1、證明：連結(jié)CM,設(shè)Q為CM的中點(diǎn)，連結(jié)QN則QN/SM / QNB是SM與BN所成的角或其補(bǔ)角連結(jié)BQ,設(shè)SC=a,在 BQN中BN= NQ=SM = a BQ=區(qū) 2244 .COS/QNB =BN2 NQ2 BQ22BN NQ105異面直線所成的角一、平移法：常見三種平移方法：直接平移：中位線平移（尤其是圖中出現(xiàn)了中點(diǎn)）：補(bǔ)形平移法：補(bǔ)形法”是立體幾何中一種常見的方法，通過補(bǔ)形，可將問題轉(zhuǎn)化為易于研究的幾何體來處理，利用補(bǔ)形法”找兩異面直線所成的角也是常用的方法之一。直接平移法1 .在空間四邊形 ABCD中，AD = BC = 2, E, F分別為AB、CD的中點(diǎn)，EF= 73 ,求AD、

2、 BC所成角的大小.解：設(shè)BD的中點(diǎn)G,連接FG, EG。在 EFG中 EF=用 FG = EG=1 ./EGF=120. .AD 與 BC 成 60的角。2 .正 ABC的邊長為a, S為 ABC所在平面外的一點(diǎn)，SA= SB= SC= a, E, F分別是SC 和AB的中點(diǎn).求異面直線SA和EF所成角.4.如圖，在直三棱柱 ABCAiBiCi中，/BCA = 90, M、N分別是A1B1和A1C1的中點(diǎn),若BC = CA = CCi,求BM與AN所成的角.解：連接MN ,作NG / BM交BC于G,連接AG , 易證/ GNA就是BM與AN所成的角.設(shè)：BC = CA = CCi = 2,

3、則 AG = AN =芯，GN=BM=%,6, cos/ GNA ; 6 1 5史0。2.6 匚 510答案：45 S是正三角形 ABC所在平面外的一點(diǎn)，如圖 SA=SB=SC,且 ASB = BSC= CSA =2，M、N分別是AB和SC的中點(diǎn).求異面直線SM與BN所成的角的余弦值.5 .如圖，在正方體 ABCD AiBiCiDi中，E、F分別是BB、CD的中點(diǎn).求AE與DF所成的角。證明：取AB中點(diǎn)G,連結(jié)AiG, FG,因為F是CD的中點(diǎn)，所以G工AD,又 AiDipD,所以 GFAiDi,故四邊形GFDiAi是平行四邊形，AiG/ DiF0設(shè)AiG與AE相交于H,則/ AiHA是AE與

4、DiF所成的角（圖 i 28）因為 E 是 BBi 的中點(diǎn)，所以 RtAAiAGAABE, / GAiA= / GAH,從而/ AiHA=90 , 即直線AE與DiF所成的角為直角。6 .如圖i 28的正方體中，E是A D勺中點(diǎn)(i)圖中哪些棱所在的直線與直線 BA成異面直線？(2)求直線BA和CC所成的角的大??；(3)求直線AE和CC所成的角的正切值；(4)求直線AE和BA所成的角的余弦值解：V A 平面BC ,又點(diǎn)B和直線CC都在平面BC內(nèi)，且B CC直線BA與CC是異面直線 同理，正方體i2條棱中的C D DD、DC、AD、B C 所在的直線都和直線BA成異面直線(2) V CC / B

5、B,BA和BB所成的銳角就是BA和CC所成的角V /A BB =45二 BA和 CC 所成的角是 45(3) v AA / BB II CC ,故AE和AA所成的銳角/ A AEt AE和CC 所成的角在RtAA E中，tan/A AE=陰 =1 ,所以AE和CC所成角的正切值是-AA 22(4)取 B C勺中點(diǎn) F,連 EF、BF,則有 EF = A B =AB, / ABFE是平行四邊形，從而 BF = AE,即BF/ AE且BF=AE. BF與BA所成的銳角/ A BFft是AE和BA所成的角Fcos/ A BF（2.2）2 （ 一 5）2 （2i05設(shè)正方體各棱長為2,連A E利用勾股

6、定理求出 A BF勺各邊長分別為 A 42m A abf=75,由余弦定理得：7.長方體ABCDAiBiCiDi中，若AB=BC=3 , AAi=4,求異面直線BiD與BCi所成角的大 小。解法一：如圖，過Bi點(diǎn)作BiE/ BCi交CB的延長線于E點(diǎn)。則/ DBiE或其補(bǔ)角就是異面直線 DBi與BCi所成角，連結(jié)DE交AB于M , DE=2DM=3 J57,347,34cos/DBiE= . . / DBiE= arc cos。170170解法二：如圖，在平面DiDBBi中過B點(diǎn)作BE/DBi交DiBi的延長線于E,則/CiBE就 是異面直線DBi與BCi所成的角，連結(jié) CiE,在BiCiE中

