1、華長(zhǎng)生制作1120001)2)12(2)1(21)(kjkkabjafabkTkTnkknknxfCabI0)()()()()(2)0(0bfafabTbadxxfA)(, 3 ,2 , 1k中南大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)與計(jì)算技術(shù)學(xué)院陳海波第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微分華長(zhǎng)生制作2120001)2)12(2)1(21)(kjkkabjafabkTkTnkknknxfCabI0)()()()()(2)0(0bfafabTbadxxfA)(, 3 ,2 , 1k第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微分 3.1 Newton-Cotes公式公式 3.2 復(fù)合求積法復(fù)合求積法 3.3 Romberg算法算法 3.4* Gauss求

2、積法求積法 3.5 數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分華長(zhǎng)生制作3本章要點(diǎn)公式：近似值的幾個(gè)基本求積計(jì)算定積分從而導(dǎo)出代替被積函數(shù)本章將用插值多項(xiàng)式badxxfxfxP)(),()(1) 等距節(jié)點(diǎn)下的:Newton-Cotes公式和Romberg公式(2) 數(shù)值微分公式本章作業(yè)1(2), 2(3), 5, 8, 10, 11(2), 14, 16P170.華長(zhǎng)生制作4本章應(yīng)用題:為了計(jì)算瑞士國(guó)土的面積,首先對(duì)地圖作了如下測(cè)量:以西向東方向?yàn)閤軸,由南向北方向?yàn)閥軸,選擇方便的原點(diǎn),并將從最西邊界到最東邊界在x軸上的區(qū)間適當(dāng)?shù)貏澐譃槿舾啥?在每個(gè)分點(diǎn)的y方向測(cè)出南邊界點(diǎn)和北邊界點(diǎn)的y坐標(biāo),數(shù)據(jù)如表(單位mm):x

3、 7.0 10.5 13.0 17.5 34.0 40.5 44.5 48.0 56.0 y1 44 45 47 50 50 38 30 30 34y2 44 59 70 72 93 100 110 110 110 x 61.0 68.5 76.5 80.5 91.0 96.0 101.0 104.0 106.5y1 36 34 41 45 46 43 37 33 28y2 117 118 116 118 118 121 124 121 121x 111.5 118.0 123.5 136.5 142.0 146.0 150.0 157.0 158.0y1 32 65 55 54 52 50

4、66 66 68y2 121 122 116 83 81 82 86 85 68華長(zhǎng)生制作502040608010012014016020406080100120140瑞士地圖的外形如圖(比例尺18mm:40km)試由測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算瑞士國(guó)土的近似面積,并與其精確值41288平方公里比較華長(zhǎng)生制作6 3.1 Newton-Cotes公式公式badxxffI)()(對(duì)于積分公式有則由的原函數(shù)如果知道LeibnizNewtonxFxf),()(badxxf)()()()(aFbFxFba但是在工程技術(shù)和科學(xué)研究中,常會(huì)見到以下現(xiàn)象:的一些數(shù)值只給出了的解析式根本不存在)(,)()1(xfxf不是初等函

5、數(shù)如求不出來的原函數(shù))(,)()()2(xFxFxf求原函數(shù)較困難的表達(dá)式結(jié)構(gòu)復(fù)雜,)()3(xf華長(zhǎng)生制作7以上這些現(xiàn)象,Newton-Leibniz很難發(fā)揮作用只能建立積分的近似計(jì)算方法這類方法很多,但為方便起見,最常用的一種方法是利用插值多項(xiàng)式來構(gòu)造數(shù)值求積公式,具體步驟如下:上取一組節(jié)點(diǎn)在積分區(qū)間,babxxxan10次插值多項(xiàng)式的作nxf)(nkkknxlxfxL0)()()(為插值基函數(shù)), 1 , 0)(nkxlk不同的插值方法有不同的基函數(shù)華長(zhǎng)生制作8有的近似作為被積函數(shù)用,)()(xfxLnbadxxf)(bandxxL)( bankkkdxxlxf0)()(nkbakkdx

