1、拉普拉斯變換的數(shù)學方法一、拉氏變換與拉氏及變換的定義1、拉氏變換：設有時間函數(shù)Ft，其中t _0，則f(t)的拉氏變換記作:Lf(t)二 F(s)二 0 f(t)e%t稱L拉氏變換符號；s-復變量；F(s)為f(t)的拉氏變換函數(shù)，稱為象函數(shù) f(t)原函數(shù)拉氏變換存在，f(t)必須滿足兩個條件(狄里赫利條件)：1) 在任何一有限區(qū)間內，f(t)分斷連續(xù)，只有有限個間斷點。2) 當tT閔時，|f(t)蘭Meat，M a為實常數(shù)。2、拉氏反變換：將象函數(shù)F (s)變換成與之相對應的原函數(shù)f(t)的過程。1f 九F(s)、j1；jw stsF(s)e ds11L一拉氏反變換符號關于拉氏及變換的計算

2、方法，常用的有：查拉氏變換表；部分分式展開法二、典型時間函數(shù)的拉氏變換在實際中，對系統(tǒng)進行分析所需的輸入信號?？苫喅梢粋€成幾個簡單的信 號，這些信號可用一些典型時間函數(shù)來表示，本節(jié)要介紹一些典型函數(shù)的拉氏變 換。1. 單位階躍函數(shù)t 0t -0qQ山)，011 .edt-st1-stdt eoo0112. 單位脈沖函數(shù)t = 0t =01L、(t)=1單位斜坡函數(shù)0t c0f(ttt°° st£ tedt =4.指數(shù)函數(shù)at eLeat =qQ/ - at _st ,=e e dt$0s丄5.正弦函數(shù)sinwtUte二 o e4s -a)t由歐拉公式：jwtec

3、oswt j sinwt所以，sin wt=丄(ejwt _蹴)2jLsinwt = o 1 (ejwt -e"jwt )e tdt1 :巧0(e=-(f -e®w)t)dt2j s_jw亠)s jws2 w2e 4wt = coswt _ j sin wt6.余弦函數(shù)coswt.1 / jwt 亠-jwt coswt (e e )2sL cos wt 22s +w其它的可見表2-1 :拉氏變換對照表F(s)11(t)tetesincctcosttn(n =1,2,3 )tnet(n = 1,2,3 )1(e e)(b-a)-at.e sinet cost片(at _1 +

4、 e 血) a一廠e 3 sin(國八'1-匕 t)1-纖f(t)6(t)1 s1-2 s1s + a1(s + a)2cos +灼s2 2 s +on!sn*n!/丄 n卅(s + a)1(s + a)(s + b)co2 2(s + a)十s + a(s + a)2 + 時 21s2(s + a)2S2 +2ns +國 n2、拉氏變換的性質1、線性性質若有常數(shù) ki, k2,函數(shù) fi(t),f 2(t),且 fi(t),f 2(t)的拉氏變換為 Fi(s),F 2(s),則有：LKfdt廠k2f2(t)Nk1F1(s) k2F2(s)，此式可由定義證明。2、'實數(shù)域的位移

5、定理 復數(shù)域的位移定理(1)實數(shù)域的位移定理若f(t)的拉氏變換為F(s),則對任一正實數(shù)a 有Lf(ta) =esF(s),其中，當 t<0 時，f(t)=O ，f(t-a)表 f(t)延遲時間 a.證明：Lf(t a) =f (t ajedt，令 t-a= t ,則有上式=of ( Je$a7d .二 e'sF(s)1 1例：f(t)1(tT),求其拉氏變換T T1方11工F(s)e_(1e )Ts Ts Ts(2)復數(shù)域的位移定理若f(t)的拉氏變換為F(s),對于任一常數(shù)a,有Le&f(t) =F(s a)證：Letf(t) = °二 Q"f

6、(t)ea s)tdt =F(s a)例：求e Q coswt的拉氏變換atLecoswt=s +a(s a)2 w23、微分定理設f(t)的拉氏變換為F(s),則 LHLf'(t) =sF(s) -f(0 ) dt其中f(0 +)由正向使t > 0的f(t)值證：Ldf -J df (t) edt - J edf (t) dt0 dt0qQ=ef (t)譽s【° f (t)e dt = sF(s) _ f (0 j同理可推廣到n階:Lf 二 snF(s) -snf(O ) -|f(n)(0 )當初始條件為0時，即f(0) =f'(0) =| =0則有 Lf &

