1、例題精講研究圓、扇形、弓形與三角形、矩形、平行四邊形、梯形等圖形組合而成的不規(guī)則圖形，通過變動圖形的位 置或?qū)D形進行分割、旋轉(zhuǎn)、拼補，使它變成可以計算出面積的規(guī)則圖形來計算它們的面積.圓的面積=n2 ;扇形的面積2 n二 n360圓的周長-2n ;扇形的弧長cn=2 n360、跟曲線有關(guān)的圖形元素: 扇形：扇形由頂點在圓心的角的兩邊和這兩邊所截一段圓弧圍成的圖形，扇形是圓的一部分我們經(jīng)常說111的丄圓、丄圓、丄圓等等其實都是扇形，而這個幾分之幾表示的其實是這個扇形的圓心角占這個圓周角的幾246分之幾那么一般的求法是什么呢？關(guān)鍵是.360比如：扇形的面積-所在圓的面積n ;360扇形中的弧長部

2、分-所在圓的周長360扇形的周長 二所在圓的周長 2半徑（易錯點是把扇形的周長等同于扇形的弧長）360 弓形：弓形一般不要求周長，主要求面積.一般來說，弓形面積 二扇形面積-三角形面積.（除了半圓）”彎角”：如圖:彎角的面積 二正方形-扇形”谷子”：如圖:“谷子”的面積二弓形面積 2二、常用的思想方法： 轉(zhuǎn)化思想（復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單，不熟悉的轉(zhuǎn)化為熟悉的） 等積變形（害吟卜、平移、旋轉(zhuǎn)等） 借來還去（加減法） 外圍入手（從會求的圖形或者能求的圖形入手，看與要求的部分之間的”關(guān)系”）板塊、曲線型旋轉(zhuǎn)問題【例1】 正三角形ABC的邊長是6厘米，在一條直線上將它翻滾幾次，使A點再次落在這條直線上， 那么

3、A點在翻滾過程中經(jīng)過的路線總長度是多少厘米？如果三角形面積是15平方厘米，那么三角形在滾動過程中掃過的面積是多少平方厘米？（結(jié)果保留n）【考點】曲線型旋轉(zhuǎn)問題【難度】3星【題型】解答【解析】如圖所示，A點在翻滾過程中經(jīng)過的路線為兩段120的圓弧，所以路線的總長度為：1202 n 62 =8 n厘米；360三角形在滾動過程中掃過的圖形的為兩個120的扇形加上一個與其相等的正三角形，面積為:120 n 62215 =24n 15平方厘米.360【答案】24 n 15【鞏固】直角三角形 ABC放在一條直線上，斜邊 AC長20厘米，直角邊BC長10厘米.如下圖所示，三角形 由位置I繞A點轉(zhuǎn)動，到達位置

4、H,此時B , C點分別到達B1, G點；再繞B1點轉(zhuǎn)動，到達位置川, 此時A , C1點分別到達A2, C2點求C點經(jīng)G到C2走過的路徑的長.【考點】曲線型旋轉(zhuǎn)問題【難度】3星【題型】解答【解析】由于BC為AC的一半，所以NCAB=30，則弧CG為大圓周長的180 一3° =-，弧CG為小圓 360"121周長的-，而CC! GC2即為C點經(jīng)C1到C2的路徑，所以 C點經(jīng)G到C2走過的路徑的長為451 5065,2 n 202 n 10n ' 5 n冗（厘米）.124 3365【答案】65 n3【鞏固】如圖，一條直線上放著一個長和寬分別為4cm和3cm的長方形I

5、.它的對角線長恰好是5cm .讓這個長方形繞頂點 B順時針旋轉(zhuǎn)90°后到達長方形n的位置，這樣連續(xù)做三次，點A到達點E的位置.求點A走過的路程的長.A B C DEA .【考點】曲線型旋轉(zhuǎn)問題【難度】3星【題型】解答【解析】因為長方形旋轉(zhuǎn)了三次，所以A點在整個運動過程中也走了三段路程（如右上圖所示）.這三段路程分別是：1第1段是弧AA,，它的長度是2 n 4 1 （ cm ）；41第2段是弧AiA，它的長度是2 n 5 _（ cm）;41第3段是弧A2E，它的長度是2 n 3 （ cm ）;4111 所以A點走過的路程長為：2 n 42 n 52 n 36冗（cm）.444【答案】6

6、 n【例2】 草場上有一個長20米、寬10米的關(guān)閉著的羊圈， 在羊圈的一角用長 30米的繩子拴著一只羊（見如 圖）.問：這只羊能夠活動的范圍有多大？（圓周率取3.14）【解析】如圖所示，羊活動的范圍可以分為A , B , C三部分，其中A是半徑30米的-個圓，B , C分別是41半徑為20米和10米的-個圓.4所以羊活動的范圍是 n 302 - n 202 1 - n 102 -444f 2 32 12 1 ）二 n 302010-V 444 丿=2512.【答案】2512【鞏固】一只狗被拴在底座為邊長3m的等邊三角形建筑物的墻角上 （如圖），繩長是4m，求狗所能到的地方的總面積.（圓周率按3