6、xlxf0)()(則，若計(jì)bakkdxxlA)(badxxffI)()(nkkkxfA0)(這就是數(shù)值求積公式稱為求積系數(shù)其中kA為了使一個(gè)求積公式能對(duì)更多的積分具有較好的實(shí)際計(jì)算意義,就要求它對(duì)盡可能多的被積函數(shù)都準(zhǔn)確地成立)( fIn華長(zhǎng)生制作9因此定義代數(shù)精度的概念:定義1. 若求積公式 badxxf)(nkkkxfA0)(即都準(zhǔn)確成立次的代數(shù)多項(xiàng)式對(duì)任意次數(shù)不超過,)(mixPmi即只要立次多項(xiàng)式卻不能準(zhǔn)確成但對(duì),1mbaidxxP)(nkkikxPA0)(mi, 1 , 0bamdxx1nkmkkxA01則稱該求積公式具有m次的代數(shù)精度代數(shù)精度也稱代數(shù)精確度華長(zhǎng)生制作10例1. 試確

7、定下面積分公式中的參數(shù)使其代數(shù)精確度盡量高.220)()0()()0(2)(IhffahhffhdxxfIhhdxxI00解:222hI 202232hahhI0)(xxf對(duì)于hI 2hhdxxI011)(xxf對(duì)于22hhdxxI022)(xxf對(duì)于33h3)221(ha2II 令121a華長(zhǎng)生制作113022242hahhIhdxxI033)(xxf對(duì)于44h44h4023252hahhIhdxxI044)(xxf對(duì)于55h65h3 ,2 , 1 , 0)()(2jxIxIjj)()(424xIxI因此所以該積分公式具有3次代數(shù)精確度 華長(zhǎng)生制作12一、Newton-Cotes數(shù)值求積公式

8、Newton-Cotes公式是指等距節(jié)點(diǎn)下使用Lagrange插值多項(xiàng)式建立的數(shù)值求積公式,)(baCxf設(shè)函數(shù)為插值多項(xiàng)式及余項(xiàng)分別的Lagrangexf)(等份分割為將積分區(qū)間nba,nkkhaxk, 1 ,0,為步長(zhǎng)其中nabh各節(jié)點(diǎn)為華長(zhǎng)生制作13nkkknxlxfxL0)()()()()!1()()(1)1(xnfxRnnn,baniinxxx01)()(其中kjnjjkjkxxxxxl0)(而)()()(xRxLxfnn因此對(duì)于定積分badxxffI)()(banndxxRxL)()(有badxxffI)()(華長(zhǎng)生制作14 bankkkdxxlxf0)()(bandxxR)(nk

9、kkxfA0)(bandxxR)(令nkkknxfAfI0)()(banndxxRIR)()(badxxfI)()()()(nnIRfIfI即有bakkdxxlA)(其中dxxxxxbakjnjjkj 0n階Newton-Cotes求積公式Newton-Cotes公式的余項(xiàng)(誤差)()(fIfIn華長(zhǎng)生制作15bakkdxxlA)(dxxxxxbakjnjjkj 0:的計(jì)算kA注意是等距節(jié)點(diǎn)thax假設(shè),bax由, 0nt可知kAdxxxxxbakjnjjkj 0dthhjkhjtnkjnj 00)()(dtjtknkhnkjnjkn 00)()!( !)1(華長(zhǎng)生制作16dtjtknknab

10、nkjnjkn 00)()!( !)1()()()(nkkCabAnkkknxfAfI0)()(nkknkxfCab0)()()(所以Newton-Cotes公式化為系數(shù)稱為CotesCnk)(思考使用n次Lagrange插值多項(xiàng)式的Newton-Cotes公式至少具有n次代數(shù)精度,并且n為偶數(shù)時(shí)至少具有n+1次代數(shù)精度,試以n=1,2,4為例說明該結(jié)果華長(zhǎng)生制作17二、低階Newton-Cotes公式及其余項(xiàng)在Newton-Cotes公式中,n=1,2,4時(shí)的公式是最常用也最重要三個(gè)公式,稱為低階公式1.梯形(trapezia)公式及其余項(xiàng)abhbxaxn, 110則取dtt10)1()1(