7、#39;(t)二 sF(s) Lf(n) (t)二 snF(s)4、積分定理設f(t)的拉氏變換為F(s),貝UL tf (t)dt二凹 1f(J) (0 )，其中 tf(t)dt 是在 t > 0 時的值 0s s0證明:L ；f(t)dt二.0：f(t)dt edt= -1(：f(t)dt /eftgts 010二陽!f(-1)(0 )s s同理可得n階積分的拉氏變換：t t tL 0 0 0 f(t)(dt)nTF(s) NF) sf5(0)當初始條件為0時，f(t)的各重積分在t > 0 時，均為0,貝U有L ：f(t)dt二凹 L 0("(忖二卑0s0s5、初值

8、定理設f(t)的拉氏變換為F(s)，貝U函數(shù)f(t)的初值定理表示為：f (0 ) lim f (t)二 lim sF(s)t_十證明：由微分定理知：刎也edt=sF(s)-f(0+)dt 0 dt則有對等式兩邊取極限：s：，|im oJimsF(s) -f (0 )0 =lim.sF(s) -f(0 )s -f (0 = lim f( t lim sF(s)t .0S -1例：已知 F(s)=，求 f(0 +)s +a1 由初值定理知：f (0 ) = lim sF(s) = lim s1s 護 s + a6、終值定理：若f(t)的拉氏變換為F(s),則終值定理表示為:lim f (t)二

9、1叫 sF(s)證明：由微分定理知：dt 0 dt令s > 0，對上式兩邊取極限，凸 sF(s)-f(0+) f(t)lim sF(s) -f(04) f (：) = lim f(t) = lim sF(s) s_這個定理在穩(wěn)態(tài)誤差中常用。1例：已知：Lf(t)二 F(s)，求 f(：)s + af(：) = li叫 sF(s) = li叫 =07、卷積定理設f(t)的拉氏變換為F(s),g(t)的拉氏變換為G(s)，則有 L y；f (t 九)g(Qdq=F(s)G(s)式中，ff (t -®g(k)d& = f(t) *g(t)稱為f(t)與g(t)的卷積。此定理不

10、要求證明課堂練習：1) 求 Lt 2odA oOLt2= t2e*dt =t2de*0s 02)求圖示正弦波半波函數(shù)的拉氏變換f(t)二 a si nt as in (t T)a：./TTs a二/TF(s) =r e2,兀s尹2 二2S尹二 Le®f(t) L(t -a)=F(s a)e 川3)已知f(t)的拉氏變換為F(s),求Letf(t) “、(t -a)Le "tf (t -a)二 Lef(t) L;(t -a)-F(s a)es4)已知f(t)的拉氏變換為F(s),求Lf(at)Lf ( 0 f(at)e'dt)二 0 f(at)e'dt j f

11、( )e ada1f ( )e a d = a 01f(§)a a四、拉氏反變換的數(shù)學方法在已知象函數(shù)F(s),求f(t)時，對于簡單的象函數(shù)，可直接利用表2-1來查, 但對于復雜的，可利用部分分式展開法，即通過代數(shù)運算將一個復雜的象函數(shù)化 為數(shù)個簡單的部分分式之和，再求出各個分式的原函數(shù)，從而求出總的原函數(shù)。部分分式展開法：對于象函數(shù)F(s),常可寫成如下形式:bmsm J廠 III b。a“snan sn 4 Iaok(s -Zi)(s-Z2)|l|(s-Zm)(S-Pi)(s-P2)|l|(s-Pn)式中，p1,p2,pn稱為F(s)的極點，p1,p2,pn稱為F(s)的零點。

12、一般A(s)的階次大于B(s)，若B(s)>A(s),可化為多項式+真分式的形式。 下面分兩種情況，研究分式展開法。1、F(s)無重極點的情況此時，F(xiàn)(s)總能展開成下面的部分分式之和:B(s)A(s)kis-Pi其中，分子為待定系數(shù)弋，pi)S*iB(Pi)A'(pJ例：求F(s)的拉氏變換解一：J 3s 2° 1)s"2F(s)=s3 吩生k2s 3s2 3s 2(s 2) sf(t)二 2e£所以 k= 2A'( -1)k2B(-2)A'( -2)F(s)二f(t)二 2e-etF(s"sT 十jk2s 1 - 2j解

13、二：A'(s) = 2s 3A'(T)=1A'( _2)=B(T)=2B(-2)=12s + 12k-s2-2(s 1 2j)s=ik2 -5j若pi,p 2為共軛復數(shù)，相應的系數(shù)ki ，k2也是共軛復數(shù)，故只需求出一個即可。訃4s+i+2j s + i_2jf(t)=(i 5陽5(1一5陽5=e -(i 2j)t 5 -e_(i 2j)t . e-(i2)t _ 5 e-(i/j)t _ 2j 2=2e ' cos2t -5eJsin 2t2、F(s)有重極點的情況B(s)設F(s)有r個重極點pi,其余極點均不相同，則F(s)二 Bs)二A(s)an(s-p

