1、素材來源于網(wǎng)絡(luò)，林老師搜集編輯整理12.2隨機事件與概率、古典概型與幾何概型挖命題【考情探究】考點內(nèi)容解讀5年考情預(yù)測熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點隨機事件與概率求隨機事件的概率2015江蘇,5求隨機事件的概率古典概型求古典概型的概率2018江蘇,6求古典概型的概率2016江蘇,7求古典概型的概率2014江蘇,4求古典概型的概率幾何概型求幾何概型的概率2017江蘇,5求幾何概型的概率分析解讀隨機事件與概率、古典概型、幾何概型是江蘇高考的必考內(nèi)容，題目難度不大，但對學(xué)生建模能力和運算能力要求比較高破考點【考點集訓(xùn)I】考點一隨機事件與概率1 .從某校高二年級的所有學(xué)生中，隨機抽取20人,測得他們的身高（

2、單位:cm）分別為：162,153,148,154,165,168,172,171,173,150,151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.根據(jù)樣本頻率分布估計總體分布的原理，在該校高二年級的所有學(xué)生中任抽一人，估計該生的身高在155.5cm170.5 cm之間的概率約為答案2 .（2019屆江蘇蘇州實驗中學(xué)檢測）擲一個骰子的試驗，事件A表示“小于5的偶數(shù)點出現(xiàn)"，事件B表示“小于5的點數(shù)出現(xiàn)”，若B表示B的對立事件，則一次試驗中，事件A+發(fā)生的概率為 .答案考點二古典概型1 .（2018江蘇徐州高三年級期中）從2個黃球,3個紅球中隨機取出兩個

3、球，則兩球顏色不同的概率是.答案2 .（2019屆江蘇啟東中學(xué)檢測）已知函數(shù)f（x）=x 3+ax2+b2x+1，若a是從1,2,3三個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，則該函數(shù)有兩個極值點的概率為 .答案考點三幾何概型1 .（2018江蘇海安高三上學(xué)期第一次學(xué)業(yè)質(zhì)量測試）已知一個邊長為2的正方形及其外接圓.現(xiàn)隨機地向圓內(nèi)丟一粒豆子，則豆子落入正方形內(nèi)的概率為 .答案2 .已知正棱錐S-ABC的底面邊長為4,高為3,在正棱錐內(nèi)任取一點 P,使得5abc<Vs-abc的概率是.答案煉技法【方法集訓(xùn)】方法一求解古典概型問題的方法1 .（2018江蘇啟東高三調(diào)研測試）從1

4、,2,3,4這四個數(shù)中一次隨機地選兩個數(shù)，則選中的兩個數(shù)中至多有一個是奇數(shù)的概率為.答案2 .集合A=2,3,B=1,2,3, 從A,B中各任意取一個數(shù)，則這兩數(shù)之和等于4的概率是答案方法二求解幾何概型問題的方法1 .在區(qū)間-1,2上隨機取一個數(shù)x,則|x| < 1的概率為2 .(2019屆江蘇教育學(xué)院附屬中學(xué)檢測 VP在邊長為1的正方形ABC吶運動，則動點P到頂點A的距離PA<1 的概率為.方法三古典概型與統(tǒng)計綜合問題的解法移動公司在國慶期間推出 4G套餐，對國慶節(jié)當(dāng)日辦理套餐的客戶進行優(yōu)惠 ，優(yōu)惠方案如下：選擇套餐1的 客戶可獲得優(yōu)惠200元，選擇套餐2的客戶可獲得優(yōu)惠500元

5、，選擇套餐3的客戶可獲得優(yōu)惠300元.國慶節(jié) 當(dāng)天參與活動的人數(shù)統(tǒng)計結(jié)果如圖所示 ，現(xiàn)將頻率視為概率.IM100(1)求從中任選1人獲得優(yōu)惠金額不低于300元的概率；(2)若采用分層抽樣的方式從參加活動的客戶中選出6人，再從該6人中隨機選出2人，求這2人獲得相等優(yōu)惠金額的概率.150+100解析 設(shè)事件A為“從中任選1人獲得優(yōu)惠金額不低于300元”，則p(a)=50 + 15O + 100 =.(2)設(shè)事件B為“從這6人中選出2人,他們獲得相等優(yōu)惠金額”.由題意可知按分層抽樣方式選出的6人中，獲得優(yōu)惠200元的有1人，獲得優(yōu)惠500元的有3人，獲得優(yōu)惠300元的有2人，分別記為a1,b1,b2

