1、高中數(shù)學(xué)不等式 經(jīng)典練習(xí)題【編著】黃勇權(quán)一、選擇題1、若aC R,下列不等式包成立的是（）A a2+1> a B 、a2+4>4aC 、- >1 D 、2a >2a1a2、已知x>y>0,若x+y=1,則下列數(shù)中最大的是（）1x+yA 2 B、-2A C、2xy D x 2+y23、aC R, bC R,若 a2+b2=1, WJ a+b （）A、有最小值-d2B 、有最小值-1G 有最小值 V? D 、有最小值14、a, b為任意實(shí)數(shù)，若a>b,則有（）A、a2>b2B、（a-1 ） 2> （b-1 ） 2C > |a-1 I &g

2、t; I b-1 I D 、2a-1 >2b-15、實(shí)數(shù)a, b>0,則當(dāng)一曲的最大值是。,a bA 1 B 、72 C 、<3 D 、26、已知 x >0, y>0, z>0,若 x+y+z= 3 , xy+xz+yz 的最大值是A 3、 B 、 血 C 、血 D 、17、已知a, b, cCR,若a>b,以下不等式成立的是（）A ac > bca3>b3C、2、2>T2a b8、實(shí)數(shù) a>1, b>0,若 3a2+6a+2b2=3,貝U ( a+1) J3b2 1 的最大值A(chǔ)、2 B 、3 C 、32D 、5/39、已

3、知a、b為正實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足2ab=2a+b+3,則a+b的最小值是。2A、1 B 、3 C 、4 D 、610、已知x, y, z為正數(shù)，若ab+bc+ca=1,貝U a+b+c的最小值是A 取 B 、g C 、2 D 、3二、填空題1、已知實(shí)數(shù)x, y滿(mǎn)足g + J = 2 >/xy ,則xy則最小值是。x yLi 1n>°,且 m+n=1 則（筱 - 1 ）3、函數(shù)y=x+ 3 2-x的最大值是。4、已知x、y為正數(shù)，若2x+3y=4,則上+的最小值是2x 3y5、函數(shù)f (a) =aM1- a 2的最大值是一 22 一 一，6、m n均為正數(shù)，右m+n =1，則mn取

4、小彳鼠 7、已知x, y, z為正數(shù)，若3x+2y+z=2,貝U 9x2+4y2+z2的最小值8、x+2y= 1,則:3 +/ 的最大值是。4 2x 3y9、已知a、b、c為正實(shí)數(shù)，若a+b+c=1則1+ + "的最小值為a b c10、已知 x, y, z 為實(shí)數(shù),若 x2+y2=2, y2+z2=3, z2+x2=3.貝U xy+yz+zx 的最大值為三、解答題1、已知 x, y, z e +R 若 xyz=1 ,證明:< x 2+ y 2 +z 2的最小值3+ (b+c) 3+ (c+a) 3的最/4值2、已 x、yCR,求（6x2+ 工）（，+4y2） 2y23x23、

5、已知 a, b, cC+R 若 abc=1,求(a+b)不等式經(jīng)典練習(xí)題【答案】一、選擇題1、選D選項(xiàng)A, a2+1>a,但a2+1wa故A錯(cuò)誤選項(xiàng)B,當(dāng)a=0時(shí)，a2+4=4a,故B錯(cuò)誤選項(xiàng)C當(dāng)a為負(fù)數(shù)，1 >1肯定不成立，故C錯(cuò)誤 a,.一 x .選項(xiàng)D因?yàn)?>1,故2是增函數(shù)又因?yàn)閍>a-1 故D正確綜上，選D2、選D解，已知x>y>0因?yàn)閤+y=1 , 所以，x2y= 2 由基本不等式知，1=x+y> 2 xy即 2 « xy < 14xy<112xy02 1_又 x2+y2> 2 由知，x2+y2最大，故選D3、選

6、A解：因?yàn)?2ab& a2+b2兩邊同時(shí)加上a2+b2,得a2+b2+2at>< 2 (a2+b2)(a+b) 2<2 - 1 (已知 a2+b2=1)-y2&a+b& V2所以選A4選D用舉例法：選項(xiàng) A,當(dāng)a=0.1,b= -10,a2=0.01 ,b2=100,不?f足a2>b2,所以A錯(cuò)誤選項(xiàng) B,當(dāng)a=0.1,b= -10,(a-1 )2=(-0.9 ) 2=0.81,(b-1) 2=(-11)2=121不滿(mǎn)足(a-1 ) 2> ( b-1 ) 2,所以B錯(cuò)誤選項(xiàng) C當(dāng)a=0.1,b= -10,I a-1I =0.9 , I b-