14、i)r(s-py)(s-Pn)k11丄k12 _ 4ii 丄kir 丄kr*r Jkii= F(s)(s-pJs=Pik12F(s)(s-pi)rdskl3i d2r2【F(s)(s-pi) 2! dsk1r(r-i)!dsF(s)(s-Pi)rs=Pi例：求F(s)二S2 2s 3的拉氏反變換2F(s)二s 2s 3a“.ai2ai3(s 1)3(s 1)3(s 1)2(s 1)2s +2s+33aii 3 (s 1)11 (S 1)32d rs +2s + 3/ 丄八3cai23 (S 1) s_1 = 0ds (s+1)2 21 d _s +2s + 3/ 丄心.a32 3(s1)S1=

15、113 2!ds2(s 1)3S*所以：f (t)二 L，- p t2ee，二(t21)e(s+1)3 s + 12-2 系統(tǒng)的數(shù)學模型一、概述為了分析、研究系統(tǒng)的動態(tài)特性，一般情況下，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學模型。1、數(shù)學模型的概念我們把描述系統(tǒng)或元件的動態(tài)特性的數(shù)學表達式叫做系統(tǒng)或元件的數(shù)學模型。深入了解元件及系統(tǒng)的動態(tài)特性，準確建立它們的數(shù)學模型-稱建模，只有得到 較為準確的數(shù)學建模，才能設計出性能良好的控制系統(tǒng)。動態(tài)特性控制系統(tǒng)所采用的元件種類繁多，雖然各自服從的規(guī)律，但它們有一共同點：即任何系統(tǒng)或元件總有物質或能量流入，同時又有某些物質或能量流 出，系統(tǒng)通常又是有貯存物質或能量的能力，貯

16、存量的多少用狀態(tài)變量來表示。狀態(tài)變量是反應系統(tǒng)流入量或流出量之間平衡的物理量，由于外部供給系統(tǒng)的物質或能量的速率是有限的，不可能是無窮大，因此，系統(tǒng)的狀態(tài)變量有一個狀態(tài) 變到另一個狀態(tài)不可能瞬間完成，而要經過一段時間。這樣，狀態(tài)變量的變化就 有一個過程，這就是動態(tài)過程。例如，電路中電容上的電壓是一個狀態(tài)變量，它 由一個值變到另一個值不可能瞬間完成。具有一定慣量的物體的轉速是一個狀態(tài) 變量，轉速的變化也是一個過渡過程，具有一定質量的物體的溫度是一個狀態(tài)變 量，它由溫度T0變到T,同樣有一個動態(tài)過程；又如容器中液位也是一個狀態(tài) 變量，液位的變化也要一定的時間。建立控制系統(tǒng)數(shù)學模型的方法有分析法-對

17、系統(tǒng)各部分的運動機理進行分析， 依據(jù)系統(tǒng)本身所遵循的有關定律列寫數(shù)學表達式，并在列寫過程中進行必要的簡化。 建立系統(tǒng)數(shù)學模型的幾個步驟：?建立物理模型。?列寫原始方程。利用適當?shù)奈锢矶梢蝗缗ｎD定律、基爾霍夫電流和電壓 定律、能量守恒定律等)?選定系統(tǒng)的輸入量、輸出量及狀態(tài)變量(僅在建立狀態(tài)模型時要求)，消 去中間變量，建立適當?shù)妮斎胼敵瞿Ｐ突驙顟B(tài)空間模型。1) 實驗法-是根據(jù)系統(tǒng)對某些典型輸入信號的響應或其它實驗數(shù)據(jù)建立數(shù)學模 型。即人為施加某種測試信號，記錄基本輸出響應。這種用實驗數(shù)據(jù)建立數(shù)學模 型的方法也稱為系統(tǒng)辯識。輸入(已知) 輸出(已知)»黑匣子數(shù)學模型的逼近1、線性系統(tǒng)

18、和非線性系統(tǒng)1) 線性系統(tǒng)可以用線性微分方程描述的系統(tǒng)。如果方程的系數(shù)為常數(shù)，則為線性定常系統(tǒng)；例：aX(t) bX(t) cx(t)二 dy(t)，其中,a,b,c,d 均為常數(shù)。如果方程的系數(shù)是時間t的函數(shù)，則為線性時變系統(tǒng)；a(t)X(t) b(t)X(t) c(t)x(t)二 d(t)y(t)線性系統(tǒng)線性是指系統(tǒng)滿足疊加原理，即：系統(tǒng)在幾個外力作用下所產生的響應 等于各個外加作用單獨作用時的響應之和?？杉有裕篺 (XX2) (xj f(X2)齊次性：f(ax)二 af(x)或f (axi bx2)=af(xi) bfg)2) 非線性系統(tǒng)用非線性微分方程描述的系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)不滿足疊加原