6、,b3,C1,C2,從中選出2 人的所有基本事件如下:a b,a ib2,aib3,a©,aiC2,bib2,bb,b c,b 】C2,b 2b3,b 2C,b2c2,b3d,b3c2,c©,共15個.其中使得事件B成立的有bM,bb.b 2b3,CiC2,共4個.則 P（B）=.過專題【五年高考】A組自主命題江蘇卷題組1 .（2018江蘇,6,5分）某興趣小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活動，則恰好選中2名女生的概率為.答案2 .（2017江蘇,7,5分）記函數(shù)f（x）=的定義域為 D.在區(qū)間-4,5上隨機取一個數(shù)x,則xe D的概率是.答案3 .（20

7、14江蘇,4,5分,0.960）從1,2,3,6 這4個數(shù)中一次隨機地取 2個數(shù)，則所取2個數(shù)的乘積為6的概率是.答案4 .（2015江蘇,5,5分,0.942）袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球,2只黃球.從中一次隨機摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為 .答案5 .（2016江蘇,7,5分）將一顆質(zhì)地均勻的骰子（一種各個面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個點的正方體玩具）先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于10的概率是.答案B組統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組考點一隨機事件與概率1.(2016天津改編，2,5分)甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲

8、不輸?shù)母怕蕿?答案2.(2016課標(biāo)全國口，18,12分)某險種的基本保費為 a(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)01234>5保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a隨機調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況，得到如下統(tǒng)計表出險次數(shù)01234>5頻數(shù)605030302010(1)記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”.求P(A)的估計值；(2)記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%'.求P(B)的估計值;(3)求續(xù)保人本年度平均保費的估

9、計值.解析(1)事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)小于2.604 5口由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險次數(shù)小于2的頻率為200=0.55,故P(A)的估計值為0.55.(3分)(2)事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4.30 + 30由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4的頻率為 200=0.3,故P(B)的估計值為0.3.(6分)(3)由所給數(shù)據(jù)得保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a頻率0.300.250.150.150.100.05（10 分）調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費為0.85a >0.30+a X0.25+1.25a >0.15+1.5a >0.1

10、5+1.75a X0.10+2a XO.05=1.192 5a.因此，續(xù)保人本年度平均保費的估計值為1.192 5a.（12 分）評析本題考查了頻率的求解方法，同時對考生的應(yīng)用意識及數(shù)據(jù)處理能力進行了考查，屬中檔題.考點二古典概型1 .（2018課標(biāo)全國W文改編，5,5分）若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45,既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15,則不用現(xiàn)金支付的率為 .答案 0.42 .（2018課標(biāo)全國衛(wèi)理改編,8,5分）我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和"，如30=7+23.在不超過3

11、0的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是 .答案3 .（2017天津文改編,3,5分）有5支彩筆（除顏色外無差別）,顏色分別為紅、黃、藍、綠、紫.從這5支彩筆 中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為 .答案4 .（2016課標(biāo)全國I改編,3,5分）為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選 2種花種在一個花壇中，余下的2種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是 .答案5 .（2016課標(biāo)全國W改編,5,5分）小敏打開計算機時，忘記了開機密碼的前兩位，只記得第一位是 M,I,N中的一個字母，第二位是1,2,3,4,5 中的一個數(shù)字，則

12、小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是 .答案6 .(2014陜西改編，6,5分)從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離小于該正方形邊長的概率為答案7 .(2018天津文，15,13分)已知某校甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240,160,160.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參加獻愛心活動.(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？(2)設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A,B,C,D,E,F,G 表示，現(xiàn)從中隨機抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作.試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；設(shè)M為事件“抽取的2名同學(xué)來自同一年級”，求事件M發(fā)生

