1、經(jīng)典隨機(jī)序的細(xì)化與不完全信息博弈的比較靜態(tài)分析       經(jīng)典隨機(jī)序的細(xì)化與不完全信息博弈的比較靜態(tài)分析*龍永紅內(nèi)容提要:經(jīng)典隨機(jī)序的概念產(chǎn)生于風(fēng)險(xiǎn)和不確定性環(huán)境中的決策問題，它在經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融學(xué)許多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，然而在一些具體領(lǐng)域，即使是較強(qiáng)的隨機(jī)占優(yōu)一階隨機(jī)占優(yōu)，有可能不能導(dǎo)出明確的結(jié)論，人們于是考慮對(duì)經(jīng)典的隨機(jī)占優(yōu)關(guān)系進(jìn)行細(xì)化。本文主要對(duì)近年來有關(guān)博弈論文獻(xiàn)中所提出的對(duì)經(jīng)典的一階和二階隨機(jī)占優(yōu)的細(xì)化的隨機(jī)序以及各隨機(jī)序之間的相互關(guān)系進(jìn)行歸納、梳理和評(píng)述，然后以拍賣為例說明了這些隨機(jī)序在不完全信息博弈中的應(yīng)用。針對(duì)對(duì)稱獨(dú)立私

2、人價(jià)值一級(jí)價(jià)格拍賣，我們給出了兩個(gè)比較靜態(tài)分析結(jié)果。      關(guān)鍵詞:隨機(jī)序一級(jí)價(jià)格拍賣均衡策略比較靜態(tài)    *龍永紅，武漢大學(xué)高級(jí)研究中心，中國人民大學(xué)信息學(xué)院，郵政編碼:100872，電子信箱:longyhruceducn。作者感謝匿名審稿人的評(píng)論意見，文責(zé)自負(fù)。    一、引言    雖然人類開展拍賣實(shí)踐的歷史悠久，然而進(jìn)入經(jīng)濟(jì)學(xué)文獻(xiàn)只是最近幾十年的事。1961年，Vickrey首次利用博弈論處理拍賣問題，開拍賣理論研究之先河，并得到著名的收入等價(jià)定理。拍

3、賣作為一類典型的可實(shí)施的市場機(jī)制，為人們考慮機(jī)制設(shè)計(jì)提供了很好的研究范本。在Vickrey(1961)的現(xiàn)在被稱作標(biāo)準(zhǔn)拍賣的結(jié)果中，使用了三個(gè)基本假設(shè):風(fēng)險(xiǎn)中性，獨(dú)立的私人信息，私人價(jià)值同分布(即對(duì)稱性)。在上世紀(jì)70年代末和80年代初開始，拍賣理論研究進(jìn)入了繁榮時(shí)期，許多人的研究集中在標(biāo)準(zhǔn)拍賣的擴(kuò)展上，總體上來講，研究主要圍繞著等價(jià)收入原理所要求的假設(shè)不滿足所造成的影響來展開的。到目前為止，研究成果特別是單物品拍賣理論的研究成果已相當(dāng)豐富。然而，除少量專門討論風(fēng)險(xiǎn)偏好對(duì)等價(jià)收入原理的影響外(Long，2003a，2003b;龍永紅，2009)，絕大部分文獻(xiàn)以及最核心的結(jié)果均在假設(shè)競價(jià)者風(fēng)險(xiǎn)中

4、性的條件下給出的。    除風(fēng)險(xiǎn)偏好外，決定競價(jià)行為的另一個(gè)個(gè)體特征是競價(jià)者對(duì)拍賣品的偏好或評(píng)估，它體現(xiàn)為競價(jià)者為拍賣品所設(shè)置的保留價(jià)格，通常稱為競價(jià)者價(jià)值。直觀上，一個(gè)競價(jià)者具有越高的價(jià)值，在與其他競價(jià)者相互競爭中，為了獲得拍賣品具有越高的出價(jià)空間，也就是說具有越高的競爭力。在不完全信息下，如果競價(jià)者普遍以越大的概率給與拍賣品的更高的估價(jià)，在競價(jià)者相互的競爭中，人們普遍在更高的出價(jià)下仍然有利可圖，并且預(yù)期到這一點(diǎn)，人們也只有在出更高的價(jià)格時(shí)才能保證以較大的概率贏得拍賣。這種相互博弈的均衡中，體現(xiàn)了外在競價(jià)者的價(jià)值分布是實(shí)際拍賣競爭中競爭性的一個(gè)重要來源。另一個(gè)人