19、理。例：y(t) =x2(t)就是非線性系統(tǒng)。實際的系統(tǒng)通常都是非線性的，線性只在一定的工作范圍內成立。即在實際系統(tǒng)中，變量之間不同程度地包含有非線性關系，如：間隙、飽合、死區(qū)、干磨擦特性等。非線性系統(tǒng)為分析方便，通常在合理的條件下，可進行如下外理： 線性化忽略非線性因素用非線性系統(tǒng)的分析方法來處理。3) 線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的判別 設某系統(tǒng)的微分方程如下：anX°(n)(t) anXo(2)(t)III a°Xo(t) =bmXi(m) (t)b°Xi(t) 若方程的系數(shù)a,bj都既不是Xo(t)和Xi(t)及它們的導數(shù)的函數(shù)，又不是時間的函 數(shù)，則此方程是線性

20、定常的，此系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)。 若a,bj是時間的函數(shù)，則該方程是線性時變的，此系統(tǒng)稱為線性時變系統(tǒng)。 若a,bj中只要有一個系數(shù)依賴于Xo(t)和X (t)或它們的導數(shù)，或者在微分方程中 出現(xiàn)t r其它函數(shù)形式，該方程為非線性的。例：y a(t)y a2(t)y = u X°(t)2X°(t) 4x°(t) = Xi(t) 線定常Xo(t)Xo(t)Xo(t) X02(t) =Xi(t)非線性判斷下列微分方程表達的系統(tǒng)是線性系統(tǒng)還是非線性系統(tǒng)？a: y 3y 4y = u (線定常)b: 3yi yy 2y 二 5u2 (非線性)c： yi a,t)y a2(t

21、)y = u (線時變)式中：u:輸入信號y:輸出信號a i(t):時變系統(tǒng)3、本課程涉及的數(shù)學模型形式時間域：微分方程(一階微分方程組)、差分方程、狀態(tài)方程復數(shù)域：傳遞函數(shù)、結構圖頻率域：頻率特性二、系統(tǒng)微分方程的建立1、建立微分方程的一般步驟1）分析系統(tǒng)工作原理和信號傳遞變換的過程，確定系統(tǒng)和各元件的輸入、輸出 量；2）從輸入端開始，按照信號傳遞變換過程，依據(jù)各變量遵循的物理學定律，依 次列寫出各元件、部件的動態(tài)微分方程；3）消去中間變量，得到描述元件或系統(tǒng)輸入、輸出變量之間關系的微分方程；4）標準化：右端輸入，左端輸出，導數(shù)降幕排2、機械系統(tǒng)微分方程的列寫機械系統(tǒng)中部件的運動有直線和轉動

22、兩種。機械系統(tǒng)中以各種形式出現(xiàn)的物 理現(xiàn)象，都可簡化為質量、彈簧和阻尼三個要素。列寫其微分方程通常用 達朗貝爾原理。即：作用于每一個質點上的合力，同質點慣性力形成平衡力系。用公式表示：-口他 ' fj（t） = 0/彈簧hQ）=k 可（0-x2（/）=急詢*叫6T1o»MfcMcfdC = clvi(O -h(0 = 6 =嗎(0 加0) dt dt )=c dxt)dt1）直線運動（機械平移系統(tǒng)）0fMM)K靜止（平衡）匚作點作為 零點，以消階重力的影響5555W5555機械平移系統(tǒng)及其力學模型/£（0 a）Y舟atd2dt2式中，m C K通常均為常數(shù)，故機械平

23、移系統(tǒng)可以由二階常系數(shù)微分方程描述。 顯然，微分方程的系數(shù)取決于系統(tǒng)的結構參數(shù)，而階次等于系統(tǒng)中獨立儲能元件（慣性質量、彈簧）的數(shù)量。2）轉動系統(tǒng)丿一旋轉體轉動慣量；KTH轉剛度系數(shù);C-tt性阻尼系數(shù)atj2I喬 e© (?) = TK(t)-Tc (t)各吶+ C 馳 +g （0二“atat3、電網絡系統(tǒng)電網絡系統(tǒng)分析主要根據(jù)基爾霍夫電流定律和電壓定律寫出微分方程式，進而建 立系統(tǒng)的數(shù)學模型。1）基爾霍夫電流定律：匯聚到某節(jié)點的所有電流之代數(shù)和應等于 0 （即流出節(jié)點的電流之和等于所有流進節(jié)點的電流之和）。i（t） =0A2）爾霍夫電壓定律電網絡的閉合回路中電勢的代數(shù)和等于沿回路