11、0CCotes系數(shù)為21dtt10)1(1C21求積公式為華長(zhǎng)生制作18)(1fI10)1()()(kkkxfCab)()(210 xfxfab)()(2bfafab)(1fI即上式稱為梯形求積公式,也稱兩點(diǎn)公式，記為-0.500.511.500.511.522.533.544.5)()(2)(bfafab)(1fIT 梯形公式的余項(xiàng)為)()(1IRTRbadxxR)(1華長(zhǎng)生制作19dxbxaxfTRba )(2)()(dxbxaxfba )(2)(,ba第二積分中值定理6)(2)(3abf )()!1()()(1)1(xnfxRnnn)(12)(3fab 2312)(|)(|MabTR|)

12、(|max,2xfMbax 梯形(trapezia)公式具有1次代數(shù)精度故華長(zhǎng)生制作202.Simpson公式及其余項(xiàng)2,2,2210abhbxabxaxn則取Cotes系數(shù)為dtttC20)2(0)2)(1(4161dtttC20)2(1)2(2164dtttC20)2(2)1(4161求積公式為2I20)2()()(kkkxfCab華長(zhǎng)生制作21)(61)(64)(61)(210 xfxfxfab)()2(4)(6bfbafafab)(2fI-0.500.511.500.511.522.533.544.5上式稱為Simpson求積公式，也稱三點(diǎn)公式或拋物線公式記為)(2fIS Simpso

13、n公式的余項(xiàng)為)()(2IRSRbadxxR)(2)()2(180)4(4fababSimpson公式具有3次代數(shù)精度華長(zhǎng)生制作223.Cotes公式及其余項(xiàng)4,4 , 1 , 0, 4abhkkhaxnk則取Cotes系數(shù)為dtttttC)4)(3( )2)(1(! 44140)4(0907dtttttC)4)(3( )2(! 34140)4(19032dtttttC)4)(3( )1(! 2! 24140)4(29012dtttttC)4)(2( )1(! 34140)4(39032dtttttC)3)(2( )1(! 44140)4(4907華長(zhǎng)生制作23求積公式為)(4fI40)4()

14、()(kkkxfCab)(907)(9032)(9012)(9032)(907)(43210 xfxfxfxfxfab)(7)(32)(12)(32)(79043210 xfxfxfxfxfab上式稱為Cotes求積公式，也稱五點(diǎn)公式記為)(4fIC Cotes公式的余項(xiàng)為)()(4IRCRbadxxR)(4)()4(945)(2)6(6fababCotes公式具有5次代數(shù)精度華長(zhǎng)生制作24三、Newton-Cotes公式的穩(wěn)定性(舍入誤差)dtjtknknCnkjnjknnk 00)()()!( !)1(考察Cotes系數(shù)無關(guān)與函數(shù)的劃分有關(guān)的節(jié)點(diǎn)只與積分區(qū)間)(,xfxbaj因此用Newt

15、on-Cotes公式計(jì)算積分的舍入誤差主要由的計(jì)算引起函數(shù)值)(kxf其值可以精確給定華長(zhǎng)生制作25響的舍入誤差對(duì)公式的影只需討論)(kxf)()()(,)(計(jì)算值的近似值作為而以為精確值假設(shè)kkkxfxfxf為誤差)()(kkkxfxfnInkknkxfCab0)()()(記)(計(jì)算值的近似值為nI而理論值為nInkknkxfCab0)()()(的誤差為與nnIInnII nkkknkxfxfCab0)()()()(華長(zhǎng)生制作26nnII nkknkCab0)()(nkknkCab0)()(nnII nknkCab0)()(|max|k有若,0,)(nkCnknnII nknkCab0)()(nknkCab0)(1)(nkknkxgCab0)()()()1)(xgbadxxg)(badx)(ab 10)(nknkC性質(zhì)：華長(zhǎng)生制作27即nnII )(ab Newton-Cotes公式的舍入誤差只是函數(shù)值誤差的倍)(ab