1、1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.圓錐曲線常用結(jié)論(自己選擇) 橢 圓點(diǎn)P處的切線 PT平分 PFF2在點(diǎn)P處的外角.PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線 PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn) 以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離.以焦點(diǎn)半徑PR為直徑的圓必與以長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切.2 2若Po(Xo,yo)在橢圓 篤 再=1上，則過(guò)Po的橢圓的切線方程是 暫轡 =1.a ba bX2y2若Po(Xo,yo)在橢圓2 =1外，則過(guò)Po作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2,則切點(diǎn)a b弦P1P2的直線方程是習(xí)嚳"a2b22 2X

2、 y橢圓2 =1 (a > b > 0)的左右焦點(diǎn)分別為F1, F2，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)a by-F1PF2二，則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為S.PPF2二b2tan.2 2橢圓一2 '與=1 (a > b > 0)的焦半徑公式：a b| MF1 |=a 飛心MF?卜a -e«( R(-c,0) , F2(c,0) M (x°, y。).設(shè)過(guò)橢圓焦點(diǎn)F作直線與橢圓相交 P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn) F的橢圓準(zhǔn)線于 M N兩點(diǎn)，貝U MFL NF.過(guò)橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于兩點(diǎn) P、Q, A、A為橢圓長(zhǎng)軸

3、上的頂點(diǎn)，AP和A2Q交于點(diǎn)M, A2P和AQ交于點(diǎn) N貝U MFLNF.2AB是橢圓kOM kAB x y22 =1的不平行于對(duì)稱軸的弦，M(X°,y°)為AB的中點(diǎn)，b2a b2 )ab2Xo20a yo2若Po(Xo, yo)在橢令 % = 1內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程a b 2Xox yoy _ X。yob2a2b22a22若Po(xo, yo)在橢圓X y22=1內(nèi)，則過(guò)Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程a b2y x°xyoy2 = Z £b a b二、雙曲線點(diǎn)P處的切線 PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角.PT平分 PFF2在點(diǎn)P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)

4、在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交.2xa1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.實(shí)用文案以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切.(內(nèi)切：P在右支；外切:P在左支)若Po(x°, yo)在雙曲線2 2X y =1 (a>0,b >0)是xoxyo y胡a2b2若Po(Xo, yo)在雙曲線2一 .2ab22Xy上，則過(guò)Po的雙曲線的切線方程2 2 =1 (a > 0,b > 0) a b外，則過(guò)Po作雙曲線的兩條切2 2雙曲線爲(wèi)一爲(wèi)=1a2 b2點(diǎn)FfF2 二,(a

5、>0,b >o)的焦半徑公式：(F-cQ),F2(c,0)2 2AB是雙曲線二丄a的中點(diǎn)，貝U KomK ABb2Xo若P°(X0, y°)在雙曲線方程是弩一迪a2b212a yo2 X2y2 ab22)2yo2b2.,即 K AB二 b2Xo_20a yo=1 (a>0,b >0)內(nèi)，則被 Po所平分的中點(diǎn)弦的線切點(diǎn)為P1、Pa,則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是 弩一智 =1.a b(a>0,b >o)的左右焦點(diǎn)分別為F1, F2,點(diǎn)P為雙曲線上任意則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為S -f1pf b2cot-.2 2 雙曲線篤亠-1a2 b2當(dāng)

6、M (xo, yo)在右支上時(shí)，| MF1 I二 exo a , | MF2 exo - a .當(dāng) M (xo, yo)在左支上時(shí)，| MF11 - -exo a , | MF21 - -ex()- a設(shè)過(guò)雙曲線焦點(diǎn)F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn),連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn) F的雙曲線準(zhǔn)線于 M N兩點(diǎn)，則MFL NF.過(guò)雙曲線一個(gè)焦點(diǎn) F的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P、Q, A、A為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn),AP和A2Q交于點(diǎn) M A2P和AQ交于點(diǎn) N,貝U MFL NF.2 =1 (a> 0,b >0)的不平行于對(duì)稱軸的弦，M(Xo, yo)為ABb13.