24、的電壓降的代數(shù)和。電網絡系統(tǒng)中三人基本原件是：電阻、電感、電容電阻：電容:礙）!£(/) 電感：雄)_ LQ(* «(0 *F 、- di(t)z/(O=i dt例：LR氣=用（）+ "務（°十右J小結叫(0+RC 忑 (0+4(f) = (0物理本質不同的系統(tǒng)，可以有相同的數(shù)學模型，從而可以拋開系統(tǒng)的物理屬 性，用同一方法進行具有普遍意義的分析研究（信息方法）從動態(tài)性能看，在相同形式的輸入作用下，數(shù)學模型相同而物理本質不同的 系統(tǒng)其輸出響應相似。相似系統(tǒng)是控制理論中進行實驗模擬的基礎；通常情況下，元件或系統(tǒng)微分方程的階次等于元件或系統(tǒng)中所包含的獨立儲能

25、元（慣性質量、彈性要素、電感、電容、液感、液容等）的個數(shù)；因為系統(tǒng)每 增加一個獨立儲能元，其內部就多一層能量（信息）的交換。系統(tǒng)的動態(tài)特性是系統(tǒng)的固有特性，僅取決于系統(tǒng)的結構及其參數(shù)。三、傳遞函數(shù)微分方程建立后，就可對其求解，得出輸出量的運動規(guī)律，從而對系統(tǒng)進行 分析與研究。但微分方程求解繁瑣，且從其本身很難分析系統(tǒng)的動態(tài)特性，但若 對微分方程進行拉氏變換，即得到代數(shù)方程，使求解簡化，又便于分析研究系統(tǒng) 的動態(tài)特性，更直觀地表示出系統(tǒng)中各變量間的相互關系。傳遞函數(shù)就是在用拉氏變換求解線性常微分方程的過程中引申出來的概念。1、傳遞函數(shù)的基本定義：線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，定義為零初始條件下，系統(tǒng)輸

26、出量的拉氏變換與輸入 量的拉氏變換之比。零初始條件：t<0時，輸入量及其各階導數(shù)均為0；輸入量施加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)，即t<0時，輸出量及其各階導數(shù)也均為0；傳遞函數(shù)的一般形式：設線性定常系統(tǒng)由下述n階線性常微分方程描述：an譽員活川a°y(t) f訃bm“映)dtdtdtdt式中，n-m,當初始條件全為零時，對上式進行拉氏變換可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式：G(s) = 丫 _ bmSm +bmsm'+| + b。S X(s)anSn - an jsn Ja。此式表示了輸入到輸出之間信息的傳遞關系，稱 G(s)為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 傳遞函數(shù)的主要特點有

27、：a:傳遞函數(shù)是復變量s的有理真分式函數(shù)，me n,且所具有復變量函數(shù)的所有性 質。b: G(s)取決于系統(tǒng)或元件的結構和參數(shù)，與輸入量的形式(幅度與大小)無關。 C： G(s)雖然描述了輸出與輸入之間的關系，但它不提供任何該系統(tǒng)的物理結構。 因為許多不同的物理系統(tǒng)具有完全相同的傳遞函數(shù)。d:傳遞函數(shù)的量綱是根據(jù)輸入量和輸出量來決定，可有可無。e:如果G(s)已知，那么可以研究系統(tǒng)在各種輸入信號作用下的輸出響應。f：如果系統(tǒng)的G(s)未知，可以給系統(tǒng)加上已知的輸入，研究其輸出，從而得出傳 遞函數(shù)，一旦建立G(s)可以給出該系統(tǒng)動態(tài)特性的完整描述，與其它物理描述不 同。傳遞函數(shù)的幾點說明探傳遞函

28、數(shù)是一種以系統(tǒng)參數(shù)表示的線性定常系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關 系式；傳遞函數(shù)的概念通常只適用于線性定常系統(tǒng)；探 傳遞函數(shù)是s的復變函數(shù)。傳遞函數(shù)中的各項系數(shù)和相應微分方程中的各項 系數(shù)對應相等，完全取決于系統(tǒng)結構參數(shù)；探傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，即在零時刻之前，系統(tǒng)對所給定的平衡 工作點處于相對靜止狀態(tài)。因此，傳遞函數(shù)原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件 下的全部運動規(guī)律；探傳遞函數(shù)只能表示系統(tǒng)輸入與輸出的關系，無法描述系統(tǒng)內部中間變量的變 化情況。探一個傳遞函數(shù)只能表示一個輸入對一個輸出的關系，只適合于單輸入單輸出 系統(tǒng)的描述。2、傳遞函數(shù)的零點和極點G(s)二Y(s) _ k(s -Zi)