5、們較早意識(shí)到反映拍賣中的競爭性的因素是參加拍賣的人數(shù)，在其他因素不變的情況下，參與競價(jià)的人數(shù)越多會(huì)導(dǎo)致競爭性越強(qiáng)。    關(guān)于價(jià)值分布對(duì)均衡行為的影響的研究并不多見，經(jīng)典文獻(xiàn)是MaskinRiley(2000a)對(duì)競價(jià)者風(fēng)險(xiǎn)中性的非對(duì)稱獨(dú)立私人值一級(jí)價(jià)格拍賣的均衡性質(zhì)的討論。他們證明了具有不同價(jià)值分布1472011年增2期的競價(jià)者，在其價(jià)值分布逆險(xiǎn)率意義下，“弱者”比“強(qiáng)者”出價(jià)更積極。這一結(jié)論導(dǎo)致對(duì)一級(jí)價(jià)格拍賣與二級(jí)價(jià)格拍賣收入比較的后果是:相對(duì)于二級(jí)價(jià)格拍賣總是將拍賣品出售給價(jià)值最高的競價(jià)者，在一級(jí)價(jià)格拍賣中，拍賣者通過價(jià)格歧視從拍賣品出售給弱的競價(jià)者來獲得好

6、處。因而在除對(duì)稱性外的等價(jià)收入原理所有假設(shè)滿足的情況下，一級(jí)價(jià)格拍賣可以使得拍賣者獲得比二級(jí)價(jià)格拍賣更高的期望利潤，盡管它不如二級(jí)價(jià)格配置有效。同時(shí)，MaskinRiley(2000a)還在非常一般的意義下證明了強(qiáng)的買者更偏好二級(jí)價(jià)格拍賣，而弱的買者更偏好一級(jí)價(jià)格拍賣。自然的問題是:在價(jià)值分布對(duì)稱情形中，價(jià)值分布所描述的競爭力對(duì)均衡行為影響的比較靜態(tài)性質(zhì)如何?本文在對(duì)稱獨(dú)立私人價(jià)值一級(jí)價(jià)格拍賣框架下，討論允許競價(jià)者具有風(fēng)險(xiǎn)偏好情況下競價(jià)者的價(jià)值分布對(duì)競價(jià)行為及均衡的影響。在此基礎(chǔ)上，后續(xù)的研究可討論其他特征，比如競爭性和風(fēng)險(xiǎn)偏好對(duì)收入的影響、不同拍賣方式之間的比較，以及考慮其他因素和限制后相應(yīng)

7、影響的變化等。    描述分布的變化的基本方式是隨機(jī)序。隨機(jī)序經(jīng)過幾十年的發(fā)展已廣泛應(yīng)用于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的各分支領(lǐng)域及其相關(guān)領(lǐng)域，如可靠性、排隊(duì)論、生存分析、經(jīng)濟(jì)學(xué)、保險(xiǎn)、精算、金融學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、管理科學(xué)。ShakedShanthikumar(2007)的著作Stochastic Orders對(duì)隨機(jī)序的發(fā)展給予了較為全面的總結(jié)，然而隨機(jī)序過去的研究本質(zhì)上限于不確定性與風(fēng)險(xiǎn)環(huán)境中的決策問題?，F(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)近二十年來的發(fā)展突出的特點(diǎn)是研究信息不對(duì)稱環(huán)境下經(jīng)濟(jì)中個(gè)體的(互動(dòng))行為及其對(duì)經(jīng)濟(jì)的后果，隨機(jī)序在博弈中的應(yīng)用卻研究不多，這與經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展潮流顯然是不相適應(yīng)的。本文從研

