1、第第5 5章章 非線性方程的數(shù)值解法非線性方程的數(shù)值解法n二分法n簡單迭代法(收斂性，即壓縮映像原理)n牛頓法(即切線法)n割線法例：用簡單迭代法求方程 在區(qū)間（1,2）內(nèi)x=1.5附近的一個根。（宮老師課件）解：由 建立迭代關(guān)系 計(jì)算結(jié)果如下:精確到小數(shù)點(diǎn)后五位013 xx311)(kkkxxx31xx5102132472. 1x5.2 5.2 簡單迭代法簡單迭代法例：用簡單迭代法求方程 在區(qū)間（1,2）內(nèi)x=1.5附近的一個根。解：由 建立迭代關(guān)系 仍取 ，則有 ， ，顯然結(jié)果越來越大， 是發(fā)散序列。013 xx1)(31kkkxxx13 xx 5 . 10 x 2.3751x 12.39

2、2x kx5.2 5.2 簡單迭代法簡單迭代法例：證明函數(shù) 在區(qū)間 上滿足迭代收斂條件。（宮老師課件，書P18定理1）證明： 因?yàn)?所以 是區(qū)間 上的單調(diào)增函數(shù)。 而 即 ，所以 滿足條件（1）5.2 5.2 簡單迭代法簡單迭代法31)x(x2 , 1 2 , 1 0) 1(31)x(32xx)(x2 , 1 23)2(12) 1 (33，2 , 1 )2(),1 ()(x例：證明函數(shù) 在區(qū)間 上滿足迭代收斂條件。（宮老師課件，書P18定理1）證明： 又 所以 滿足條件（2）。 故 在區(qū)間 上滿足壓縮映像原理。5.2 5.2 簡單迭代法簡單迭代法31)x(x2 , 1 )(x2 , 1 143

3、1|) 1(31| )(|332xLxx31)x(x2 , 1 5.3 Steffensen5.3 Steffensen迭代法迭代法例題：例題： （宮老師課件） 試用Steffensen算法求解方程 。 解2： 對于該迭代函數(shù)在一般迭代法中是發(fā)散的，而Steffensen格式卻是收斂的。013 xxnnnnnnnnnnnxyzxyxxyzxy2)()()(21 n = 0,1,2,1)(3 xx01.52.3751.23964843711.4162929751.8409219155.23887276921.3556504421.4913982792.31727069931.3289487771

4、.3470628831.44435122441.3248044891.3251735441.32711728151.3247179441.3247181521.32471898061.3247179575.3 Steffensen5.3 Steffensen迭代法迭代法例題：例題： 取初值 5 . 10 xnxnnzny例題例題：（宮老師課件） 用牛頓法求 的近似解。解： 由零點(diǎn)定理 在 有根。 由 及牛頓迭代公式得： 5.4 5.4 牛頓迭代法牛頓迭代法0cos)(xxxf0cosxx)2, 0(xxfsin1)(,.1 , 0sin1cos1nxxxxxnnnnn書P23，式(2-10)5

5、.4 5.4 牛頓迭代法牛頓迭代法085133739. 0739085133. 0739085133. 0739085178. 0;73936133. 044*43210 xxxxxxx故取得取例題例題（宮老師課件）： 用牛頓法計(jì)算 。解： 5.4 5.4 牛頓迭代法牛頓迭代法2202)(2xxxf則及牛頓迭代公式得由xxf2)(,.1 , 0)2(212221nxxxxxxnnnnnn。，。，有十位有效數(shù)的近似值是已的精確值相比與則取332102414213562. 1414215686. 1,1.416666675 . 1xxxxx解解：211 510 ,.;ab，12ln()lnlnba

6、n 21 5 11012ln( .)lnln 4.645n例例1 1：用二分法求方程用二分法求方程 在區(qū)間在區(qū)間 上的上的根，誤差限為根，誤差限為 ，問至少需對分多少次，問至少需對分多少次？310 xx 1 1 5 , . 210 書P15例1，式(2-5)例例2： 用用二二分法求方程分法求方程 f(x)=x3 -1.8 x2 +0.15x+0.65=0 在區(qū)間在區(qū)間 0.5，1.25 的一個實(shí)的一個實(shí) 根根解：先判斷是否有解：先判斷是否有 根：根： f (0.5) =10 f (1.25) = 0 f (x) = 3x2-3.6x+0.150 所以，方程在此區(qū)間內(nèi)僅有一個實(shí)根所以，方程在此區(qū)