7、，/CiBiE=i35, CiE=3行，7 347.34cos / Ci BE=) / Ci BE= arc cos。i70i70練習(xí)：8.如圖，PA 矩形ABCD ,已知PA=AB=8,BC=i0,求AD與PC所成角的余切值為。9.在長方體ABCD- A iBiCiDi中，若棱B B仁BC=i , AB=石，求D B和AC所成角的余弦值.4中位線平移法：構(gòu)造三角形找中位線，然后利用中位線的性質(zhì)，將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面問題，解三角形求之。解法一：如圖連結(jié)BiC交BCi于0,過0點(diǎn)作OE/DBi,則/BOE為所求的異面直線DBi7 34 ) cos / BOE=170與BCi所成的角。連結(jié)

8、EB,由已知有BiD=J34, BCi=5, BE=352 . / BOE= arc cos 7 34170A(AA.A解法二：如圖，連DB、AC交于。點(diǎn)，過。點(diǎn)作OE/DBi,過E點(diǎn)作EF/CiB,則/ OEF 或其補(bǔ)角就是兩異面直線所成的角，過 。點(diǎn)作OM / DC,連結(jié)MF、OF。則05=孚，cos / OEF=7.34i70異面直線BiD與BCi所成的角為7 34 arc cos。i70解法三：如圖，連結(jié)DiB交DBi于O,連結(jié)DiA,則四邊形ABCiDi為平行四邊形。在平 行四邊形ABCiDi中過點(diǎn)。作EF/ BCi交AB、DiCi于E、F,則/DOF或其補(bǔ)角就是異 面直線 DBi

9、與 BCi 所成的角。在 4ADF 中 DF= 35 , cos / DOF= 734 ,2i70丁. / DOF= arc cos 7-4。i70課堂練習(xí)10 .在正四面體ABCD中，已知E是棱BC的中點(diǎn)，求異面直線 AE和BD所成角的余弦值。 補(bǔ)形平移法：在已知圖形外補(bǔ)作一個相同的幾何體，以例于找出平行線。解法一：如圖，以四邊形 ABCD為上底補(bǔ)接一個高為4的長方體ABCD-A2B2c2D2,連結(jié)D2B,則DBi/D2B,C1BD2或其補(bǔ)角就是異面直線 DBi與BCi所成的角，連C1D2,則4CiD2c2 為 RtA,cos /CiBD2= AP AO AP叵，異面直線DBi與BCi所成的

10、角是170arc cos 巨。170課堂練習(xí)：11 .求異面直線AiCi與BDi所成的角的余弦值。在長方體ABCD-A 1B1C1D1的面BCi上補(bǔ)上一個同樣大小的長 方體，將AiCi平移到BE,則/ DiBE或其補(bǔ)角就是異面直 線 AiCi與 BDi所成的角，在zXBDiE 中， BDi=3, D后際?一下二、利用模型求異面直線所成的角模型1引理：已知平面a的一條斜線a與平面a所成的角為 削，平面a內(nèi)的一條直線b與 斜線a所成的角為0,與它白射影a所成的角為620求證：cos 9 = cos18 cos23在平面的斜線a上取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P分別作直線c、b的垂線PO、PB,垂足為0、B.連接0

11、B,則OBb.cos在直角 AOP中在直角 ABC中在直角 ABP中所以 cos 1 cos 2A0 cos 1.APAB cos 2.AOAB cos .APAO AB AB所以 cos 1 cos 2 cos .證明：設(shè)PA是a的斜線，OA是PA在a上的射影， OBb,如圖所示。則/ PAO=0 1, /PAB=8, / OAB=0 2, 過點(diǎn)O在平面a內(nèi)作OBLAB,垂足為B,連結(jié)PBo 可知 PB AB o 所以 cos 0= OA , cos 0 AB- , cos 2= ABPAPAOA所 以 cos 0 = cos e COSo0利用這個模型來求兩條異面直線 a和b所成的角，即引

12、理中的角 8。需：過a的一個平面以及該平面的一條斜線b以及b在a內(nèi)的射影。12.如圖，MAL平面ABCD,四邊形ABCD是正方形，且 MA=AB=a ,試求異面直線 MB與 AC所成的角。解：由圖可知，直線 MB在平面ABCD內(nèi)的射影為AB,直線MB與平面ABCD所成的角為45,直線AC與直線MB的射影AB所成的角為45,所以直線AC與直MB所成的角為9,滿足。1cos 0 =cos45 cos45所以直線 AC與MB所成的角為60213.已知三棱柱ABC ABC1的側(cè)棱與底面邊長都相等，點(diǎn)，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為（DA在底面ABC上的射影為BC的中（A）7,5 (B)解：設(shè)