8、究對(duì)稱獨(dú)立私人價(jià)值拍賣的比較靜態(tài)分析的要求出發(fā)，闡述了隨機(jī)序在不完全信息博弈中的應(yīng)用。    我們將看到即使是最強(qiáng)的經(jīng)典隨機(jī)序，如一階隨機(jī)占優(yōu)和二階隨機(jī)占優(yōu)，也不能導(dǎo)出明確的比較靜態(tài)分析結(jié)果。因此，首先本文從不完全信息博弈的研究角度出發(fā)系統(tǒng)梳理和總結(jié)近年來博弈論文獻(xiàn)中所使用的和新引入的隨機(jī)序，并對(duì)各隨機(jī)序之間的相互關(guān)系進(jìn)行了完整的概括，還通過評(píng)述給出了經(jīng)典隨機(jī)序細(xì)化的出發(fā)點(diǎn)和基本思路，為進(jìn)一步研究提供了啟示。通過拍賣這一典型的不完全信息博弈問題，為隨機(jī)序的研究和應(yīng)用展現(xiàn)了嶄新的領(lǐng)域和方向。    二、經(jīng)典的隨機(jī)序  

9、;  經(jīng)典隨機(jī)序的概念產(chǎn)生于風(fēng)險(xiǎn)和不確定性環(huán)境中的決策問題。這類問題的本質(zhì)是，人們企圖在一系列可供選擇的隨機(jī)支付中尋找自己最滿意的隨機(jī)支付。這就涉及一個(gè)最基本問題:不同隨機(jī)支付之間的比較。對(duì)于特定個(gè)體而言，這一比較(偏好序)往往可以用所謂的期望效用來刻畫。    然而為了得到不同隨機(jī)支付的某些特征，我們希望有一個(gè)不依賴于特定個(gè)體的比較關(guān)系，盡管這一比較關(guān)系可能不是一個(gè)全序關(guān)系。    兩個(gè)最常見的隨機(jī)序是:一階隨機(jī)占優(yōu)和二階隨機(jī)占優(yōu)。設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量ZA和ZB，其分布函數(shù)分別為FA和FB，兩種隨機(jī)占優(yōu)分別定義為:一階隨機(jī)占優(yōu):

10、稱ZA一階隨機(jī)占優(yōu)于ZB，或FA一階隨機(jī)占優(yōu)于FB，記作ZA±FSDZB，或者FA±FSDFB，如果FA(z)FB(z)，對(duì)一切z(1)二階隨機(jī)占優(yōu):稱ZA二階隨機(jī)占優(yōu)于ZB，或FA二階隨機(jī)占優(yōu)于FB，記作ZA±SSDZB，或者FA±SSDFB，如果zFA(x)dxzFB(x)dx，對(duì)一切z(2)一階隨機(jī)占優(yōu)是一個(gè)較強(qiáng)的序關(guān)系，其含義是:對(duì)任意給定的水平z，ZA高于這一水平的概率大于ZB高于這一水平的概率。也就是說，依分布的意義下，ZA比ZB有更高的取值水平。這一含義可以由下列等價(jià)條件更明確地表示。    148 

11、   龍永紅:經(jīng)典隨機(jī)序的細(xì)化與不完全信息博弈的比較靜態(tài)分析命題1:ZA±FSDZB當(dāng)且僅當(dāng)存在非負(fù)的隨機(jī)變量使得ZA=dZB+(3)其中=d表示依分布相等。一階隨機(jī)占優(yōu)的這一基于收益水平高低的含義，也可以通過關(guān)注支付水平高低的那些個(gè)體的共同偏好關(guān)系來給予刻畫。對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)支付ZA和ZB，一方面，如果ZA±FSDZB，那么，所有不知足的個(gè)體更偏好ZA;反過來，如果所有不知足的個(gè)體都更偏好ZA，那么，必有ZA±FSDZB。正式地，有下列命題:命題2:ZA±FSDZB當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)一切單調(diào)遞增的效用函數(shù)u，有Eu(ZA)Eu(ZB)(4)二階

12、隨機(jī)占優(yōu)是比一階隨機(jī)占優(yōu)弱的序關(guān)系，事實(shí)上，一階隨機(jī)占優(yōu)可導(dǎo)出二階隨機(jī)占優(yōu)。從含義上，二階隨機(jī)占優(yōu)不單從支付水平上來衡量，還要考慮支付的風(fēng)險(xiǎn)狀況，這一含義可以通過那些不知足且厭惡風(fēng)險(xiǎn)的個(gè)體的共同偏好關(guān)系來刻畫。相應(yīng)地，與命題1和命題2對(duì)照，關(guān)于二階隨機(jī)占優(yōu)有下列命題:命題3:ZA±SSDZB當(dāng)且僅當(dāng)存在隨機(jī)變量使得ZB=dZA+，其中E|ZA0(5)命題4:ZA±SSDZB當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)一切單調(diào)遞增的凹效用函數(shù)u，有Eu(ZA)Eu(ZB(6)從分布函數(shù)的特征來看，一階隨機(jī)占優(yōu)不允許分布函數(shù)交叉，這樣的隨機(jī)序稱為單調(diào)序;二階隨機(jī)序則允許分布函數(shù)發(fā)生交叉，甚至可以多次交叉。特別地

