1、教 學 設 計一、教學內容分析本節(jié)課選自普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學必修（版）第94-95頁的第三章第一課時3.1.1方程的根與函數(shù)的的零點。函數(shù)與方程是中學數(shù)學的重要內容，既是初等數(shù)學的基礎，又是初等數(shù)學與高等數(shù)學的連接紐帶。在現(xiàn)實生活注重理論與實踐相結合的今天，函數(shù)與方程都有著十分重要的應用，再加上函數(shù)與方程還是中學數(shù)學重要的基本數(shù)學思想之一，因此函數(shù)與方程在整個高中數(shù)學教學中占有非常重要的地位。就本章而言，本節(jié)通過對二次函數(shù)的圖象的研究判斷一元二次方程根的存在性以及根的個數(shù)的判斷建立一元二次方程的根與相應的二次函數(shù)的零點的聯(lián)系，然后由特殊到一般，將其推廣到一般方程與相應的函數(shù)的情形它既

2、揭示了初中一元二次方程與相應的二次函數(shù)的內在聯(lián)系，也引出對函數(shù)知識的總結拓展。之后將函數(shù)零點與方程的根的關系在利用二分法解方程中（3.1.2）加以應用，通過建立函數(shù)模型以及模型的求解（3.2）更全面地體現(xiàn)函數(shù)與方程的關系，逐步建立起函數(shù)與方程的聯(lián)系滲透“方程與函數(shù)” 思想?？傊竟?jié)課滲透著重要的數(shù)學思想 “特殊到一般的歸納思想” “方程與函數(shù)”和“數(shù)形結合”的思想，教好本節(jié)課可以為學好中學數(shù)學打下一個良好基礎，因此教好本節(jié)是至關重要的。二、學生學習情況分析地理位置：學生大多來自市區(qū)，學生接觸面較廣，個性較活躍，所以開始可采用競賽的形式調動學生積極性；學生數(shù)學基礎的差異不大，但進一步鉆研的精神

3、相差較大，所以可適當對知識點進行拓展。程度差異性：中低等程度的學生占大多數(shù)，程度較高與程度很差的學生占少數(shù)。知識、心理、能力儲備：學生之前已經學習了函數(shù)的圖象和性質，現(xiàn)在基本會畫簡單函數(shù)的圖象，也會通過圖象去研究理解函數(shù)的性質，這就為學生理解函數(shù)的零點提供了幫助，初步的數(shù)形結合知識也足以讓學生直觀理解函數(shù)零點的存在性，因此從學生熟悉的二次函數(shù)的圖象入手介紹函數(shù)的零點，從認知規(guī)律上講，應該是容易理解的。再者一元二次方程是初中的重要內容，學生應該有較好的基礎對于它根的個數(shù)以及存在性學生比較熟悉，學生理解起來沒有多大問題。這也為我們歸納函數(shù)的零點與方程的根聯(lián)系提供了知識基礎。但是學生對其他函數(shù)的圖象

4、與性質認識不深（比如三次函數(shù)），對于高次方程還不熟悉，我們缺乏更多類型的例子，讓學生從特殊到一般歸納出函數(shù)與方程的內在聯(lián)系，因此理解函數(shù)的零點、函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系應該是學生學習的難點。加之函數(shù)零點的存在性的判定方法的表示抽象難懂。因此在教學中應加強師生互動，盡多的給學生動手的機會，讓學生在實踐中體驗二者的聯(lián)系，并充分提供不同類型的二次函數(shù)和相應的一元二次方程讓學生研討，從而直觀地歸納、總結、分析出二者的聯(lián)系。三、設計思想教學理念：培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣，學會嚴密思考，并從中找到樂趣教學原則：循序漸進原則，注重各個層面的學生教學方法：啟發(fā)誘導式四、教學目標知識與能力目標：理解函數(shù)零點的定義

5、，認識方程的根和函數(shù)零點之間的關系，并利用函數(shù)的圖像來研究函數(shù)的零點的分布，判斷方程的根的存在性及根的個數(shù)，掌握在某區(qū)間上圖象連續(xù)的函數(shù)存在零點的判定方法。過程與方法目標：以二次函數(shù)的圖象與對應的一元二次方程的關系為突破口，探究方程的根與函數(shù)的零點的關系，讓學生在探究過程中體驗發(fā)現(xiàn)的樂趣，通過從特殊到一般的歸納思想，提升學生的抽象和概括能力，體會數(shù)形結合和化歸的數(shù)學思想。情感態(tài)度與價值觀目標：通過本節(jié)課的學習，培養(yǎng)學生用聯(lián)系的觀點看待問題，勇于探索事物之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學生的辨證思維和分析問題及應用信息技術解決數(shù)學問題的能力。 五、教學重點、難點重點：函數(shù)零點與方程根之間的關系；連續(xù)函數(shù)在某區(qū)間