13、BC的中點(diǎn)為D,連結(jié)A1D, AD,易知AAB即為異面直線AB與CC1所成的角，由三角余弦定理，易知 cos cos A1AD cosAD AD DABA1A AB,AD/BC , 求異面直線0是一個直角梯形，/ BAD=9014 .如圖，在立體圖形 P-ABCD中，底面 ABCDAB=BC=a, AD=2a,且 PAL底面 ABCD, PD 與底面成 30 角，AELPD 于 DAE與CD所成的角的大小。解：過E作AD的平行線EF交AD于F,由PAL底面ABCD可知， 直線AE在平面ABCD內(nèi)的射影為 AF,直線AE與平面ABCD所 成的角為/ DAE,其大小為60,射影AF與直線CD所成的

14、角為/ CDA,其大小為45。，所以直線與直線所成的角8滿足cos 0 =cos60 - cos4521，所以其大小為arccos2。模型2定理：四面體ADBCD兩相對棱AC、BD間的夾角為，則有AD2 + ECa - AE3 - DC2AC.BD所以有:15 .長方體 ABCD A1B1C1D1 中，AB=AAi=2cm, AD=1cm,求異面直線 AiCi與 BDi所成的 角。解：連結(jié)BC1、A1B在四面體為日,易求得閔D】+BC/工cos-由定理得：-心2 M而 k35日=arccos所以：二、向量法求異面直線所成的角16.如圖，在正方體ABCD-A 1B1C1D1中，E、F分別是相鄰兩

15、側(cè)面 BCC1B1及CDD1C1的中心。 求A1E和B1F所成的角的大小。解法一：（作圖法）作圖關(guān)鍵是平移直線，可平移其中一條直線，也可平移兩條直線到某個點(diǎn) 上。作法：連結(jié)B1E,取B1E中點(diǎn)G及A1B1中點(diǎn)H, 連結(jié)GH,有GH/A1E。過F作CD的平行線RS, 分別交CC1、DD1于點(diǎn)R、S,連結(jié)SH,連結(jié)GS。由 B1H/C1D1/FS, BH=FS,可得 B1F/SH0B1在4GHS中，設(shè)正方體邊長為a。q6PCGH=；a （作直線GQBC父BB1于點(diǎn)Q,連QH,可知 GQH為直角三角形），626HS=y-a （連AiS,可知HAiS為直角二角形），GS=76 a （作直線GP父BC于

16、點(diǎn)P,連1 PD,可知四邊形GPDS為直角梯形）。；Cos/ GHS=。6所以直線AiE與直線BiF所成的角的余弦值為1。6解法二：（向量法）分析：因為給出的立體圖形是一個正方體，B1所以可以在空間建立直角坐標(biāo)系，從而可以利用 點(diǎn)的坐標(biāo)表示出空間中每一個向量，從而可以用 向量的方法來求出兩條直線間的夾角。以B為原點(diǎn)，BC為x軸，BA為y軸，BBi為z軸，設(shè)BC長度為27 則點(diǎn)Ai的坐標(biāo)為（0, 2, 2）,點(diǎn)E的坐標(biāo)為（i, 0, i）, 點(diǎn)Bi的坐標(biāo)為（0, 0, 2）,點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2, i, i）;所以向量EAi的坐標(biāo)為（-i, 2, i）,向量BF的坐標(biāo)為（2, i, -i）, 所以這

17、兩個向量的夾角8滿足EA； BiF ,（ i） 2 2 i i （ i）. icos=| EA | |BiF | ,（ i）2 （2）2 （i）2 （2）2 （i）2 （ i）2 6 . i所以直線AiE與直線BiF所成的角的余弦值為 6i7.已知空間四邊形 ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a ,M、N分別為BC和AD的中點(diǎn), 設(shè)AM和CN所成的角為 求cos a的值。（平移法也可）解：由已知得，空間向量 AB , AC , AD不共面， 且兩兩之間的夾角均為60 0由向量的加法可以得到AM = （ AB + AC）, NC =工 AD + AC 22所以向量AM”與向量NC”

18、的夾角8（即角a或者a的補(bǔ)角）、產(chǎn)于 八 AM NC輛足 cos 0=-, 其中AM| AM | | NC |一.i NC = ( AB + AC) (2i 一 一 一AB AD + AB AC +2i -AD + AC )2(工AD2)AC + AC AC )(i+i 4 21+i)a2;|AM i2=2( Ab + Ac)|NC |2= ( 1 AD + AC )22i , 一 x,(AB + AC )2i ,、2 (i+i+i) 4, ( - AD + AC ) = +i 2422 3 a =-42 3 a =4a2；a2o 所以 cos a =| cos 21=18 .已知空間四邊形