29、(s-Z2)(s_Zm)X(s) (s-pi)(s-p2)(s-Pn)Pi稱為G(s)的極點，乙稱為G(s)的零點。3、典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)環(huán)節(jié)：具有某種確定信息傳遞關系的元件、元件組或元件的一部分稱為一個環(huán)節(jié)經常遇到的環(huán)節(jié)稱為典型環(huán)節(jié)。任何復雜系統(tǒng)可看做由一些基本的環(huán)節(jié)組成，控制系統(tǒng)中常用的典型環(huán)節(jié)有：比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)和延遲環(huán)節(jié)等。1、比例環(huán)節(jié)(放大環(huán)節(jié))：輸出量不失真、無慣性地跟隨輸入量，兩者成比例關系。其運動方程為：Xo(t)=Kxi(t)拉氏變換為：Xo(s)=KXi(s)Xo(t)、Xi(t)分別為環(huán)節(jié)的輸出和輸入量；K比例環(huán)節(jié)的增益或放大環(huán)節(jié)的放大系數(shù)

30、，等于輸出量與輸入量之比。比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 ：G(s)二Xo(s)Xi(s)齒輪傳動副G(s)二No(s)Ni(s)Z2例：求圖示一齒輪傳動副的傳遞函數(shù),分別為輸入軸及輸出軸轉速，Zi和乙為齒輪齒數(shù),(當齒輪副無傳動間隙，且傳動系統(tǒng)剛性無窮大時，為理想狀態(tài)).因為：Zini(t)二 Z2n°(t)其拉換變換：ZiNi(s) =Z2N°(s)2、慣性環(huán)節(jié)(非周期環(huán)節(jié))凡運動方程為一階微分方程：畔以）f 心dr形式的環(huán)節(jié)稱為慣性環(huán)節(jié).其傳遞函數(shù)為*K75+1式中K環(huán)節(jié)增益（放大系數(shù)）；T時間常數(shù)，表征環(huán)節(jié)的慣性，和 環(huán)節(jié)結構參數(shù)有關如：彈贊-阻尼器環(huán)節(jié)琲） 必紂i7宀SKC

31、彈簧阻尼器組成的環(huán)節(jié)O警2十陸（衛(wèi)） at昭厶亠仝Cs + k Ts + VK此環(huán)節(jié)與比例環(huán)節(jié)相比，不能立即復現(xiàn)輸出，而需要一定的時間。說此環(huán)節(jié)具 有“慣性”，這是因為其中含有儲能元件K與阻能元件C的原因。慣性大小由T來決3、微分環(huán)節(jié)輸岀量疋比丁輸入量的微分口運動方程為匕兀二丁空彈at傳遞函數(shù)為：G)=去今=rs兀G)式中，一微分環(huán)節(jié)的時間常數(shù)在物理系統(tǒng)中微分環(huán)節(jié)不獨立存在，而是和其 它環(huán)節(jié)一起出現(xiàn)。這是因為當輸入量為階躍函數(shù)時，輸出在理論上將是一個幅值為無窮大而時間寬度為0的脈沖。這實際上是不可能的。因此微分環(huán)節(jié)必須與其它環(huán)節(jié)同時存在。例：圖示為一電網絡系統(tǒng)：C無源微分網絡箱 0)=右&qu

32、ot;(0 成+ K0R 必)噸)丘G二竺L二互.T = RC無源微分網絡' RCs + 7k + l顯然p無源微分網絡包括有慣性環(huán)節(jié)和微分環(huán) 節(jié).稱之為慣性微分環(huán)節(jié)只有當|闔時， 才近似為微分環(huán)節(jié)。4、積分環(huán)節(jié)輸出量正比于輸入量對時間的積分。 運動方程為：心(f) = *J：曲(“dr 傳遞函數(shù)為；鐸 式中T一積分環(huán)節(jié)的時間常數(shù)口例：圖示為一電網絡系統(tǒng)，其中i為輸入，u為輸出，則u =1 idtc1U(s) l(s)csG(s)=丄cs5、振蕩環(huán)節(jié)是二階環(huán)節(jié)，含有兩個獨立的儲能元件，且所存儲的能量能夠相互轉換，從 而導致輸出帶有振蕩的性質，其運動方程為：尸4入+入=(0, 0<

33、<1atat傳遞函數(shù):式中，振蕩環(huán)節(jié)的時間常數(shù)阻尼比，對于振蕩環(huán)節(jié)，0<<1K比例系數(shù)振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的另一常用標準形式為(=1) t磯稱為無阻尼同有頻率。1朋如質量彈簧阻尼系統(tǒng)J斟-yr %a）+cvxB（r）+心二。=拆 o） atat傳遞函數(shù)匸G0- m初F + G + K 7V + 27j + 1 式中，丁=聽4 當C<24mk時，為振蕩環(huán)節(jié).6、延遲環(huán)節(jié)（也稱傳輸滯后環(huán)節(jié)）：運動方程卡總（0二舌。-叮 傳遇函數(shù)；G（5）= efJ 式中，匸為純延遲時間其輸出滯后輸入時間T,但不失真地反映輸入，延遲環(huán)節(jié)一般與 其它環(huán)節(jié)共存，不單獨存在。延遲環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的區(qū)別：

