1、第九講：無窮級數(shù)一、 常數(shù)項級數(shù)1、 概念與性質(zhì)：（1） 數(shù)列中的各項用加號連接的形式：稱為無窮項數(shù)項級數(shù)，第項稱為一般項（通項）。數(shù)列稱為級數(shù)的前項之和（部分和），若，則稱級數(shù)的和為，級數(shù)收斂；若不存在，則稱級數(shù)發(fā)散。若級數(shù)收斂，稱為級數(shù)的余項，。例1：判定下列級數(shù)的斂散性：解：，故發(fā)散；：解：，故收斂；調(diào)和級數(shù)：；解：由，故級數(shù)發(fā)散。幾何級數(shù)：級數(shù)：（2） 性質(zhì)：、設(shè)、為常數(shù)，若、收斂，則也收斂，且；推論：常數(shù)，與同斂散；比如：證明級數(shù)發(fā)散：因為與同斂散，又發(fā)散，故級數(shù)發(fā)散；注意：，；、改變級數(shù)的有限項，不會改變級數(shù)的斂散性；推論：與同斂散；、收斂級數(shù)“加括號”后所得的級數(shù)仍收斂于原來的和

2、；（“加括號”后所得的級數(shù)發(fā)散，則原級數(shù)必發(fā)散）比如：已知，求：解：，故；、若級數(shù)收斂，則（若，則發(fā)散）比如：由，則發(fā)散。、柯西收斂準則：級數(shù)收斂，當時，對任何，均有。2、 正項級數(shù)的審斂法若，則稱級數(shù)為正項級數(shù)。由得單調(diào)增加，可知正項級數(shù)的收斂準則：正項級數(shù)收斂部分和有界。（1） 比較審斂法：若、為正項級數(shù)，且，其中為正常數(shù)，則當收斂時，也收斂；當發(fā)散時，也發(fā)散。比較審斂法的極限形式：若、為正項級數(shù)，且，則當時，與同斂散；當時，若收斂，也收斂；若發(fā)散，也發(fā)散；當時，若收斂，也收斂；若發(fā)散，也發(fā)散。（2）比值審斂法（達朗貝爾判別法）：設(shè)為正項級數(shù)，則當時，收斂；當時， 發(fā)散。比值審斂法的極限形

3、式：若為正項級數(shù)，且，則當時，收斂；當時， 發(fā)散；當時，無法確定。（3）根值審斂法（柯西判別法）：設(shè)為正項級數(shù)，則當時，收斂；當時， 發(fā)散。根值審斂法的極限形式：若為正項級數(shù)，且，則當時，收斂；當時， 發(fā)散；當時，無法確定。（4）積分審斂法：若（）為非負的不增函數(shù)，則與同斂散。（5）拉阿伯審斂法：若為正項級數(shù)，且，則當時，收斂；當時， 發(fā)散；當時，無法確定。3、交錯級數(shù)及審斂法：（1）設(shè)，級數(shù)或稱為交錯（項）級數(shù)。（2）萊布尼茲審斂法：若交錯級數(shù)或滿足：，則該級數(shù)收斂。4、絕對收斂與條件收斂：若收斂，則稱絕對收斂，此時也收斂；若發(fā)散，但收斂，則稱條件收斂。判斷下列級數(shù)的收斂性例1:;解:注意到

4、,當充分大時,即,故,收斂,因此:收斂.例2:;解:,因此原級數(shù)收斂.例3:解:,當時,級數(shù)收斂;當時,級數(shù)發(fā)散;當時,當時,該級數(shù)收斂,當時,該級數(shù)發(fā)散.例4:,解:因為,又發(fā)散,收斂,因此收斂, ,發(fā)散.例5:;解: ,當即時,級數(shù)收斂;當時,級數(shù)發(fā)散;當時,故級數(shù)發(fā)散.例6:;解:由于,及,故級數(shù)收斂.例7:解:由于及當時,當時,因此當時,級數(shù)發(fā)散;當時,級數(shù)收斂.例8:;解:由于,即,級數(shù)發(fā)散,故原級數(shù)也發(fā)散.例9:;解:由于,取則有,及收斂,故原級數(shù)收斂.例10:;解:,當充分大時,則有,即,也即,又收斂,故原級數(shù)收斂.例11:;解:,故級數(shù)收斂.例12:;解:考慮,又,即,發(fā)散,因

