第三步中取出的那只假設(shè)為 N但是第二步中也可能取出N而第三步中取出 M這樣對

4、同一結(jié)果卻在分步選取中進(jìn)行了有序的選取，產(chǎn)生了重復(fù)的結(jié)果（MN與NM）.故要消序.故有解法48解法c4 c6 c4A2248種.這樣才是正確的.點(diǎn)評：分步抽取，用乘法原理是有序的抽取，當(dāng)結(jié)果不講順序時(shí)應(yīng)除以進(jìn)行消序練習(xí)：從4臺甲型電視機(jī)和5臺乙型電視機(jī)中任取3臺，其中至少要有甲乙型各一臺取法？，有 種解法一：直接分類甲2乙1甲1乙2共有c4 C5270種.解法二：排除法3 3C4C570解法三：分步抽取需要消序 先各取i臺再從余下7臺中取一臺 不管取到誰，總會重復(fù)一半故有c4 c5 Ci70種.點(diǎn)評：取元素“至少” “至多”問題直接法就是分類列舉；間接法就是去掉反面。4.插板法模型對于沒有個(gè)體

5、區(qū)分的相同對象的分配問題常使用插板法模型模型一：把12個(gè)相同的小球放入編號為1,2,3,4 的盒子里，要求每個(gè)盒子里至少放一個(gè)小球，有放法？解析：首先4個(gè)盒子看作是由3塊擋板分隔成的4個(gè)空間.將12個(gè)小球排成一排，它們之間有11個(gè)間隔，從這11個(gè)間隔中選出3個(gè)放上插板.共有種方法.模型二：把12個(gè)相同的小球放入編號為1,2,3,4的盒子里，每個(gè)盒子可空，有 放法？解析：因?yàn)槊總€(gè)盒子可空，所以隔板之間允許無球，把3塊隔板也看作3個(gè)對象，連同12個(gè)小球共 有15個(gè)對象排成一列，則只須將3塊隔板放在15個(gè)位置中的3個(gè)位置即可.共有種方法.練習(xí)：(1)方程x+y+z+s=12有 組正整數(shù)解？(2)方程x+y+z+s=12有 組非負(fù)整數(shù)解？解析：(1) 相當(dāng)于12個(gè)相同小球放入4個(gè)盒子里，每盒至少一個(gè).用插板模型一.(2) 相當(dāng)于12個(gè)相同小球放入4個(gè)盒子里，每盒可空.用插板模型二.化歸:下列幾種不同情景的問題都可化歸為隔板模型(1) 一段樓梯共17級臺階，上樓時(shí)可一步一個(gè)臺階也可一步兩個(gè)臺階，要11步走完，有種走法？(2) 從5X6的方格中的頂點(diǎn) A到對角頂點(diǎn)B的最短路線有 條？|B解析 :(1) 11 步中有 6 個(gè)兩步和5 個(gè)一步 , 把 5 個(gè)一步看作5 塊隔板放在11 個(gè)位置上即可. 有種