1、收稿日期:2001-06-19; 修回日期:2001-08-09作者簡介:朱學(xué)鋒 (1969- , 男, 河北撫寧人, 學(xué)士學(xué)位, 工程師, 從事信號分析及數(shù)據(jù)處理的研究;肖旭東 (1973- , 男, 吉林公主嶺人, 學(xué)士學(xué)位, 助理工程師, 從事光學(xué)檢測及圖像處理的研究。2002年 3月第 29卷第 3期 強 度 與 環(huán) 境 STRUCTURE &ENVIRONMENT ENGINEERING Sep.2002Vol.29, =No.3應(yīng)用小波分析方法處理非平穩(wěn)信號的研究朱學(xué)鋒肖旭東 (遼寧葫蘆島 92941部隊 96分隊, 遼寧, 125001 (遼寧葫蘆島 92941部隊 98

2、分隊, 遼寧, 125001摘要:本文綜述了小波分析這一前沿領(lǐng)域的發(fā)展現(xiàn)狀, 介紹了小波變換及其 Mallat 快速小波算法, 對比分析了小波變換與短時傅里葉變換之間的差異, 指出這種基于多分辨方法的小波變換特別適合于非平穩(wěn)信號的分析與處理, 并且應(yīng)用該方法對實測信號進行了有效的時頻分析。關(guān)鍵詞:小波分析; 非平穩(wěn)信號; 短時傅里葉變換中圖分類號:O241.86文獻標(biāo)識碼:A 文章編號:1006-3919(2002 03-0053-05An Application of Wavelet Analysis to Nonstationary SignalsZHU Xue-feng XIAO Xu-

3、dong(92941Troops , Huludao , liaoning , liaoning , 125001Abstract :In this paper , we first summarize the development of the wavelet theory. We introduce the wavelet transformand Mallat fast algorithm , and briefly compare the wavelet transform with the more classical sthort-time Fourier transformap

4、proach to signal analysis. This paper shows that the wavelet transform on the multiresolution approach is particularlysuitable for the analysis of nonstationary signals.Key words :Wavelet analysis ; Nonstationary signals ; Short-time Fourier transform1引言多分辨分析思想是 Mallat 于 1989年提出的概念, 在泛函分析的框架下, 統(tǒng)一了各種

5、具體小波的構(gòu) 造方法, 給出了構(gòu)造正交小波基的一般方法和與 FFT 相對應(yīng)的快速小波算法, 并將它應(yīng)用于圖像分解和 穩(wěn)定重建, 成為小波理論與應(yīng)用上的一個突破性進展。小波理論的迅速發(fā)展, 得到眾多領(lǐng)域科技工作者的高度重視, 人們普遍認(rèn)為:它是調(diào)和分析, 是現(xiàn)代 傅里葉分析的重大突破。小波理論在信號處理與圖像分析、 地震信號處理、 計算機視覺與編碼、 語音合 成與分析、 信號的奇異性檢測與譜估計等方面都取得了成功的應(yīng)用。美國應(yīng)用數(shù)學(xué)會已將它列為 90年 代應(yīng)用數(shù)學(xué)的八個前沿課題之一; 美國國防部關(guān)鍵技術(shù)計劃認(rèn)為:小波分析將對未來國防關(guān)鍵技術(shù)中的信號 /圖像處理等產(chǎn)生重要影響; 英國皇家數(shù)學(xué)會也將

6、小波列為 90年代重點發(fā)展的十大方向之一; 法 國、 德國等也紛紛投入力量進行這一領(lǐng)域的研究。我國對小波的研究還處在起步階段, 目前已有國內(nèi)多 家重點大學(xué)展開了有關(guān)項目的研究工作, 取得了顯著的成績。小波分析不僅可用于突變信號和非平穩(wěn)信號的分析處理, 而且為傳統(tǒng)的短時傅里葉變換提供了新 方法。本文對兩種方法加以對比分析, 并應(yīng)用小波分析方法對實測振動信號進行分析研究, 指出其在非 平穩(wěn)信號分析中的優(yōu)越性。2變換的定義信號 s (t 的連續(xù)小波變換定義為 W (a , b = t b (a s (t d t (1其中, 表示小波基, a 、 b 分別表示時間的伸縮和平移, 表示復(fù)數(shù)共軛。 它對應(yīng)

7、于 s (t L 2(R 在小 波基 (t 上的分解, 必須滿足可容許性條件:( |d < 或 (t d t =0(2其中, ( 是 (t 傅里葉變換。 實際的信號處理中, 短時傅里葉變換的定義為F (, b = h (t -b e j t s (t d t (3上式可以解釋為:以時間 b 為中心的窗乘以信號 s (t , 然后在進行傅里葉變換。 用數(shù)學(xué)術(shù)語可以解釋為 信號 s (t 在函數(shù)族 h (t -b e j t 上展開,這個函數(shù)族由單一函數(shù) h (t 在時域平移 b 而在頻域平移 產(chǎn) 生的; 對照的說, 小波變換是信號 s (t 在函數(shù)族 (t -b /a 上展開, 該函數(shù)族是

8、由小波基 (t 在時 域平移 b 且伸縮 a 產(chǎn)生的。因此, 連續(xù)小波變換就好像是一組短時傅里葉變換, 在不同的頻率上加不同 的窗。 它們之間的差別是:(3 式中的基函數(shù)在所有的變換點上都具有相同的時間和頻率分辨率 (h (t 和 h ( ; 而在 (1 式中, 基函數(shù)的時間分辨率 (t /a 隨著 a 的減少而減少, 而頻率分辨率 (a 隨 著 a 的增加而增加。 小波變換的這個特性較好地解決了時間和頻率分辨率的矛盾, 它巧妙地利用了非均 勻分布的分辨率, 即在低頻段用高的頻率分辨率和低的時間分辨率; 而在高頻段則采用低的頻率分辨率 和高的時間分辨率。 換句話說, 與加窗傅里葉變換不同, 小