7、2 2Xy若P0( x0 , y0)在雙曲線2 -1ab(a>0,b >0)內(nèi)，則過(guò) Po的弦中點(diǎn)的軌跡方1.2.3.4.程是篤a2 2 _ 2 b a b橢圓與雙曲線的對(duì)偶性質(zhì)橢(會(huì)推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論) 圓2X橢圓二 2 =1 ( a> b > o)的兩個(gè)頂點(diǎn)為 A(-a,0), A2(a,0)，與y軸平行的直a b線交橢圓于Pi、P2時(shí)A1P1與AP交點(diǎn)的軌跡方程是2 22 2a b過(guò)橢圓a線交橢圓于當(dāng)=1 (a > 0, b > 0)上任一點(diǎn)A(x0, y0)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直 bb2XB,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且kBC° (常數(shù)).2a

8、 y。若P為橢圓2=1 (a > b > 0)上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F 1, F 2是焦點(diǎn)，a b任 a - cot PPF1F，,PF2R =，貝Utan cot2 22 2X y設(shè)橢圓2 =1 (a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P (異于長(zhǎng)軸端點(diǎn))為橢圓上a b任意一點(diǎn)，在 PF1F2 中，記 FFF2 = ： , PF1F F1F2 ，則有sin ：c=e sin，亠 sina2 2X y5.若橢圓二 2 =1 (a> b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,左準(zhǔn)線為L(zhǎng),則當(dāng)0a bvew .2 -1時(shí)，可在橢圓上求一點(diǎn)P,使得PR是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距

9、離d與PF>的比例中項(xiàng).2 26. P為橢圓 令=1 (a> b> 0) 上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，a b則2|AF2|PA| |PF12a IAF1I,當(dāng)且僅當(dāng)A,F2,P三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成7.橢圓(X -X°)22a.(y -y。)2b2-1與直線 Ax B C=0有公共點(diǎn)的充要條件是2 2 2 2 2A a B b - (Ax0 By0 C).8.x2 y已知橢圓 r 牙=(a > b> 0),0為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且OP_OQ. b12|OQ|a2b2-2 r2 .a b114a2b2二 r -2 ； ( 2)

10、 |0P| 2+|OQ|2 的最大值為 r2 ； (3) S-opqa ba b的最小值是9.10.11.12.MN的垂直平分線交線與x軸相交于點(diǎn)2設(shè)P點(diǎn)是橢圓x2a記.EPF? - vx軸于P,則= e| MN |2=1 ( a >b > 0) ,A、B、是橢圓上的兩點(diǎn)， 線段AB的垂直平分2 . 2 2 . 2a ba bP(x0,0),貝Vx° :a2待1 ( a > b>0)上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為其焦點(diǎn)2 b2L<則円汗即川%.八 PRF22 2與( a > b > 0 )的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，a b PAB

11、= ： , PBA = 1 , BPA二,c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有2ab2|cos： |:22a2b2(1) |PA| 222.(2) tan - tan - =1e .(3) S pab 22 cot .a c cos fb a設(shè)A B是橢圓c、2 2x v過(guò)橢圓r 2=1 (a> b>0)的右焦點(diǎn)F作直線交該橢圓右支于 M,N兩點(diǎn)，弦a b2 2X V13.已知橢圓飛 亍=1 ( a > b> 0)的右準(zhǔn)線I與x軸相交于點(diǎn)E ,過(guò)橢圓右焦點(diǎn)Fa b的直線與橢圓相交于 A B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線I上，且BC _ X軸，則直線 AC經(jīng)過(guò)線段EF的中點(diǎn).14.過(guò)

12、橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直15.過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn),則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.16.橢圓焦三角形中，內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).(注 :在橢圓焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn).)17.橢圓焦三角形中內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.18.橢圓焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng)雙曲線1.2雙曲線一22=1 (a>0,b > 0)的兩個(gè)頂點(diǎn)為 Aa,0) , A2(a,0),與y軸a b2 2平