7、1 I=11不滿(mǎn)足Ia-1 I >I b-1I,所以C錯(cuò)誤選項(xiàng) D 當(dāng) a=0.1 , b=-10, 2a-1= -0.8 2b-1= -21滿(mǎn)足2a-1 >2b-1 ,所以D正確故選D5、選B 解：4M='a b , a b兩邊同時(shí)平方,得匕彳生=1+在變 a b因?yàn)?2 vab < (a+b)2 ab 1 A 1a b把代入，得t 2&1+1=2所以，t 0 ,2故選B6選A由基本不等式得，x2+y2> 2xy y2+z2>2yz z2+x2>2zx三式相加，得 2x 2+2y2+2z2> 2xy+2yz+2xz兩邊同時(shí)除以2,即：

8、x2+y2+z2>xy+yz+xz兩邊同時(shí)加上2xy+2yz+2xz ,得x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz >3 (xy+yz+xz)(x+y+z ) 2>3 (xy+yz+xz) 又已知：x+y+z= 3 所以，式可寫(xiě)為；32>3 (xy+yz+xz) 3>xy+yz+xz所以，xy+xz+yz的最大值是3.故選A7選B用舉例法選項(xiàng) A,當(dāng) a=0.1 , b= -10 , c=-1ac =-0.1, bc=10,不?II足 a2>b2,所以 A錯(cuò)誤選項(xiàng) B,當(dāng) a=0.2 , b=0.1 , a3=0.08, b3=0.01滿(mǎn)足a3>b3

9、，所以B正確選項(xiàng) C 當(dāng) a=1, b= -0.9 , =1,=10a 1 11 b 14一 11一一不滿(mǎn)足，>，,所以C錯(cuò)誤a 1 b 1一，111選項(xiàng) D 當(dāng) a=10, b=-1 ,）=二1a2 100 b2不滿(mǎn)足4>口，所以D錯(cuò)誤 a b故選B8、選C解：因?yàn)?3a2+6a+2 t2=33 (a2+2a+1) +2 (3b2+1) =20339 (a+1) 2+2 ( 3b2+1) 2 =20等號(hào)左右兩邊的式子互換，即，20=9 (a+1) 2+2 (V3b2+1) 2 >6/1 (a+1) 13b2+1所以，(a+1) 13b2+105T故選C9.選 B,解：因?yàn)閍

10、、b為正實(shí)數(shù)所以 2a+b> 2 , 2ab 兩邊同時(shí)除以2,得 a+ > J2ab 2兩邊同時(shí)平方得，（a+b） 2>2ab （已知2ab=2a+b+3,故將右邊的2ab替換為2a+b+3） 2即，（a+b） 2>2a+b+3 2令a+b=t （t>0）,那么式變?yōu)?，t2>2t+3 2整理得，(t+1 ) (t-3 ) >0解得，tw-1 （因?yàn)閠>0,舍去）所以，S3故，a+b的最小值是3.2所以，選B10、選 B因?yàn)?a2+b2>2abb2+c2>2bcc2+a2> 2ca三式相加，得2 (a2+b2+c2) >2a

11、b+2bc+2ca同時(shí)除以2a2+b2+c2> ab+bc+ca兩邊同時(shí)加上2ab+2bc+2ca,得a2+2ab+b2+2bc+c2+2ca>3 (ab+bc+ca)(a+b+c) 2> 3 - 1 (已知 ab+bc+ca) =1)同時(shí)開(kāi)方a+b+c> 3故選B、填空題1、解要使2，互有意義,xy>0即x,y同時(shí)為正或同時(shí)為負(fù)又'+ "為正，故x,y只能同時(shí)為正。 x y所以 -+ - >2 A / = 4 A 工 x yxyxy已知-+ - =2/xy,所以將左邊的"+ '替換為2/xy x yx y故，2dxy &

12、gt; 4即：xy >2所以xy則最小值是22、解因?yàn)?m>0, n>0m+ni> 2ymn (已知 m+n=)所以，2mn01'' mn<1 一，一 一、2 （兩邊同時(shí)平萬(wàn)）mn所以1> 4 mn1>16m2n21(m2 - 1(工-1 ) =n n2 ' m2n211n2 * n21-2 m2n21 （為1將代入口原式>16- 24 +1 = 9故：（m2-11，）（n2 1）的取小值是9令 J2-x-=t(t >0)3、解4 2-x的定義域?yàn)閤 <2x + / 2-x =-(2-x) + 7 2-x +2