13、的概率.解析本小題主要考查隨機抽樣、用列舉法計算隨機事件所含的基本事件數(shù)、古典概型及其概率計算公式等基本知識.考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力.(1)由已知，甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3 2 2,由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取3人,2人,2人.(2)從抽出的7名同學(xué)中隨機抽取2名同學(xué)的所有可能結(jié)果為A,B,A,C,A,D,A,E,A,F,A,G,B,C,B,D,B,E,B,F,B,G,C,D,C,E,C,F,C,G,D ,E,D,F,D,G,E,F,E,G,F,G,共 21 種.由(1),不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中，來自

14、甲年級的是 A,B,C,來自乙年級的是D,E,來自丙年級的是F,G,則從抽出的7名同學(xué)中隨機抽取的2名同學(xué)來自同一年級的所有可能結(jié)果為A,B,A,C,B,C,D,E,F,G,共5種.所以，事件M發(fā)生的概率P(M)=.易錯警示解決古典概型問題時，需注意以下幾點：(1)忽視基本事件的等可能性導(dǎo)致錯誤；(2)列舉基本事件考慮不全面導(dǎo)致錯誤；(3)在求基本事件總數(shù)和所求事彳包含的基本事件數(shù)時，一個按有序，一個按無序處理導(dǎo)致錯誤.8.(2015陜西,19,12分)隨機抽取一個年份，對西安市該年4月份的天氣情況進行統(tǒng)計，結(jié)果如下：日期123456789101112131415天氣晴雨陰陰陰雨陰晴晴晴陰晴晴

15、晴晴日期161718192021222324252627282930天氣晴陰雨陰陰晴陰晴晴晴陰晴晴晴雨(1)在4月份任取一天，估計西安市在該天的概率;(2)西安市某學(xué)校擬從4月份的一個開始舉行連續(xù)2天的運動會，估計運動會期間的概率.解析(1)在容量為30的樣本中，不下雨的天數(shù)是26,以頻率估計概率,4月份任選一天，西安市不下雨的概13率為. S.(2)稱相鄰的兩個日期為“互鄰日期對”(如,1日與2日,2日與3日等).這樣，在4月份中，前一天為晴天的互鄰日期對有16個，其中后一天不下雨的有14個，所以晴天的次日不下雨的頻率為以頻率估計概率，運動會期間不下雨的概率為9.(2017山東文，16,12

16、分)某旅游愛好者計劃從3個亞洲國家Ai,A2,A3和3個歐洲國家Bi,B2,B3中選擇2個國家去旅游.(1)若從這6個國家中任選2個，求這2個國家都是亞洲國家的概率； 若從亞洲國家和歐渺M國家中各任選1個，求這2個國家包括A1但不包括B1的概率.解析本題考查古典概型.(1)由題意知，從6個國家中任選兩個國家，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有A1,A 2,A 1,A3,A 2,A3,A 1,B1,A 1,B2,A 1,B3,A 2,B1,A 2,Bz,A 2,B3,A 3,B1,A 3,B2,A 3,B3,B 1,B2A B,B3,B 2,B3,共 15 個.所選兩個國家都是亞洲國家的事件所包含

17、的基本事件有A1,A2,A 1,A3,A 2,A3,共3個，則所求事件的概率為 P=.(2)從亞洲國家和歐洲國家中各任選一個，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有A1,B 1,A 1,B2,A 1,B3,A 2,B1,A 2,B2,A 2,B3,A 3,B1,A 3,B2,A 3氏,共 9 個.包括A但不包括B的事件所包含的基本事件有：A1,Bz,A 1,B3,共2個，則所求事件的概率P= 方法總結(jié)求古典概型概率的一般步驟1 .求出所有基本事件的個數(shù) n,常用的方法有列舉法、列表法、畫樹狀圖法2 .求出事件A所包含的基本事件的個數(shù) m;3 .代入公式P(A)= n求解.10.(2016山東,16,