9、波分析的窗寬 (基寬度 是可變的, 它在高頻 時使用短窗口, 而在低頻時使用寬窗口, 這充分體現(xiàn)了常相對帶寬頻率分析和自適應(yīng)分辨分析的思想。小波變換可以通過對其伸縮標(biāo)度因子 a 和平移標(biāo)度因子 b 的采樣而離散化。如果對 a 和 b 依如下規(guī) 律采樣:a =a m 0(a 0>1 , b =nb 0a m 0(b 0 R (m , n Z2則離散小波變換定義為W (2i , 2i n = t 2i -(n s (t d t (4特別的, 當(dāng) a 0=2, b 0=1時,上式變?yōu)殡x散二元正交小波變換。 3多分辨率變換與正交小波表示的實現(xiàn)45強 度 與 環(huán) 境 2002=年設(shè) H 和 G 為

10、兩個離散濾波器, 是尺度函數(shù),是小波基, 對任何 n Z , 其脈沖響應(yīng)分別為 h (n = 2-1(u , (u -n (5g (n = 2-1(u , (u -n (6設(shè) H 和 G 分別為 H 和 G 的鏡像濾波器, 其脈沖響應(yīng)分別為 h (n =h (-n 與 g(n =g (-n , 則有分 解 f (u , 2j (u -2-j n =+ k =- h (2n -k f (u , 2j+1(u -2-j -1k (7 f (u , 2j (u -2-j n =+ k =- g (2n -k f (u , 2j+1(u -2-j -1k (8等式 (7 表明:f (x 在分辨率 2j

11、 下的離散逼近 A d 2j f , 可以通過 A d 2j+1f 與H 的卷積計算并保留每兩個輸出樣 本中的一個而得到。 同樣, 等式 (8 表明:細(xì)節(jié)信號 D 2j f 可由 A d 2j+1f 與G 的卷積并對輸出樣本二取一而得 到。 依次將 A d 2j+1f 分解為 A d 2j f 和 D 2j f (-J j -1 , 就可計算出離散信號的正交小波表示。 這個過程稱 為塔型 (Mallat 算法, 算法的方塊圖見圖 1 。圖 1Mallat 算法方框圖濾波器 H 與 G 的脈沖相應(yīng)之間具有如下關(guān)系:g (n =(-1 1-n h (1-n (9或者在頻域表示為G ( =e -i

12、(10+表示 H (+ 的復(fù)共軛。 可見, H 與 G 構(gòu)成了一對正交鏡像濾波器, H 是一個低通濾波 器, 而 G 是一個高通濾波器。實際上, 測量設(shè)備只能提供有限個樣本:A d 1f =(n 1 n N , 則離散逼近信號 A d 2j f (j <0 和細(xì)節(jié)信號 D 2j f 均有 2j N 個樣本。 因此, 小波表示 (A d 2-J f , (D 2j f -J j -1具有與原始逼近信號 A d 1f 相同的樣本數(shù)。 4非平穩(wěn)信號的小波分析下面應(yīng)用小波分析方法分析非平穩(wěn)隨機信號, 分別計算三階小波表示并計算逼近信號與細(xì)節(jié)信號 的頻譜。通過圖解可以很明顯地看出, 多分辯分析方法

13、進行數(shù)據(jù)分析的優(yōu)越性, 即在低頻段用低的時間分辨 率和高的頻率分辨率, 而在高頻段采用高的時間分辨率和低的頻率分辨率, 從而反映出該段信號大部分 55第 29卷第 1=期 朱學(xué)鋒等 應(yīng)用小波分析方法處理非平衡信號的研究的頻率特性。 在圖 2中只能看到有一個低頻信號和 500赫茲左右有一個較強的信號。 通過對原始信號的 三階小波分析, 如圖 3(a 、 (b 、 (c , 可以清晰地看到在 1650、 820及 540左右有較強的信號成份, 而這些 信號成份利用普通的方法是難以識別出來的; 另外, 從時域觀察亦可見明顯的低頻信號。圖 2 原始信號及頻譜圖 3(a 一階小波分析圖 3(b 二階小波

14、分析65強 度 與 環(huán) 境 2002=年 圖 3(c 三階小波分析5結(jié)束語從上面的論述可以看出, 小波分析方法是現(xiàn)代傅里葉分析的重大突破, 它即能保持傅里葉分析的優(yōu) 點, 又能彌補傅里葉分析的不足, 而且為傳統(tǒng)的短時傅里葉變換提供了新方法。 從分辨率的角度看, 它巧 妙地利用了非均勻分布的分辨率, 充分體現(xiàn)了自適應(yīng)分辨分析的思想, 特別適合于非平穩(wěn)信號的分析與 處理。參考文獻:1焦李成、 保錚 . 子波理論與應(yīng)用:進展與展望 . 電子學(xué)報, 1993年 7月, 91962Shensa M J , The Discrete Wavelet Transform :Wedding the A trous and Mallat Algorithms J . IEEE Trans. Signal Processing , Oct ,1992, 40(10 3Mallat S G , A Theory for Multisolution Signal Decomposition :The Wavelet Representation J , IEEE Trans. Patt. Anal. Machine in-tell. , July 1989(2 :6746934柳重堪 . 信號處理的數(shù)學(xué)方法 M . 北京:大學(xué)出版社, 1983(上接第 42頁參考文獻:1黃