13、則 y= -t 2 +t +2(t-1) 2 +因?yàn)閠 >0,9所以y有最大值4 9故，x+ 2-x的最大值是4352x 3y(因?yàn)?x+3y=4,所以將4替換成2x+3y)32x+3y + _5122x+3yy(2+ 3.y + 5x 4=2+5y6x958X 6x y _ 4+ 15yx x =2所以，2x+53y4+15取小值是25、解 11- a 2的定義域?yàn)?1 < a< 1(a)有最大值。當(dāng)-1<a<0, f (a)為負(fù)數(shù)，沒(méi)有最大值 當(dāng)0<a<1, a , 51- a 2均為正數(shù),故f a2 + 31- a 2) 2>2a/l- a

14、 2 a2+ (1-a2) >2a. 1- a 2 1>2a1- a 2i即 a 1- a 2< 21故，f (a) = a、1- a 2的取大值是/6、1 1>4m n11 >16 mn所以，mn> 16故mn的最小值是167、解：因?yàn)閤, y, z為正數(shù)所以，9x2+4y2> 12xy兩邊同時(shí)加上9x2+4y2得 2 (9x2+4y2) > 9x 2+4y2+12xy 同理：2(4y2+z) 2> 4y 2+ z 2+4yz 2 (9x2+z) 2> 9x 2+z2+6xz 相加，得4 (9x2+4y2+z2) > (9x2

15、+4y2+z) + (9x2+4y2+z2) +12xy+4yz+6zx兩邊同時(shí)減去(9x2+4y2+z)3 (9x2+4y2+z2) > ( 3x+2y+z) 2 (已知 3x+2y+z=2)、，4所以：9x2+4y2+z2> -3一，一， 4故，9x2+4y2+z2的最小值是-38、解11解： + = 12 -) + 16 ('')(因?yàn)?x+2y= 1,將1 替換成 x+2y)2x 3y 2 x3 y442y 16=6.(11)+ -(50+3(12y 1650Z + 163,34故，2X +3y98的最大值9839、【方法 11 因?yàn)?a +a > 2

16、/aX 1 =2口口 1即：一 +a >2 a同理：! +b >2 , - +c >2 bc三式相加得，111£ + b + C)+(a+b+c) >6而 a+b+c=1故1 +a1一方5 c111 , 一所以，a + - + c有取小值5其實(shí)，這是錯(cuò)誤的【方法2】因?yàn)?a+b+c=1,所以將其帶入1 + 1+ 1a b c則有:a+b+c+aa+b+ca+b+ccb=3+( a+c+(a +a c)c +(b>3+2+2+2=911答案a +b +1 ，一-最小值為9 c10、解，【方法11因?yàn)?2=x2+y2>2xy3=y2+z2>2yz

17、3=z2+x2>2zx三式相加，8>2 (xy+yz+zx)4>xy+yz+zx即xy+yz+zx的最大值是4其實(shí)，方法1是錯(cuò)誤的。【方法2】x2+y2=2 y2+z2=3 z2+x2=3 -，得 x2-z2=-1- + ，得，x2=11=> x=± 1將x2=1代入，得y2=1=> y=± 1將x2=1代入，得z2=2«=> z=±曠萬(wàn)xy+yz+zx的結(jié)果如下：x111-1-1-1y1-111-1|-1z不萬(wàn)和<2-xy+yz+zx1+2p2-11-11-2'/"21+252故，xy+yz+

18、zx的最大值是1+2/-2三、解答題1、證明：因?yàn)閤yz=1111x+ y +1(因?yàn)閤yz=1,將1替換為zxy)xyz xyz xyz=4- 4-xyz=yz+xz+xy x2+ y 2 >2xyz2+ y 22yzx2+ z 2 >2xz三式相加，得，2 (x2+ y 2+z2) > 2 (xy+yz+xz) 即:x2+ y 2+z2> xy+yz+xz由得，xy+yz+xz< x2+ y 2+z21 11即一 +-+-< x2+ y 2+z2xyz故得證2、解，由柯西不等式得，(6x2+壺 /+4y2) > (<6x 點(diǎn)+忘，2y) 2=(血金)2=811(6x2+ ) (+4y2