13、，對(duì)單個(gè)交叉情形，我們有二階隨機(jī)占優(yōu)的一個(gè)充分條件。    命題5:假設(shè)EZ    AEZB，而且存在實(shí)數(shù)c，當(dāng)zc時(shí)，F(xiàn)A(z)FB(z);當(dāng)zc時(shí)，F(xiàn)A(z)FB(z)，則ZA±SSDZB。    三、一階隨機(jī)占優(yōu)的細(xì)化    隨機(jī)占優(yōu)關(guān)系在許多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，然而在一些具體領(lǐng)域，即使是較強(qiáng)的隨機(jī)占優(yōu)一階隨機(jī)占優(yōu)有可能不能導(dǎo)出明確的結(jié)論，人們于是考慮對(duì)經(jīng)典的隨機(jī)占優(yōu)關(guān)系進(jìn)行細(xì)化(ShakedShanthikumar，2007)。本節(jié)先討論一階隨機(jī)占優(yōu)的細(xì)化，

14、也就是說這里的隨機(jī)序主要涉及的是隨機(jī)支付水平的高低，并不涉及風(fēng)險(xiǎn)狀況。為了方便起見，我們假設(shè)ZA和ZB均有有限的均值，分布函數(shù)FA和FB的支撐為z，珋z，0z珋z，假設(shè)FA和FB在該支撐集上是二階連續(xù)可微的，且密度函數(shù)fA和fB在該支撐集上是嚴(yán)格正的。    1單調(diào)似然比序(Monotone Likelihood Ratio(MLR)Order)定義1:分布函數(shù)FA和FB稱為滿足單調(diào)似然比序，記作FAMLRFB，如果它們的密度比L(z)=fA(z)fB(z)是嚴(yán)格增的。    這一序關(guān)系由Milgrom(1981)引入到信息經(jīng)濟(jì)學(xué)中，

15、Athey(2002)利用MLR序得到了不完全信息博弈中的單調(diào)比較靜態(tài)關(guān)系。    2致險(xiǎn)率(或失效率)占優(yōu)(Hazard Rate Dominance)定義2:稱分布函數(shù)FA致險(xiǎn)率占優(yōu)于FB，記作FAHRDFB，如果對(duì)一切zz，珋z)，有A(z)B(z)，其中A(z)，B(z)分別為FA和FB的致險(xiǎn)率，即A(z)fA(z)1FA(z)。    3單調(diào)概率比序(Monotone Probability Ratio(MPR)Order)1492011年增2期定義3:分布函數(shù)FA和FB稱為滿足單調(diào)概率比序，記作FAMPRFB，如果對(duì)一切z

16、(z，珋z，概率比P(z)=FA(z)FB(z)是嚴(yán)格增的。    也就是說，對(duì)(z，珋z中的任意xy，有FA(x)FB(x)FA(y)FB(y)(7)易知，這等價(jià)于對(duì)一切z(z，珋z，A(z)=fA(z)FA(z)fB(z)FB(z)=B(z)(8)比率(z)在統(tǒng)計(jì)學(xué)上被稱為“逆險(xiǎn)率”(Reverse Hazard Rate)，因而MPR也稱為逆險(xiǎn)率占優(yōu)(如Shaked and Shanthikumar，1994)。MPR分別獨(dú)立地由EeckhoudtGollier(1995)在考慮不確定性決策，Lebrun(1998)和MaskinRiley(2000a)考慮