13、行的直線交雙曲線于P1、P2時(shí)AP1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是 冷+厶=1.a2b22.22x y過(guò)雙曲線 2 =1 (a>0,b >o) 上任一點(diǎn) A(x0,y°)任意作兩條傾斜角互a b補(bǔ)的直線交雙曲線于 B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且kBC二-聖a y(常數(shù)).3.2 2x y右P為雙曲線一22=1 (a > 0,b >0)右(或左)支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，F(xiàn) 1,a bF 2 是焦點(diǎn)，.PRF2 -， PF2F '：，則cat a l co 4 (或 c a 224.2 2設(shè)雙曲線篤占=1 (a>0,b >0)a2 b2的兩個(gè)焦點(diǎn)為F

14、i、F2,P (異于長(zhǎng)軸端點(diǎn))為雙曲線上任意一點(diǎn)，在 PF1F2中，記 F1PF2 二:嚀2f 則有 一(sin -sin Jce. a、x2y25. 若雙曲線 2 =1 (a>0,b > 0)的左、右焦點(diǎn)分別為 F1、艮，左準(zhǔn)線為L(zhǎng),a b則當(dāng)1< e<1時(shí)，可在雙曲線上求一點(diǎn)P,使得PR是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF的比例中項(xiàng).、x2y26. P為雙曲線 2=1 (a>0,b >0) 上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A為雙曲線a b內(nèi)一定點(diǎn)，貝V | AF2 | -2a <| PA | ' | PF1 |,當(dāng)且僅當(dāng) 代F2, P三點(diǎn)共線且 P和代

15、F2在y軸同側(cè)時(shí)，等號(hào)成立x2 y27. 雙曲線 2 =1 (a> 0,b > 0)與直線Ax By0有公共點(diǎn)的充要條a b件是 A2a2 B2b2 乞 C2.、x2 y28. 已知雙曲線 2 =1 (b>a >0), O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn)，a b且 OP _ OQ .1 2 2;(2) |OP| +|0Q|的最小值為/八111(1 )2 2 2|OP |2 |OQ |2 a2 b2&2的最小值是b -a2 2過(guò)雙曲線 篤-爲(wèi)=1 (a > 0,b > 0)的右焦點(diǎn)a2 b29.M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交 x軸于P,則10.11

16、.12.13.2 222 ; (3) S -opqb -aF作直線交該雙曲線的右支于|PF | _ e| MN |22 2x y已知雙曲線 一22=1 (a> 0,b > 0) ,A、B是雙曲線上的兩點(diǎn)，a b垂直平分線與2 ,2a bx軸相父于點(diǎn) P(x0,0),則x0或x0 <a線段 AB的a2 b22 2設(shè)P點(diǎn)是雙曲線 篤-每=1 (a>0,b >0)上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，F(xiàn) 1、F2a b2 b2 為其焦點(diǎn)記 FfF2 7 ,貝U (1)|PF1 |PF2 | 一 .(2)1 - cos日2 丫S 卩證=b cot 3.x2 y2設(shè)A B是雙曲線 2 =

17、1 (a> 0,b >0)的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是雙曲線上的a b一點(diǎn)， PAB = >,- PBA=：2,. BPA = F, c、e分別是雙曲線的半焦距2|PA 匸 2ab |cosa 丨1PA. 222.|a -c cos，|2a2b2y22 cot .b2 a2離心率，則有(1)(2) tan ： tan :2=1 e .(3) S Pab2x已知雙曲線二a2斜1 (a>0,b >0的右準(zhǔn)線I與x軸相交于點(diǎn)E，過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)F的直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線I上，軸，則直線 AC經(jīng)過(guò)線段EF的中點(diǎn).14.過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線,與以長(zhǎng)軸為

18、直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直15. 過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直16. 雙曲線焦三角形中，外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e（離心率）.（注：在雙曲線焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、夕卜點(diǎn)）.17. 雙曲線焦三角形中，其焦點(diǎn)所對(duì)的旁心將外點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.18. 雙曲線焦三角形中，半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到雙曲線中心的比例中項(xiàng)其他常用公式：1、連結(jié)圓錐曲線上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱為圓錐曲線的弦，利用方程的根與系數(shù)關(guān)系來(lái)計(jì)算弦長(zhǎng)，常用的弦長(zhǎng)公式：AB = +k2風(fēng)_x2 = +占| y<i _ y22、直線的一般式方程：任何直線均可寫成 二'' - （A,B不同時(shí)為0）的形式。3、 知直線橫截