6、上存在零點的判定方法。難點：發(fā)現(xiàn)與理解方程的根與函數(shù)零點的關系；探究發(fā)現(xiàn)函數(shù)存在零點的方法。 六、教學程序設計1、方程的根與函數(shù)的零點以及零點存在性的探索1.1方程的根與函數(shù)的零點問題1：解方程（比賽）：；。再比賽解 設計意圖：問題1（產生疑問，引起興趣，引出課題）比賽模式引入，調動積極性，可根據(jù)學分評定中進行過程性評定加分獎勵，充分調動學生積極性和主動性。第三題學生無法解答，產生疑惑引入課題：教師介紹說一次方程、二次方程甚至三次方程、四次方程的解都可以通過系數(shù)的四則運算，乘方與開方等運算來表示，但高于四次的方程一般不能用公式求解，如，緊接著介紹阿貝爾（挪威）定理（五次及高于五次的代數(shù)方程沒有

7、一般的代數(shù)解法），伽羅瓦（法國）的近世代數(shù)理論，提出早在十三世紀的中國，秦九韶等數(shù)學家就提出了高次方程數(shù)值解的解法，振奮學生的民族自豪感，最后引出人們一直在研究方程的近似解方法二分法引入課題。問題2：先來觀察幾個具體的一元二次方程的根及其相應的二次函數(shù)的圖象：如圖1方程與函數(shù)方程與函數(shù)方程與函數(shù) 圖1 圖1師生互動師：教師引導學生解方程、畫函數(shù)圖象、分析方程的根與圖象和x軸交點坐標的關系，推廣到一般的方程和函數(shù)引出零點概念。零點概念：對于函數(shù) ，把使成立的實數(shù)叫做函數(shù) 的零點。師：填表格函數(shù)函數(shù)的零點方程的根生：經過獨立思考，填完表格師提示：根據(jù)零點概念，提出問題，零點是點嗎？零點與函數(shù)方程的

8、根有何關系？生：經過觀察表格，得出第一個結論師再問：根據(jù)概念，函數(shù)的零點與函數(shù)的圖象與軸交點有什么關系？生：經過觀察圖像與軸交點完成解答，得出第二個結論師：概括總結前兩個結論（請學生總結）。1）概念：函數(shù)的零點并不是“點”，它不是以坐標的形式出現(xiàn),而是實數(shù)。例如函數(shù)的零點為2）函數(shù)零點的意義：函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標3）方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點。師：引導學生仔細體會上述結論。再提出問題：如何并根據(jù)函數(shù)零點的意義求零點？生：可以解方程而得到（代數(shù)法）；可以利用函數(shù)的圖象找出零點（幾何法）問題2一方面讓學生理解函數(shù)零點的含義，另一方面通過對比讓學生

9、再次加深對二者關系的認識，使函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標到函數(shù)零點的概念轉變變得更自然、更易懂。通過對比教學揭示知識點之間的密切關系。問題3：是不是所有的二次函數(shù)都有零點？師：僅提出問題，不須做任何提示。生：根據(jù)函數(shù)零點的意義探索研究二次函數(shù)的零點情況，并進行交流，總結概括形成結論二次函數(shù)的零點：看）0，方程有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點）0，方程有兩相等實根，二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點）0，方程無實根，二次函數(shù)的圖象與軸無交點，二次函數(shù)無零點第一階段設計意圖本節(jié)的前半節(jié)一直以二次函數(shù)作為模本研究，此題是從特殊到一般的升華，也全

10、面總結了二次函數(shù)零點情況，給學生一個清晰的解題思路。進而培養(yǎng)學生歸納總結能力。1.2零點存在性的探索師生互動師：要求生用連續(xù)不斷的幾條曲線連接如圖2，兩點，觀察所畫曲線與直線的相交情況，由兩個學生上臺板書： 圖2生：兩個學生畫出連接兩點的幾條曲線后發(fā)現(xiàn)這些曲線必與直線相交。師：再用連續(xù)不斷的幾條函數(shù)曲線連接如圖兩點，引導學生觀察所畫曲線與直線的相交情況，說明連接兩點的函數(shù)曲線交點必在區(qū)間內。生：觀察下面函數(shù)的圖象（如圖3）并回答：圖3區(qū)間上_(有/無)零點；_（或）。區(qū)間上_(有/無)零點；_（或）。區(qū)間上_(有/無)零點；_（或）。師：教師引導學生結合函數(shù)圖象，分析函數(shù)在區(qū)間端點上的函數(shù)值的