18、12分)某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項趣味活動.參加活動的兒童需轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)動后，待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù).設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x,y.獎勵規(guī) 則如下: 若xy03,則獎勵玩具一個； 若xy >8,則獎勵水杯一個；其余情況獎勵飲料一瓶.假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻，四個區(qū)域劃分均勻.小亮準(zhǔn)備參加此項活動.(1)求小亮獲得玩具的概率；(2)請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由.指制解析 用數(shù)對(x,y)表示兒童參加活動先后記錄的數(shù)，則基本事件空間Q與點集S=(x,y)|x GN,yGN,1Wx <4,1 <y<4對應(yīng).因為S中元

19、素的個數(shù)是4X4=16,所以基本事件總數(shù)n=16.記Xy03”為事件A,則事件A包含的基本事件數(shù)共5個，即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).所以P(A)=,即小亮獲得玩具的概率為(2)記Xy>8”為事件B, 3Vxy<8”為事件C,則事件B包含的基本事件數(shù)共6個，即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4).所以 P(B)=.事件C包含的基本事件數(shù)共5個，即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1).所以P(C)=.因為 >,所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率易錯警示本題出錯的原因有兩個：(1)理解不

20、?#題意，不能將基本事件列舉出來；(2)列舉基本事件有遺漏評析本題主要考查古典概型.理解題意，不重不漏地列舉出基本事件是解題關(guān)鍵.考點三幾何概型1.(2017課標(biāo)全國I理改編,2,5分)如圖，正方形ABC咕的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是.2.（2016課標(biāo)全國口改編,8,5分）某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時間為40秒.若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為答案3.（2014重慶,15,5分）某校早上8:00開始上課，假設(shè)該校學(xué)生小張與

21、小王在早上7:307:50之間到校，且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的，則小張比小王至少早 5分鐘到校的概率為 （用數(shù)字作答案C組教師專用題組1 .（2016四川，13,5分）從2,3,8,9中任取兩個不同的數(shù)字，分別記為a,b,則log ab為整數(shù)的概率是.答案2 .（2014課標(biāo)口，13,5分）甲、乙兩名運動員各自等可能地從紅、白、藍3種顏色的運動服中選擇 1種，則他們選擇相同顏色運動服的概率為 .答案3 .（2014浙yX ,14,4分）在3張獎券中有一、二等獎各1張，另1張無獎.甲、乙兩人各抽取1張，兩人都中獎的概率是_.答案4 .（2009江蘇,5,5分）現(xiàn)有5根竹竿，它們的長

22、度（單位:m）分別為2.5,2.6,2.72829,若從中一次隨機抽取2根竹竿，則它們的長度恰好相差0.3 m的概率為.答案 0.25 .（2010江蘇,3,5分）盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球.若從中隨機摸出兩只球，則它們顏色不同的概率是.答案6 .（2011江蘇,5,5分）從1,2,3,4 這四個數(shù)中一次隨機地取兩個數(shù)，則其中一個數(shù)是另一個數(shù)的兩倍的概率是 .答案7 .（2012江蘇,6,5分）現(xiàn)有10個數(shù)，它們能構(gòu)成一個以1為首項,-3為公比的等比數(shù)列，若從這10個數(shù)中隨機抽取一個數(shù)，則它小于8的概率是 .答案【三年模擬】一、填空題（每小題5分，共45分）1 .（2019屆江蘇通

23、州高級中學(xué)檢測）某射手的一次射擊中，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)的概率分別為 0.2、0.3、0.1,則此射手在一次射擊中不超過 8環(huán)的概率為.答案 0.52 .（2018江蘇淮安高三期中）拋一枚硬幣3次，恰好2次正面向上的概率為 .答案3 .（2018江蘇蘇州高三第一次調(diào)研測試 ）蘇州軌道交通1號線每5分鐘一班，其中，列車在車站停留0.5分鐘,假設(shè)乘客到達站臺的時刻是隨機的，則該乘客到達站臺立即能乘上車的概率為 .答案4 .（2018江蘇南通高三第一次調(diào)研測試 ）某同學(xué)欲從數(shù)學(xué)建模、航模制作、程序設(shè)計和機器人制作4個社團中隨機選擇2個，則數(shù)學(xué)建模社團被選中的概率為 .答案5 .（2019屆江蘇常熟

