1、編號(hào) 畢業(yè)論文 （ 2013 屆本科）題 目： 切比雪夫不等式的推廣及應(yīng)用 學(xué) 院： 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 作者姓名： 指導(dǎo)教師： 職稱： 完成日期： 2013 年 5 月 24 日二一三 年 五 月切比雪夫不等式的推廣及應(yīng)用摘 要 本文給出切比雪夫不等式的三種形式的推廣,并利用契比雪夫不等式研究隨機(jī)變量落入某一區(qū)域的概率,求解證明概率方面的不等式,證明切比雪夫大數(shù)定理和特殊不等式等四個(gè)方面的應(yīng)用.關(guān)鍵詞 切比雪夫不等式;推廣;應(yīng)用;實(shí)例.中圖分類號(hào) O211.1The promotion and application of chebyshev inequalitySon

2、g Qiaoguo Instructor Zhu Fuguo(No.25,Class 1 of 2013,Specialty of Mathematics and Applied Mathematics, Hexi University,Zhangye,Gansu,734000)Abstract: Chebyshev inequality is presented in this paper the three forms of promotion, and use the chebyshev inequality study random variables into the probabi

3、lity of a certain area, solving the probability of inequality, prove chebyshev theorem of large number and the application of the four aspects, such as special inequalities.Abstract: chebyshev inequality;Promotion;Applications;The instance1 引言概率論是一門(mén)研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的科學(xué),而切比雪夫不等式又是概率論中介紹的極少數(shù)的重要不等式之一,尤其是在分布未知

4、時(shí)某些事件的概率上下界常用切比雪夫不等式.又如大數(shù)定理是概率論極限理論的基礎(chǔ),而切比雪夫不等式又是證明它的重要途徑.作為一種理論工具,切比雪夫不等式不等式有很高的地位.雖然它的證明其理論成果相對(duì)比較完善,但一般的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教材對(duì)大數(shù)定律的介紹篇幅較少,但不夠廣泛. 我們知道,數(shù)學(xué)的各門(mén)分支之間都是有一定聯(lián)系的,若我們?cè)趯W(xué)習(xí)中能把這些聯(lián)系點(diǎn)找出來(lái)并加以對(duì)比分析與應(yīng)用,則既加深了對(duì)知識(shí)的理解,貫通了新舊知識(shí)的聯(lián)系,又拓寬了知識(shí)的應(yīng)用范圍,同時(shí)也活躍了思維,無(wú)論從深度上還是從廣度上都是一個(gè)飛躍. 對(duì)切比雪夫不等式的應(yīng)用問(wèn)題的推廣也是一項(xiàng)非常有價(jià)值的研究方向,通過(guò)對(duì)這些問(wèn)題的應(yīng)用推廣,不僅能加深

5、對(duì)切比雪夫不等式的理解,而且能使之更為有效的應(yīng)用其他知識(shí)領(lǐng)域中.2 預(yù)備知識(shí)定義1 (切比雪夫不等式)若隨機(jī)變量有數(shù)學(xué)期望和方差,則對(duì)于任意的正數(shù),總有: .定義2 如果函數(shù)和對(duì)于一切均成立,則稱與成似序；倘若反向的不等式成立,則稱與成反序.定義3 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為,若積分收斂,則稱為的數(shù)學(xué)期望,則為的方差.3 主要結(jié)論及證明定理1 切比雪夫不等式積分形式如果連續(xù)函數(shù)與在區(qū)間上成似序,則成立如下不等式相反,如果與成反序,則不等號(hào)反向.證明 引入輔助函數(shù),求導(dǎo)得 .由于與與在區(qū)間上成似序,故有,于是,因此在上單調(diào)遞增,又,即,.同理反序成立.定理2 切比雪夫不等式有限形式 若和是

6、兩個(gè)實(shí)序列,且滿,或,則成立如下不等式.證明 設(shè),為兩個(gè)有相同次序的序列,有排序不等式得,將這個(gè)式子相加得到,不等式兩邊同時(shí)除以,得.定理3 設(shè),則當(dāng)或者時(shí),有如下不等式成立 當(dāng)或者時(shí),也有如下不等式成立 并且當(dāng),對(duì)于任意的時(shí),則,中等式成立的條件是.證明 先證明成立.用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)則不等式成立.假設(shè)時(shí)成立.下證時(shí) .當(dāng)時(shí),兩邊取極限則有成立.同理可證（2）式成立.4 切比雪夫不等式的應(yīng)用4.1 利用切比雪夫不等式估計(jì)隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)間內(nèi)的概率例1 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為,用切比雪夫不等式估計(jì)解 第一步:求和. .第二步:將不等式的各端同減去,把待估概率化成的形式 .第三步:取,利用切比雪夫不等

7、式估計(jì)概率 .4.2 求解或者證明一些有關(guān)概率的不等式例2 設(shè)在每次試驗(yàn)中,事件發(fā)生的概率為,利用切比雪夫不等式求:需要多大時(shí),才能使得在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件出現(xiàn)的頻率在之間的概率至少為？解 設(shè)為次試驗(yàn)中,事件出現(xiàn)的次數(shù),則,.所求為滿足的最小的.可改寫(xiě)為,則 .在切比雪夫不等式中取,則 .依題意,取,解得 .即取18750時(shí),可以使得在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件出現(xiàn)的概率在之間概率至少為0.90.4.3 利用切比雪夫不等式證明切比雪夫大數(shù)定理例3 設(shè)是相互獨(dú)立的隨機(jī)事件,其數(shù)學(xué)期望和方差分分別為,且存在常數(shù),使,則對(duì)于任意給的正數(shù),有.解 設(shè)則 ,.由切比雪夫不等式得: .所以.另,由兩邊夾定

8、理.4.4 利用切比雪夫不等式證明不等式例4 證明 .證明 構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量,設(shè),則,.且.由切比雪夫不等式知.所以.5 總結(jié)切比雪夫不等式不等式是概率論中的重要不等式，本文將切比雪夫不等式進(jìn)行了不同形式的推廣，并研究總結(jié)了切比雪夫不等式不等式在概率論中的不同應(yīng)用，通過(guò)本文的研究可以將切比雪夫不等式及其推廣的不同形式能靈活應(yīng)用，所以研究切比雪夫不等式有很重要的研究意義.致謝 本文撰寫(xiě)過(guò)程得到老師的悉心指導(dǎo),在此對(duì)朱老師表示衷心的感謝.參 考 文 獻(xiàn)1陳希孺.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)M.合肥:中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社.2009.2韓生,白巖,劉光清,李茂.契比雪夫不等式的一個(gè)新證明J.長(zhǎng)春師范學(xué)報(bào).1995,17(1):24-25.3萬(wàn)星火.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)M.北京:科學(xué)出版社,2007.4樓宇同.契比雪夫不等式的推廣J.曲阜師范大學(xué)學(xué)報(bào).1992,18(4):49-54. 5上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)系編.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)M.上海:上海科學(xué)技術(shù)出版社,