11、符號情況，與函數(shù)零點是否存在之間的關系。生：根據(jù)函數(shù)零點的意義結合函數(shù)圖象，歸納得出函數(shù)零點存在的條件，并進行交流、評析總結概括形成結論：一般地，我們有：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內有零點，即存在，使得，這個也就是方程的根。第二階段設計意圖：教師引導學生探索歸納總結函數(shù)零點存在定理，培養(yǎng)歸納總結能力和邏輯思維.2、例題研究例1.已知函數(shù)有如下對應值表：21.5012109441718107函數(shù)在哪幾個區(qū)間內必有零點？為什么？設計意圖通過本例引導探索，師生互動探求1：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有時，函數(shù)在區(qū)間內沒有零點嗎？探求2：如果函

12、數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有時，函數(shù)在區(qū)間內有零點，但是否只一個零點？探求3：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且函數(shù)在區(qū)間內有零點時一定有 ？探求4：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象不是一條連續(xù)不斷的曲線，函數(shù)在區(qū)間內有零點時一定有？圖4（反例）師：總結兩個條件：1）函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線2）在區(qū)間上有一個結論：函數(shù)在區(qū)間內單調則函數(shù)在這個區(qū)間內有且只有一個零點補充：什么時候只有一個零點？（觀察得出）函數(shù)在區(qū)間內單調時只有一個零點例2求函數(shù)的零點個數(shù)問題：1）你可以想到什么方法來判斷函數(shù)零點個數(shù)？2）判斷函數(shù)的單調性，由單調性你能得該函數(shù)的單調性具有什么特性

13、？第三階段設計意圖：教師引導學生理解函數(shù)零點存在定理，分析其中各條件的作用,應用例1，例2加深對定理的理解3、練習嘗試(可根據(jù)時間和學生對知識的接受程度適當調整)1求函數(shù)，并畫出它的大致圖象2利用函數(shù)圖象判斷下列方程有沒有根，有幾個根：（1）；（2）；3利用函數(shù)的圖象，指出下列函數(shù)零點所在的大致區(qū)間：（1）；（2）；師生互動師：多媒體演示；結合圖象考察零點所在的大致區(qū)間與個數(shù)，結合函數(shù)的單調性說明零點的個數(shù)；讓學生認識到函數(shù)的圖象及基本性質（特別是單調性）在確定函數(shù)零點中的重要作用生：建議學生使用計算器求出函數(shù)的大致區(qū)間，培養(yǎng)學生的估算能力，也為下一節(jié)的用二分法求方程的近似解做準備。第四階段設

14、計意圖：利用練習鞏固新知識，加深理解，為用二分法求方程的近似解做準備。4、探索研究(可根據(jù)時間和學生對知識的接受程度適當調整)討論：請大家給方程的一個解的大約范圍，看誰找得范圍更小？師生互動師：把學生分成小組共同探究，給學生足夠的自主學習時間，讓學生充分研究，發(fā)揮其主觀能動性。也可以讓各組把這幾個題做為小課題來研究，激發(fā)學生學習潛能和熱情。老師用多媒體演示，直觀地演示根的存在性及根存在的區(qū)間大小情況。生：分組討論，各抒己見。在探究學習中得到數(shù)學能力的提高第五階段設計意圖：一是為用二分法求方程的近似解做準備二是小組探究合作學習培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力和探究意識，本組探究題目就是為了培養(yǎng)學生的探究能力，

15、此組題目具有較強的開放性，探究性，基本上可以達到上述目的。5、課堂小結：（1）零點概念（2）零點存在性的判斷（3）零點存在性定理的應用注意點：零點個數(shù)判斷以及方程根所在區(qū)間6、作業(yè)回饋教材P108習題31（組）第1、2題；思考：總結函數(shù)零點求法要注意的問題；思考可以用求函數(shù)零點的方法求方程的近似解嗎？七、板書設計一、解方程（比賽）二、函數(shù)的零點 1.函數(shù)零點的概念 2.函數(shù)零點的意義 3.二次函數(shù)的零點問題三、零點的存在性 零點的存在性定理：四、例題研究 總結零點存在性定理的兩個條件五、練習1. 2.3.六、討論八、教學反思 本設計遵循了由淺入深、循序漸進的原則，分三步來展開這部分的內容。第一步，從學生認為較簡單的一元二次方程與相應的二次函數(shù)入手，由具體到一般，建立一元二次方程的根與相應的二次函數(shù)的零點的聯(lián)系，然后將其推廣到一般方程與相應的函數(shù)的情形。第二步，在用二分法求方程近似解的過程中，通