17、一級(jí)價(jià)格拍賣時(shí)引入到經(jīng)濟(jì)學(xué)中。在MaskinRiley(2000a)的版本中將這一隨機(jī)序稱為“條件隨機(jī)占優(yōu)”，這是因?yàn)橹嘏攀?7)可得:對(duì)(z，珋z中的任意xy，有P(ZAx|ZAy)=FA(x)FA(x)FB(x)FB(y)=P(ZBx|ZBy)(9)上述三個(gè)隨機(jī)序之所以稱為一階隨機(jī)占優(yōu)的細(xì)化，是因?yàn)樗鼈兌寄軐?dǎo)出一階隨機(jī)占優(yōu)。事實(shí)上，這些隨機(jī)序以及一階隨機(jī)占優(yōu)有下列關(guān)系:四、二階隨機(jī)占優(yōu)的細(xì)化正如前面分析的，在一些不同領(lǐng)域，為導(dǎo)出明確的結(jié)論，需對(duì)一階隨機(jī)占優(yōu)進(jìn)行細(xì)化。然而，一階隨機(jī)占有的細(xì)化，局限于在分布意義下取值水平高低的比較，不涉及到取值的分散程度，從而將許多有趣的情形排除在外，比如在保

18、均值的分布類中分散的影響。分散在經(jīng)濟(jì)學(xué)中通常用來衡量風(fēng)險(xiǎn)，有時(shí)也有其他含義，比如，在福利經(jīng)濟(jì)學(xué)中可以用來衡量收入和財(cái)富的不平等;在競爭經(jīng)濟(jì)學(xué)中，用來衡量競爭性程度等。考慮分散的經(jīng)典隨機(jī)序就是二階隨機(jī)占優(yōu)，然而在許多具體的領(lǐng)域里二階隨機(jī)占優(yōu)不能導(dǎo)出明確的結(jié)論，因此類似一階隨機(jī)占優(yōu)需要細(xì)化一樣二階隨機(jī)占優(yōu)也需要細(xì)150龍永紅:經(jīng)典隨機(jī)序的細(xì)化與不完全信息博弈的比較靜態(tài)分析化。通過細(xì)化，我們既可以將一階隨機(jī)占優(yōu)作為其特例，還可以包含那些是二階隨機(jī)占優(yōu)但不是一階隨機(jī)占優(yōu)的情形。事實(shí)上，命題5提供了二階隨機(jī)占優(yōu)的一個(gè)直接的細(xì)化，這就是所謂單一交叉序。    1單一交叉序(S

19、ingle-Crossing(SC)Order)定義4:分布函數(shù)FA和FB稱為滿足單一交叉序，記作FASCFB，如果EZAEZB，而且存在實(shí)數(shù)c，當(dāng)zc時(shí)，F(xiàn)A(z)FB(z);當(dāng)zc時(shí)，F(xiàn)A(z)FB(z)。    命題5證明了單一交叉序是二階隨機(jī)占優(yōu)的，另一方面，容易看出二階隨機(jī)占優(yōu)允許分布函數(shù)有多個(gè)交叉，因而不必是單一交叉序，說明單一交叉序是二階隨機(jī)占優(yōu)的真細(xì)化。雖然這一細(xì)化是直接的，一方面將一階隨機(jī)序不允許交叉放寬到允許交叉，另一方面它加強(qiáng)了二階隨機(jī)占優(yōu)的條件，只允許一個(gè)交叉，這為得到其他細(xì)化提供了啟示。下面的各細(xì)化序正是在放寬一階隨機(jī)占優(yōu)的細(xì)化的基礎(chǔ)上得

20、到的，其基本思路是將前一節(jié)中的單調(diào)序放寬到允許單峰的情形。    定義5:一個(gè)函數(shù)f(z)稱為單峰的，如果存在z，當(dāng)zz時(shí)，f(z)嚴(yán)格遞增;當(dāng)zz時(shí)，f(z)嚴(yán)格遞減。    一個(gè)大家熟知的結(jié)論是:所有對(duì)數(shù)凹的函數(shù)是單峰的。    2單峰似然比序(Unimodal Likelihood Ratio(ULR)Order)定義6:分布函數(shù)FA和FB稱為滿足單峰似然比序，記作FAULRFB，如果EZAEZB而且似然比L(z)=fA(z)fB(Z)是單峰的。    這一隨機(jī)序最早由

21、Ramos et al(2000)引入。顯然，如果L(z)是對(duì)數(shù)凹，即logL(z)是凹的，且EZAEZB，則FAULRFB。此外，唯一的峰值在支撐集的上限珋z達(dá)到時(shí)，我們便得到單調(diào)似然比序作為其特例。    3單峰概率比序(Unimodal Probability Ratio(UPR)Order)定義7:分布函數(shù)FA和FB稱為滿足單峰概率比序，記作FAUPRFB，如果EZAEZB，而且分布函數(shù)比P(z)=FA(z)FB(z)是單峰的。    與似然比情形一樣，如果P(z)是對(duì)數(shù)凹，即logP(z)是凹的，且EZAEZB，則FAUPB