24、中學(xué)檢測）有兩個正四面體的玩具，其四個面上分別標(biāo)有1,2,3,4,下面做投擲這兩個正 四面體玩具的試驗：用（x,y）表示結(jié)果，其中x表示第1個正四面體玩具向下的面出現(xiàn)的點數(shù)，y表示第2個正四面體玩具向下的面出現(xiàn)的點數(shù)，則事件X=y”的概率是.答案6 .（2019屆江蘇鎮(zhèn)江中學(xué)檢測）從1,2,3,4,5這五個數(shù)中任取兩個數(shù)，下列事件恰有一個是偶數(shù)和恰有一個是奇數(shù)；至少有一個是奇數(shù)和兩個都是奇數(shù)；至少有一個是奇數(shù)和兩個都是偶數(shù)；至少有一個是奇數(shù)和至少有一個是偶數(shù).其中，是對立事件的是 .答案7 .（2018江蘇南京、鹽城高三年級第一次模擬考試）口袋中有形狀和大小完全相同的4個球，球的編號分別為1,

25、2,3,4,若從袋中一次隨機摸出2個球，則摸出的2個球的編號之和大于 4的概率為.答案8 .（2019屆江蘇常州教育學(xué)會學(xué)生學(xué)業(yè)水平監(jiān)測）函數(shù)f（x）=的定義域記作集合 D.隨機地投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子（骰子的每個面上分別標(biāo)有點數(shù) 1,2,6）,記骰子向上的點數(shù)為t,則事件tGD” 的概率為.答案9 .(2019屆江蘇如東橋茶中學(xué)檢測)若隨機事件A,B互斥,A,B發(fā)生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=4a-5, 則實數(shù)a的取值范圍是答案二、解答題(共40分)10 .(2019屆江蘇太倉高級中學(xué)檢測)已知袋子中放有大小和形狀相同的小球若干，其中標(biāo)號為0的小球1個,標(biāo)號為1的小

26、球1個，標(biāo)號為2的小球n個.若從袋子中隨機抽取1個小球，取到標(biāo)號為2的小球的概率是.(1)求n的值;(2)從袋子中不放回地隨機抽取2個小球，記第一次取出的小球標(biāo)號為a,第二次取出的小球標(biāo)號為b.記2<a+b<3w為事件A,求事件A的概率；在區(qū)間0,2內(nèi)任取2個實數(shù)x,y,求事件X2+y2>(a-b) 2恒成立”的概率.解析(1)依題意共有小球(n+2)個，標(biāo)號為2的小球n個，從袋子中隨機抽取1個小球，取到標(biāo)號為2的小球的概率為m+ 2 =,解彳導(dǎo)n=2.經(jīng)檢驗,n=2是原方程的根.共有12種，而滿足2M(2)從袋子中不放回地隨機抽取2個小球，(a,b)所有可能的結(jié)果為 (0,

27、1),(0,2),(0,2),(1,2),(1,2),(2,2),(1,0),(2,0),(2,0),(2,1),(2,1),(2,2),a+b03的結(jié)果有8種，故P(A)=.由可知,(a-b)&4，故x2+y2>4,(x,y)可以看成平面中的點的坐標(biāo)，則全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為Q=x,y|0 <x<2,0 <y<2,x,y G R,K由幾何概型得概率 P=1-；.11.(2019屆江蘇金壇中學(xué)檢測)某銀行柜臺有從左到右編號依次為1,2,3,4,5,6的六個服務(wù)窗口，其中1,2,3,4,5 號服務(wù)窗口辦理 A類業(yè)務(wù),6號服務(wù)窗口辦理 B類業(yè)務(wù).(1)每天12:00至14:00,由于需要辦理 A類業(yè)務(wù)的顧客較少，現(xiàn)從1,2,3,4,5號服務(wù)窗口中隨機選擇2個窗口暫停服務(wù)，求1號窗口或2號窗口暫停服務(wù)”的概率；(2)經(jīng)統(tǒng)計，在6號窗口辦理B類業(yè)務(wù)