7、間內(nèi)僅有一個實(shí)根 x*取取 X0=(0.5+1.25)/2=0.875 n xnf(xn)的符號 隔根區(qū)間00.875 +(0.5 , 1.25 )11.0625 -(0.875 , 1.25 )20.96875 +(0.875 , 1.0625 )31.015625 -(0.96875 , 1.0625 )40.9921875 +(0.96875 , 1.015625 )561.00390625 - (0.9921875 , 1.015625 )(0.9921875 , 1.00390625 )故所求根的近似值為故所求根的近似值為:X6= (0.9921875 + 1.00390625)/2

8、=0.998046875所產(chǎn)生的誤差為:|x* -x6|=1/27(1.25-0.5)=0.005859例例2： 已知方程已知方程 在在 上有一個根（正根）上有一個根（正根）324100 xx1 2 , 下面選取下面選取5 5種迭代格式：種迭代格式：1 1、32410 xxxx 即即32410( )g xxxx 2 2、23410 xx 1321102xx 1321102g xx即即3 3、即即2104xxx 12104xxx 12104g xxx4 4、即即12104xx 12104g xx 5 5、即即xxxxxx83104223( )( )( )f xg xxfx 取取01 5 .x 計(jì)

9、算結(jié)果如下：計(jì)算結(jié)果如下：123840875673246972010275 10.xxxx 法法1 11234451113484013673813649613652613751713652251365230013.xxxxxxx 法法4 412123081650299691865086.( .)xxx 法法3 3123445112912869514025413454613751713751713751713651378211365230013.xxxxxxxx 法法2 2123413733313652613652300141365230013.xxxx 法法5 5例例1 用用Newton迭代法

10、迭代法 求方程求方程 x- sinx = 0.5 在在1 ,2 上的根上的根 ， 使其精確到使其精確到 10 4 解解 ： f(x) = x- sin x 0.5 f(1)= -0.34 0 f (x) = 1-cosx 0 , f (x) = sin x 0 滿足條件滿足條件迭代公式迭代公式 X k+1= xk - ( xk- sinxk 0.5 )/ ( 1-cos xk) 取取 x 0 =2 ( f ( x 0) f(x0) 0 ) 可求出可求出 x 1 =1.5829 x 2 =1.5009 x 3 =1.4973 x 4 =1.4973 迭代迭代4次就達(dá)到精度要求次就達(dá)到精度要求 例

11、例2 2 用用NewtonNewton迭代法求方程迭代法求方程 f(x) = xf(x) = x3 3- x -1=0 - x -1=0 在在x x0 0 =1.5 =1.5附近的一個根附近的一個根 ， 結(jié)果要求精確到結(jié)果要求精確到4 4位有效數(shù)字位有效數(shù)字解解 ： 可驗(yàn)證有根可驗(yàn)證有根取取 x x0 0=1.5 =1.5 按迭代公式按迭代公式 x x k+1k+1= x= xk k - (x - (xk k3 3-x -x k k-1)/(3x-1)/(3xk k2 2-1) -1) 計(jì)算計(jì)算x x1 1=1.3478 =1.3478 x x2 2=1.3254 =1.3254 x x 3

12、3=1.33072 =1.33072 x x4 4=1.3247 =1.3247 x x5 5=1.3247=1.3247| x| x4 4 x x5 5 |= |= 10 10 1-4 1-4 取取 x= 1.325x= 1.325若取若取 x x0 0 = 0.6 = 0.6 則迭代則迭代1111次才能達(dá)到上面的結(jié)果次才能達(dá)到上面的結(jié)果無開方運(yùn)算，又無除法運(yùn)算。無開方運(yùn)算，又無除法運(yùn)算。例例1 1：寫出求寫出求 的的Newton迭代格式；迭代格式； 寫出求寫出求 的的Newton迭代格式迭代格式, ,要求公式中既要求公式中既0()a a 10()aa 解：解：等價于求方程等價于求方程 的正根的正根200( )()f xxaa2110 1 222()(), , ,()kkkkkkkkkf xxaaxxxxkfxxx 2( )fxx 解法一：解法一：等價于求方程等價