22、FB。    此外，唯一的峰值在支撐集的上限珋z達(dá)到時(shí)，我們便得到單調(diào)概率比序作為其特例。    4單調(diào)累計(jì)概率比序(Monotone Cumulative Probability Ratio(MCR)Order)定義8:分布函數(shù)FA和FB稱為滿足單調(diào)累積概率比序，記作FAMCRFB，如果累積概率比C(z)=zzFA(x)dxzzFB(x)dx(10)在(z，珋z)上嚴(yán)格遞增。    這一隨機(jī)序是由HopkinsKornienko(2003)和Long(2009)獨(dú)立引入的，在Long(2009)的版本中

23、使用的是其等價(jià)定義:對(duì)一切z(z，珋z)，有zzFA(x)dxFA(x)zzFB(x)dxFB(x)(11)并將這一關(guān)系與逆險(xiǎn)率占優(yōu)比較，同時(shí)通過與一階隨機(jī)占優(yōu)與二階隨機(jī)占優(yōu)形式上的類比，繼而將這一序關(guān)系稱為二階逆險(xiǎn)率占優(yōu)。    接下來，我們給出這些隨機(jī)序及其與二階隨機(jī)序之間的關(guān)系。    151    2011年增2期五、對(duì)稱獨(dú)立私人價(jià)值一級(jí)價(jià)格拍賣的比較靜態(tài)本節(jié)開始我們將展示如何將分布的隨機(jī)序應(yīng)用于不完全信息博弈的比較靜態(tài)分析，作為不完全信息博弈的典型代表拍賣為我們提供了基本的分析框架。我們這里主要

24、討論拍賣，其分析方法適用于許多其他重要的博弈，如壟斷博弈、信號(hào)博弈等。為簡單起見，我們考慮對(duì)稱獨(dú)立私人價(jià)值一級(jí)價(jià)格拍賣。所有競價(jià)者將自己的出價(jià)密封上報(bào)給拍賣者，遞交最高出價(jià)的競價(jià)者將贏得拍賣品，支付的價(jià)格是他自己的報(bào)價(jià)。我們將分析在適當(dāng)?shù)碾S機(jī)序意義下競價(jià)者價(jià)值分布的變化對(duì)競價(jià)者行為及博弈均衡的影響。    1基本模型    假設(shè)有n2個(gè)競價(jià)者競買一個(gè)單位的不可分的物品，每個(gè)競價(jià)者對(duì)物品的估價(jià)是一個(gè)私人價(jià)值，即每個(gè)競價(jià)者的信息不影響其他競價(jià)者的偏好。正式地說，每個(gè)競價(jià)者知道自己對(duì)物品的估值vi，不知道其他競價(jià)者的估值，但知道其他競價(jià)者的

25、估值相互獨(dú)立都服從一個(gè)已知的共同的分布F。在一級(jí)價(jià)格拍賣中，每個(gè)競價(jià)者同時(shí)提交一個(gè)出價(jià)，最高出價(jià)者贏得拍賣品，并支付其提交的出價(jià)。    假設(shè)F的支撐為z，珋z，0z珋z在該支撐集上是二階連續(xù)可微的，且密度函數(shù)f在支撐集上是嚴(yán)格正的。每個(gè)個(gè)體的von Newmann-Morgenstenstern效用函數(shù)為U(·)，假設(shè)U(·)是嚴(yán)格增的凹函數(shù)，U(0)=0。于是一個(gè)估值為z，出價(jià)為x的競價(jià)者在贏得拍賣品時(shí)獲得的報(bào)酬為U(zx)，否則報(bào)酬為0。    假設(shè)所有競價(jià)者采用同一個(gè)遞增的可微的策略x(z)，那么一個(gè)估值為