34、探 慣性環(huán)節(jié)從輸入開始時刻起就已有輸出，僅由于慣性，輸出要滯后一段時間才接近所要求的輸出值；探 延遲環(huán)節(jié)從輸入開始之初，在0 T時間內，沒有輸出，但t= T之后，輸出完全等于輸入。例：圖示帶鋼軋制過程軋制鋼板厚度測量化二也(一)r = L/vHo(s) =esHi(s)G(s) =e-sHi(s)四、方框圖及動態(tài)系統(tǒng)的構成1、方框圖系統(tǒng)方框圖是系統(tǒng)數(shù)學模型的圖解形式?？梢孕蜗笾庇^地描述系統(tǒng)中各元件 間的相互關系及其功能以及信號在系統(tǒng)中的傳遞、變換過程。注意：即使描述系統(tǒng)的數(shù)學關系式相同，其方框圖也不一定相同。1) 方框圖的結構要素探信號線帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的傳遞方向，直線旁標記信號的

35、時間函數(shù)或 象函數(shù)。信號線探信號引出點(線)表示信號引出或測量的位置和傳遞方向。同一信號線上引出的信號，其性質、大小完全一樣nzp盹）砍）引出線探函數(shù)方框（環(huán)節(jié)）召荻* G（s） 函數(shù)方框方框代表一個環(huán)節(jié)，箭頭代表輸入輸出。函數(shù)方框具有運算功能，即：X2（s）=G（s）Xi（s）探求和點（比較點、綜合點）信號之間代數(shù)加減運算的圖解。用符號及相應的信號箭頭表示，每個箭頭前方的“ +或 表示加上此信號或減去此信號。相鄰求和點可以互換、合并、分解，即滿足代數(shù)運算的交換律、結合律和分配律。注意：求和點可以有多個輸入，但輸出是唯一的。任何系統(tǒng)都可以由信號線、函數(shù)方框、信號引出點及求和點組成的方框圖來表示

36、。函數(shù)方框 函數(shù)方框方框圖示例2）用方框圖表示系統(tǒng)的優(yōu)點：探只要依據(jù)信號的流向，將各環(huán)節(jié)的方框連接起來，就很容易地組成整個系統(tǒng)的 方框圖。簡便，直觀探通過系統(tǒng)框圖，可揭示和評價每一個環(huán)節(jié)對系統(tǒng)的影響。2、動態(tài)系統(tǒng)的構成系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)之間的聯(lián)接主要有以下三種：1）串聯(lián)聯(lián)接各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)一個個順序聯(lián)接起來稱為串聯(lián)。特點：前一環(huán)節(jié)的輸出量就是后一環(huán)節(jié)的輸入量。(a)U1(s)二 G(s)R(s)U2(s) ggus) =G2(s)G(s)R(s)C(s) g(s)U2(s) =G3(s)G2(s)G(s)R(s)C(s)Gi(s)G2(s)G3(s) =G(s)R(s)結論：串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)等

37、于所有傳遞函數(shù)的乘積。nG(s)Gi(s)式中，n為相串聯(lián)的環(huán)節(jié)數(shù)。負載效應：若一元件的輸出受到其后一元件存在的影響時，這種影響稱為負載效應。2)并聯(lián)聯(lián)接凡是幾個環(huán)節(jié)的輸入相同，輸出相加減的聯(lián)接方式，就稱為并聯(lián)聯(lián)接。其特點是各環(huán)節(jié)的輸入信號是相同的，均為 R(s)，輸出C(s)為各環(huán)節(jié)的輸出之和(a)C(s) =G(s) C2(s) C3(s)9(s)R(s) G2(s)R(s) G3(s)R(s)二Gi(s) G2(s) G3(s)R(s)少 二Gi(s) G2(s) G3(s)二G(s)R(s)結論：并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)等于所有并聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。即:nG(s)=»Gi(

38、s)，式中，n為相并聯(lián)的環(huán)節(jié)數(shù)，當然還有“-”的情況,i #2) 反饋聯(lián)接* 0(5)砸1 HG)卜“) = G(沁) E = Xr(s)TB(s) 月二HG)九©(&) =X虻X約1 + G® 砂)其中，E(s)誤差信號B(s)反饋信號兀兀©)G(Cl±G(5)/f(J):：J(s)稱為閉環(huán)傳遞函數(shù)，相應的，將反饋信號與誤差信號之比稱為開環(huán)傳遞函數(shù)T器切3) 干擾作用下的閉環(huán)系統(tǒng)N(s)R(s)打開反饋圖示為干擾作用下的閉環(huán)系統(tǒng)。當輸入量和干擾量同時作用于線性系統(tǒng)時, 可對每個量分別進行處理。然后將輸出量疊加得到總輸出量。干擾作用下：C(s)G