19、ABCD中，AB=CD=3 , E、F分別是BC、AD上的點(diǎn)，且BE: EC=AF :FD=1: 2, EF=7 ,求AB和CD所成的角的大小。解：取AC上點(diǎn)G,使AG : GC=1: 2。連結(jié)EG、FG,可知 EG/AB, FG/CD, 3EG=2AB, 3FG=CD。21由向量的知識可知EF =EG+GF =2BA + 1CD , 33設(shè)向量BA和CD.的夾角為自則由 |EF|2= ( 2-BA + 1CD ) - ( -BA+1CD ) =4+1+4cos8 =7 3333得cos 82，所以AB和CD所成的角為60。219 .(思考題)如圖，已知平行六面體 ABCDA1B1C1D1中，

20、底面ABCD是邊長為a的正方形，側(cè)棱AAi長為b,且AA1與AB、AD的夾角都是120. 求：(1)ACi的長；(2)直線BD1與AC所成的角白余弦值.技巧與方法：數(shù)量積公式及向量、模公式的巧用、變形用 .解:(1) | AC1 |2 AC1 AC1 (AA1 AC)( AA1 AC)(AAi AB AD)(AA AB AD) 222|AAj |2 |AB|2 |AD|2 2AA AB 2AA AD 2AB AD由已知得：|AAJ2 b2,| AB |2 |AD|2 a2AA1, ABAA1, AD120 , AB, AD 901 1AA AB b acos120- ab, AAi AD b

21、a cos120 -ab, AB AD2 2| Ac1 |2 2a2 b2 2ab, | AC1 | .2a2 b2 2ab.(2)依題意得,| AC | 、2a, AC AB ADBd1 AD BA AA1 Ad ABAC BD1 (AB AD)(AA1 AD AB)Ab AA1 Ad aA1 Ab ad ad2 ab2 ab Ad ab|BD1 |2 BD1 BD1 (AA, AD AB)(AA, AD AB) 2_22-_221AAi | | AD| | AB| 2 AAi AD 2AB AD 2 AAi AB 2a b0,2 2BD1 ACb|BD1| 2a2 b2cos BD1, A

22、C 1 IBD1 |AC|,4a2 2b2.BD1與AC所成角的余弦值為b,4a2 2b2判斷是非：(1)(3)(8)(10)正確，其余錯；選擇:1(C) ; 2(D) ; 3(D) ; 4(D).桿 5. (2)相交，(5)平行，其余異面;(6) : (D),取 AB 中點(diǎn)M, CCi中點(diǎn)N,連BiE和BiF; (7)答案：(A),延長BA至M,使AMhAQ,連MA 取 AB中點(diǎn) N. 8(D) ; 9(E) ; 10(D) ; 11(C);3 .4,取 AD 中點(diǎn) E,則/ MEN =90;34 . 且，取 AC 中點(diǎn) F,連 EF、BF,求得 BE=1AD=5, BF=1AC = 3/2

23、 ; 5225 .邁,分別取AC、BiCi的中點(diǎn)P、Q,則PMQN是矩形，設(shè)CCi = MQ = a,則MP =1a； 526 .1,取 AC 中點(diǎn) F,連 EF、BF,貝(J EF=4, BE = BF = 3.6異面直線所成的角一作業(yè)班級：姓名：學(xué)號：一、判斷是非（下列命題中，正確的打錯誤的打“x”）（1）梯形的四個頂點(diǎn)在同一平面內(nèi)；（2）對邊相等的四邊形是平行四邊形；（3）平行于同一直線的兩直線平行；（4）垂直于同一直線的兩直線平行；（5）兩條直線確定一個平面；（6）經(jīng)過三點(diǎn)可以確定一個平面；（7）無公共點(diǎn)的兩直線異面；（8）兩異面直線無公共點(diǎn)；（9）兩異面直線可以同時平行于一直線；（1

24、0）兩異面直線可以同時垂直于一直線；（11）不同在一個已知平面內(nèi)的兩直線異面；（12）互相垂直的兩條直線必可確定一平面二、選擇題1 .沒有公共點(diǎn)的兩條直線的位置關(guān)系是（）（A）平行（B）異面（C）平行或異面（D）不能確定2 .分別在兩相交平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系是 （）（A）異面（B）平行（C）平行或異面（D）平行或異面或相交3 .兩條異面直線指的是（）（A）在空間不相交的兩條直線（B）某一平面內(nèi)的一條直線和這個平面外的一條直線（C）分別位于兩個不同平面的兩條直線（D）不同在任一平面內(nèi)的兩條直線4 . a、b是異面直線，b、c也是異面直線，那么a、c的位置是（）（D）相父、平行或異面（A）異面（B）異面或平行（C）異面或相交5 .說出正方體中各對線段的位置關(guān)系：（1） AB 和 CC1；（2）A1C 和 BD1;（3）AA 和 CB1；A1C1 和 CB1；（5）A1B1 和 DC;（6）BD1 和 DC.6 .在棱長為