26、z的競價(jià)者，如果出價(jià)為x(z)，即按照估值為z出價(jià)，那么他的期望效用為:V(x(z，z，zi)=Fn1(z)U(zx(z)(12)關(guān)于z求導(dǎo)，并取z=z得一階條件x'(z)=(n1)f(z)U(zx)F(z)U'(zx)=(n1)(z)(x，z)(13)其中(z)=f(z)F(z)為逆險(xiǎn)率函數(shù)，(x，z)=U(zx)U'(zx)。    命題6:MaskinRiley(2000b，2003)微分方程(13)滿足初始條件x(z)=z的唯一解是一級(jí)價(jià)格拍賣的一個(gè)對(duì)稱均衡，而且在(z，珋z上唯一。    2單調(diào)比較靜

27、態(tài)關(guān)系    在比較靜態(tài)中，我們企圖考察分布函數(shù)的變化對(duì)均衡出價(jià)的影響，而所謂單調(diào)比較靜態(tài)，則企圖尋找合適隨機(jī)序以便能夠?qū)С鲆粋€(gè)一致的更為積極的出價(jià)。具體而言，假設(shè)在兩個(gè)一級(jí)價(jià)格拍賣中，其他條件相同，但價(jià)值分布分別為分布函數(shù)FA和FB。為簡單起見，假設(shè)其支撐均為z，珋z，0z珋z，假設(shè)FA和FB在該支撐集上是二階連續(xù)可微的，且密度函數(shù)fA和fB在該支撐集上是嚴(yán)格正的。我們關(guān)心的是FA和FB滿足何種序關(guān)系時(shí)能夠?qū)е孪鄳?yīng)的均衡出價(jià)滿足:對(duì)一切z(z，珋z)，xA(z)xB(z)。    拍賣理論的經(jīng)典結(jié)果，大多假設(shè)競價(jià)者是風(fēng)險(xiǎn)中性的，許多

28、后續(xù)研究延續(xù)這一假設(shè)。為了獲得152龍永紅:經(jīng)典隨機(jī)序的細(xì)化與不完全信息博弈的比較靜態(tài)分析討論的起點(diǎn)，我們首先也考察最簡單的情形風(fēng)險(xiǎn)中性的情形。    在風(fēng)險(xiǎn)中性情形，每個(gè)競價(jià)者擁有線性的效用函數(shù)，于是微分方程(13)的解為:x(z)=z珋ztdG(t)G(z)=zz珋ztdG(t)dtG(z)=EY|Yz(14)其中G(z)=Fn1(z)，Y是服從分布G的隨機(jī)變量，即n1個(gè)相互獨(dú)立服從分布F的隨機(jī)變量的最大順序統(tǒng)計(jì)量。于是一個(gè)顯然的比較靜態(tài)結(jié)果是:命題7:在風(fēng)險(xiǎn)中性情形，對(duì)一切z(z，珋z)，xA(z)xB(z)，當(dāng)且僅當(dāng)GAMCRGB。  

29、  根據(jù)這一結(jié)論，我們認(rèn)識(shí)到:(1)在一般情形要得到單調(diào)的比較靜態(tài)結(jié)果，累積概率比序已經(jīng)是最弱的序關(guān)系條件，不能再改進(jìn);(2)盡管累積概率比序涉及到分布的分散性，但由于在風(fēng)險(xiǎn)中性下，競價(jià)者者并不關(guān)心分散的程度，因而仍然能得到單調(diào)的比較靜態(tài)結(jié)果;(3)當(dāng)考慮競價(jià)者具有風(fēng)險(xiǎn)偏好時(shí)，要導(dǎo)出單調(diào)比較靜態(tài)需要更強(qiáng)的序關(guān)系條件，特別地需要反映取值水平高低的序條件，這樣的序條件來自于一階隨機(jī)占優(yōu)的細(xì)化，因而這些條件必然是風(fēng)險(xiǎn)中性情形單調(diào)比較靜態(tài)結(jié)果的充分條件而非必要條件。    注意到G    AMPRGB可以導(dǎo)出GAMCRGB，而前者又

30、等價(jià)于FAMPRFB，因而有:推論1:在風(fēng)險(xiǎn)中性情形，如果FAMPRFB，則對(duì)一切z(z，珋z)，xA(z)xB(z)。    接下來討論允許競價(jià)者具有風(fēng)險(xiǎn)偏好的情形。Long(2009)討論了允許競價(jià)者具有對(duì)數(shù)凹的效用函數(shù)的情形，結(jié)論表明單調(diào)概率比序仍然是保證單調(diào)比較靜態(tài)的充分條件。    命題8:設(shè)競價(jià)者具有相同的嚴(yán)格增的對(duì)數(shù)凹的效用函數(shù)，如果FAMPR FB，則對(duì)一切z(z，珋z)，xA(z)xB(z)。    對(duì)數(shù)凹效用函數(shù)擴(kuò)展了凹效用函數(shù)，從而允許競價(jià)者非風(fēng)險(xiǎn)厭惡的情形，這一點(diǎn)的重要性在于它在一