39、2G)N(s) 1 G,(s)G2(s)H(s)輸入作用下：C(s)Gds)G2(s)R(s) 一 1 Gds)G2(s)H(s)C(s) =Cn(s) Cr (s)G2(s)1 Gi(s)G2(s)H(s)N(s)G!(s)R(s)幾個基本概念：(1)前向通路傳遞函數(shù) 假設N(s)=O打開反饋后，輸出C(s)與R(s)之比。在圖中等價于C(s)與誤差E(s)之比。C(s)G!(s)G2(srG(s)E(s)B(s)C(s)二 H(s) 反饋回路傳遞函數(shù) Feedforward Transfer Function假設N(s)=0 主反饋信號B(s)與輸出信號C(s)之比。 開環(huán)傳遞函數(shù) Ope

40、n-loop Transfer Function 假設 N(s)=0 主反饋信號B(s)與誤差信號E(s)之比。職 P(s)G2(s)H(s)二G(s)H(s)E(s) 閉環(huán)傳遞函數(shù) Closed-loop Transfer Function 假設 N(s)=0 輸出信號C(s)與輸入信號R(s)之比。C(s)G(s)G2(s)G(s)R(s) 1 H(s)G(s) 1 H(s)G(s)推導：因為 C(s) = E(s)G(s)= R(s) -C(s)H (s)G(s)右邊移過來整理得C©乞-R(s) 1 + H(s)G(s)曲C(s)G(s)前向通路傳遞函數(shù)即R(s) 1 - H

41、(s)G(s)1 開環(huán)傳遞函數(shù)(5)誤差傳遞函數(shù) 假設N(s)=0誤差信號E(s)與輸入信號R(s)之比。將C(s)=E(s)G(s )代入上式，消去G(s)即得:E(s)11R(s) " 1 - H(s)G(s) 一1 開環(huán)傳遞函數(shù)由上圖可得：Mn(s)=cN(s) 1 G(s)H (s) 誤差對擾動的傳遞函數(shù)假設R(s)=ON(s)- 04 G2(s) I H(s) |7 t* E(s)+ f _Gi(s)誤差對擾動的結構圖 由上圖可得：M NE(S)E(s)N(s)-G2(s)H(s)1 G(s)H(s)線性系統(tǒng)滿足疊加原理，當控制輸入R(s)與擾動N(s)同時作用于系統(tǒng)時，系

42、統(tǒng)的輸出及誤差可表示為：C(s)R(s)N(s)1 +G(s)H(s)1 + G(s)H(s)1G2(s)H(s)E(s)R(s) 2N(s)1 +G(s)H (s)1 +G(s)H (s)注意：由于N(s)極性的隨機性，因而在求E(s)時，不能認為利用N(s)產生的誤差 可抵消R(s)產生的誤差。3、方框圖的簡化法則為了研究方便，常對方框圖作一些變換，使方框圖簡化。在簡化過程中，應遵守兩條基本原則：探前向通道的傳遞函數(shù)保持不變探 各反饋回路的傳遞函數(shù)保持不變"求和點的移動亠 G(s)求和點右蔣/引出點的移動求和點前移* G（5）4 <xs)1d<xs>|引出點前移

43、引出點后移由方框圖求系統(tǒng)傳遞函數(shù)的基本思路是：禾|用等效變換法則，移動求和點和 引出點，消去交叉回路，變換成可以運算的簡單回路。例：求下列所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)-+H:(s)G3(S)* %)心）Hi(s) *2消去H?（£）G血）反饋回路*)* G/s) *_ + H/s) *H5(s) *3.消去聞反饋回路兀何G3(s> i心）1-q（jt）g2說+$ GOG巧 紙消去殆反饋回路1-qX%&網十宋殆坯十qgg®網則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為:Xo(s) Gds)G2(s)G3(s)Xj(s)1 -Gi(s)G2(s)Hi(s) G2(s)G3(s)H2(s) Gi(s)G2(s)G3(s)H 3(s)五、信號流圖及梅遜公式方塊圖是一種很有用的圖示法。對于復雜的控制系統(tǒng)，方塊圖的簡化過程仍 較復雜，且易出錯。Mason提出的信號流圖，既能表示系統(tǒng)的特點，而且還能直接 應用梅遜公式方便的寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。因此，信號流圖在控制工程中也被廣 泛地應用。1、信號流圖及其術語 信號流圖起源于梅遜（S. J. MASON）利用圖示法來描述一個和一組線性代數(shù)方程, 是由節(jié)點和支路組成的一種信號傳遞網絡。探節(jié)點表示變量或信號，其值等于所有進入該節(jié)點的信號之和。節(jié)點用0 ”表示。探支路連接兩個節(jié)點的定向線段，用 支路增益（傳遞函數(shù)）