5、此原級數(shù)收斂.例13:設(shè)證明級數(shù)當時收斂,當時發(fā)散.證明:根據(jù)極限定義,當時,恒有.即.當時,取適當小的,使,即得,即,又,收斂,故收斂.當時,取適當小的,使,即得,即,又,發(fā)散,故發(fā)散.例14:已知級數(shù)收斂,問級數(shù)是否收斂?解:由于,及收斂,故收斂,即絕對收斂,因此收斂.例15:討論級數(shù)的收斂性,若收斂,是絕對收斂,還是條件收斂?解:原式,由知發(fā)散,考慮,由于,取得,又,故在時單調(diào)減少,因此有,即,滿足萊布尼茲定理條件,因此本級數(shù)條件收斂.例16: 討論級數(shù)的收斂性,若收斂,是絕對收斂,還是條件收斂?解:由于,發(fā)散,故發(fā)散,又,級數(shù)收斂,發(fā)散,故原級數(shù)發(fā)散.例17: 討論級數(shù)的收斂性,若收斂

6、,是絕對收斂,還是條件收斂?解:由于,且當時,.故原級數(shù)為交錯級數(shù).發(fā)散(,又發(fā)散),故原級數(shù)不會絕對收斂,又,取故單調(diào)減少,即,也即,滿足狄里克來條件,因此該級數(shù)條件收斂.例18:已知數(shù)列收斂,級數(shù)收斂,證明級數(shù)收斂.解一:設(shè)級數(shù)的部分和為,級數(shù)部分和為 即存在,故級數(shù)收斂級數(shù)收斂.解二:取,則級數(shù)收斂,又,故級數(shù)收斂,因此原級數(shù)收斂.例:已知收斂,證明級數(shù)也收斂.證明: 已知收斂,故存在,使,.記,由于,故,因此,即正項級數(shù)的部分和數(shù)列有上界,從而原級數(shù)收斂.例20:設(shè)正項數(shù)列單調(diào)減少,且級數(shù)發(fā)散,試問級數(shù)是否收斂?并說明理由.解: 正項數(shù)列單調(diào)減少且有下界,故存在,不妨設(shè)為,則.若,則由

7、萊布尼茲定理知級數(shù)收斂,矛盾,故.因此由,故級數(shù)收斂.例21:設(shè)且,問級數(shù)是否收斂?解:=,由知,于是,級數(shù)收斂.又,故發(fā)散,因此原級數(shù)條件收斂.例22:設(shè)在點的某個鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且,證明級數(shù)絕對收斂.證明:由題意知,又,在點的某個鄰域內(nèi)連續(xù),不妨取該鄰域內(nèi)含有原點的一小區(qū)間,在上連續(xù),則使,故.令,當充分大時,有,收斂,因此級數(shù)絕對收斂.例23 判別級數(shù)的斂散性。解（1），得單調(diào)減少；由，及得，即，故級數(shù)收斂。又， 由，及發(fā)散知發(fā)散，故級數(shù)條件收斂。一、 函數(shù)項級數(shù)1. 概念與性質(zhì)(1)稱為函數(shù)項級數(shù).若收斂,稱為的收斂點,收斂點的全體稱為收斂域, 若發(fā)散,稱為的發(fā)散點,發(fā)散點的全

8、體稱為發(fā)散域.若為收斂點,收斂于和函數(shù),記,則稱為級數(shù)的余項,并且.(2)記,則稱為關(guān)于的冪級數(shù),記,則有,為了方便以后記為.(3)Abel定理:如果冪級數(shù)在處收斂,則對于適合的一切,絕對收斂, 如果冪級數(shù)在處發(fā)散,則對于適合的一切,發(fā)散.(4)若冪級數(shù)在某些點收斂, 在某些點發(fā)散,則必存在某個確定的唯一的常數(shù),使當時,冪級數(shù)絕對收斂;當時,冪級數(shù)發(fā)散.這里的稱為冪級數(shù)的收斂半徑.(5) 收斂半徑的求法:設(shè)為冪級數(shù)的相鄰兩項的系數(shù),若或,則當時,取;當時,取;當時,取注意:時, 冪級數(shù)僅在處收斂.2. 冪級數(shù)的運算性質(zhì)(1) 若在內(nèi)收斂, 在內(nèi)收斂,則在內(nèi)收斂,其中且.,其中,(2) 的和函數(shù)

9、在其收斂區(qū)間內(nèi)連續(xù),可導(dǎo),且可逐項求導(dǎo)和逐項積分,即 . 注意: 逐項求導(dǎo)和逐項積分后得到的冪級數(shù)與原來的冪級數(shù)具有相同的收斂半徑,但是區(qū)間端點的收斂性要重新討論.3. 泰勒級數(shù)(1) 若在的某個鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù),則稱為關(guān)于的泰勒級數(shù).(2) 若在的某個鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù),則在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充分必要條件是 , 其中, .注意: 在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)是指的泰勒級數(shù)在該鄰域內(nèi)收斂,且收斂于本身.直接展開法:(1) 求出的各階導(dǎo)數(shù):及,(2) 寫出泰勒級數(shù):,并且求出它的收斂半徑,(3) 考慮當時,(其中介于之間)在時,是否趨于零,如果趨于零,則有,即可展開成泰勒級數(shù).間接展開法