31、定程度上反映一階隨機(jī)占優(yōu)只涉及取值高低的含義。Athey(2002)證明了在凹效用函數(shù)情形，單調(diào)似然比序是保證單調(diào)比較靜態(tài)的充分條件;由于單調(diào)似然比序可以導(dǎo)出單調(diào)概率比序(即逆險(xiǎn)率占優(yōu))，因而它可視為命題8的特例。這一結(jié)果的基本含義是，在逆險(xiǎn)率占優(yōu)意義下，當(dāng)競價(jià)者的分布越強(qiáng)時(shí)，每個(gè)競價(jià)者均衡出價(jià)會(huì)越積極;直觀上，一個(gè)競價(jià)者具有越高的價(jià)值，在與其他競價(jià)者相互競爭中，為了獲得拍賣品具有越高的出價(jià)空間，也就是說具有越高的競爭力。在不完全信息下，如果競價(jià)者普遍以越大的概率給予拍賣品更高的估價(jià)，在競價(jià)者相互的競爭中，人們普遍在更高的出價(jià)下仍然有利可圖，并且預(yù)期到這一點(diǎn)，人們也只有在出更高的價(jià)格時(shí)才能保證

32、以較大的概率贏得拍賣，最終導(dǎo)致均衡出價(jià)會(huì)更積極。    3非單調(diào)比較靜態(tài)    非單調(diào)的比較靜態(tài)來自于我們考慮價(jià)值分布的另一類變化:價(jià)值分布變得更加集中，對(duì)私人價(jià)值拍賣而言，這意味著競價(jià)者群體更加同質(zhì)化;對(duì)公共價(jià)值拍賣而言這意味著所有參加者獲得關(guān)于拍賣品價(jià)值的更精確的信息。一個(gè)直觀的看法是這會(huì)導(dǎo)致競價(jià)者的出價(jià)更具有競爭性，KagelLevin(1986)通過特殊的函數(shù)形式證實(shí)了這一看法。然而在一般情況下，它是否正確?HopkinsKornienko(2003)給出了回答:命題9:如果FAUPR FB，則要么對(duì)一切z(z，珋z)，xA(

33、z)xB(z)，要么存在一點(diǎn)z*，z*argmaxP(z)，使得xA(z*)=xB(z*)，且對(duì)一切z(z，z*)，xA(z)xB(z);對(duì)一切z(z*，珋z)，xA(z)xB(z)。    命題9表明，KagelLevin(1986)通過特殊的函數(shù)形式證實(shí)的價(jià)值分布越集中導(dǎo)致競價(jià)者的出價(jià)更具有競爭性的直觀看法，并不具有普遍性。因?yàn)槭聦?shí)上命題9表明，隨著分布集中，可能存在某個(gè)值，那些相對(duì)較低價(jià)值的競價(jià)者出價(jià)會(huì)更積極，而那些相對(duì)高價(jià)值的競價(jià)者可能會(huì)出價(jià)更消1532011年增2期極。直觀上價(jià)值相對(duì)較低的競價(jià)者預(yù)期到對(duì)手有較集中的較高的價(jià)值，因而為了提高贏得拍賣的概率會(huì)

34、更積極地出價(jià)，而價(jià)值相對(duì)較高的競價(jià)者預(yù)期對(duì)手有較集中的較低的價(jià)值，從而為了獲得拍賣的收益會(huì)壓低出價(jià)，即出價(jià)更消極。命題9指出了這個(gè)決定更消極還是更積極出價(jià)的臨界價(jià)值處在大于概率比的單峰的位置，但沒有指出具體位置和存在性。KagelLevin(1986)特殊的函數(shù)形式構(gòu)造的例子正好屬于不存在這一臨界值的情形。    參考文獻(xiàn)    龍永紅，2009:競爭性、風(fēng)險(xiǎn)偏好與競價(jià)行為，武漢大學(xué)博士論文。    Athey，S，2002，“Monotone Comparative Statics under Unce

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