10、(即利用常用的函數(shù)展開式):(1),;(2),;(3),;(4),端點的收斂性與有關(guān).4、舉例例1:求下列冪級數(shù)的收斂域(1);解: ,所以.當時,為交錯級數(shù),滿足萊布尼茲定理要求,故該級數(shù)收斂,當時,為級數(shù), ,故級數(shù)發(fā)散,因此該級數(shù)收斂域為.(2);解:該級數(shù)為缺項級數(shù),直接用比值法判別:當,即時,級數(shù)收斂,當時,即,也即.因此該級數(shù)收斂域為.(3):解:取,則有,由知當,即,時,當時,發(fā)散,故該級數(shù)收斂域為.(4)解: 由知當,即時, =(*)由于,收斂,故(*)收斂.當,即時, =(*)由于發(fā)散,收斂,故(*)發(fā)散. 故該級數(shù)收斂域為.(5):(為常數(shù))解: 由知,當時,故由,發(fā)散知這

11、時該級數(shù)的收斂域為.當時,由收斂,發(fā)散)發(fā)散知這時該級數(shù)的收斂域為.當時, 由于收斂,發(fā)散,這時該級數(shù)的收斂域為.當時,由于收斂,()發(fā)散,這時該級數(shù)的收斂域為.當時,由于,收斂, 故,均收斂,這時該級數(shù)的收斂域為.例2: :求下列冪級數(shù)的和函數(shù):(1);解:,所以.當時,記,故由知,故,因此.(2);解: ,所以.當時,記.(3);解,所以.當時,記,.(4);解: 該級數(shù)為缺項級數(shù),直接用比值法判別:,當,即時,級數(shù)絕對收斂,當時, ,級數(shù)發(fā)散,當時,記 .(5);解: ,所以.當時,記,.(6):計算;解:由于,考慮; ,所以.當時,記 ,因此, .例3:將下列函數(shù)展開成關(guān)于的冪級數(shù)(即

12、泰勒級數(shù)).(1) 解: ,(2);解: ,由得.(3):;解:,(4):;解:,(5):;解: , .(6):;解: ,三、傅里葉級數(shù)1、稱為三角級數(shù),若,則稱為正弦級數(shù),若,則稱為余弦級數(shù):設(shè)是周期為的周期函數(shù),若取, ,上述三角級數(shù)稱為傅里葉級數(shù),其中系數(shù)稱為傅里葉系數(shù).2.函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的條件(收斂定理)設(shè)是周期為的周期函數(shù),如果它在上連續(xù),或只有有限個第一類間斷點,并且至多有有限個極值點,則的傅里葉級數(shù)收斂,并且當為連續(xù)點時,級數(shù)收斂于本身, 當為間斷點時,級數(shù)收斂于.3.當為奇函數(shù)時,此時展開的傅里葉級數(shù)為正弦級數(shù).當為偶函數(shù)時, ,此時展開的傅里葉級數(shù)為余弦級數(shù).4.周期延

13、拓:若僅在有定義,且滿足定理條件,此時可將在外作周期延拓(即作以為周期的周期函數(shù),使,),然后將展開成傅里葉級數(shù),限制,即得到的傅里葉級數(shù).5.奇(偶)延拓:若僅在有定義,且滿足定理條件,此時可將先在內(nèi)作奇(偶)延拓, ,然后在外作周期延拓(即作以為周期的奇(偶)函數(shù),使,),然后將展開成傅里葉級數(shù),限制,即得到的正(余)弦級數(shù).例1:將展開成傅里葉級數(shù).解:將在外作周期延拓,使其滿意定理條件.可先考慮取, 故所以例2:設(shè)在區(qū)間上為可積的偶函數(shù),且,證明在的展開式中系數(shù).證明:由為可積的偶函數(shù),故展開式為余弦級數(shù).因此令令,又,故.例3:將在區(qū)間上展開成傅里葉級數(shù),并求,.解: 在外作周期延拓,使其滿意定理條件. 故 令, 由得 ,令, 由得 .例4:怎樣才能將在內(nèi)可積的函數(shù)延拓到,使其傅里葉展開式為.解: 展開式中只