7、.14計算）【考點】曲線型旋轉(zhuǎn)問題【難度】3星【題型】解答【解析】如圖所示，羊活動的范圍是一個半徑 4m ,圓心角300°的扇形與兩個半徑1m ,圓心角120°的扇形之 和.所以答案是43.96m2 .【答案】43.96 【例3】 如圖是一個直徑為 3cm的半圓，讓這個半圓以 A點為軸沿逆時針方向旋轉(zhuǎn) 60，此時B點移動到B'點，求陰影部分的面積.（圖中長度單位為cm，圓周率按3計算）【考點】曲線型旋轉(zhuǎn)問題【難度】3星【題型】解答【解析】面積二圓心角為60的扇形面積 半圓一空白部分面積（也是半圓）二圓心角為60的扇形面積60232n 3 n = 4.5（cm ）.3

8、602【答案】4.5【例4】 如圖所示，直角三角形 ABC的斜邊AB長為10厘米，.ABC=60，此時BC長5厘米.以點B為 中心，將 MBC順時針旋轉(zhuǎn)120*，點A、C分別到達點E、D的位置求 AC邊掃過的圖形即圖 中陰影部分的面積.（n取3）【考點】曲線型旋轉(zhuǎn)問題【難度】3星【題型】解答 【解析】注意分割、平移、補齊.如圖所示，將圖形移補到圖形的位置，因為 EBD=60，那么 ABE =120 ,1則陰影部分為一圓環(huán)的丄.3所以陰影部分面積為 -n AB2 - BC2 =75 （平方厘米）.3【答案】75【鞏固】如右圖，以 OA為斜邊的直角三角形的面積是24平方厘米，斜邊長 10厘米，將它

9、以O(shè)點為中心旋轉(zhuǎn)90，問：三角形掃過的面積是多少？（n 取 3）【考點】曲線型旋轉(zhuǎn)問題【難度】3星【題型】解答【解析】從圖中可以看出，直角三角形掃過的面積就是圖中圖形的總面積，等于一個三角形的面積與四分之 一圓的面積之和圓的半徑就是直角三角形的斜邊OA 1因此可以求得，三角形掃過的面積為：24 n 10 10=24 2599（平方厘米）.4【答案】99 【鞏固】（“學而思杯”數(shù)學試題）如圖，直角三角形 ABC中，.B為直角，且BC=2厘米，AC =4厘米,貝恠將 ABC繞C點順時針旋轉(zhuǎn)120的過程中，AB邊掃過圖形的面積為 . （ n= 3.14）【考點】曲線型旋轉(zhuǎn)問題【難度】3星【題型】解答

10、【解析】如右上圖所示，假設(shè) ABC旋轉(zhuǎn)120到達：A'B'C的位置.陰影部分為AB邊掃過的圖形.從圖中可以看出，陰影部分面積等于整個圖形的總面積減去空白部分面積，而整個圖形總面積等于扇形ACA'的面積與ABC的面積之和，空白部分面積等于扇形 BCB'的面積與 A'B'C的面積，由 于 ABC的面積與 A'B'C的面積相等，所以陰影部分的面積等于扇形ACA'與扇形BCB'的面積之120120差，為 n 42 - n 22 =4 n= 12.56（平方厘米）.360360【答案】12.56【例5】如下圖， ABC是一個

11、等腰直角三角形，直角邊的長度是1米?，F(xiàn)在以 C點為圓點，順時針旋轉(zhuǎn)90度，那么，AB邊在旋轉(zhuǎn)時所掃過的面積是平方米。（二=3.14 ）精品文檔【考點】曲線型旋轉(zhuǎn)問題【難度】3星【題型】解答【解析】邊掃過的面積為左下圖陰影部分，可分為右下圖所示的兩部分?！敬鸢浮?因為r2 - r所求面積為0.6775=12，所以r212 二 1-12 1I 4:1 。21 122 r2 二-414-2 8 = 0.6775 （平方米）【例6 如圖30-14，將長方形 ABCD繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90度，若AB=4，BC=3，AC=5，求AD邊掃過部分的面積.（兀取3.14）C【考點曲線型旋轉(zhuǎn)問題【難度3星【題型解

12、答【解析如下圖所示，ABCA如下圖所示，端點 A掃過的軌跡為 AA A，端點D掃過軌跡為DD D，而AD之間的點，掃過的軌跡 在以A、D軌跡，AD, AD所形成的封閉圖形內(nèi)，且這個封閉圖形的每一點都有線段AD上某點掃過,所以AD邊掃過的圖形為陰影部分顯然 ，有陰影部分面積為S直角AD C S扇形aca'-S直角.'acd -S扇形cdD，而直角三角形A D C、ACD面積相等.S直角AD C S扇形AC< - S直角.ACD _S扇形CDD = S1形ACA - S扇形CDD= AC2 -dcD 2（52 -42） 專-7.065（平方厘米）36036044即AD邊掃過部

13、分的面積為 7. 065平方厘米.精品文檔【答案】7.065【例7】（祖沖之杯競賽試題）如圖,ABCD是一個長為4，寬為3,對角線長為5的正方形，它繞C點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90，分別求出四邊掃過圖形的面積.【考點】曲線型旋轉(zhuǎn)問題【難度】3星 【題型】解答【解析】容易發(fā)現(xiàn)，DC邊和BC邊旋轉(zhuǎn)后掃過的圖形都是以線段長度為半徑的圓的-1，如圖:4DCB'9 n因此DC邊掃過圖形的面積為 4n, BC邊掃過圖形的面積為 一 42、研究AB邊的情況.在整個AB邊上，距離C點最近的點是B點，最遠的點是 A點，因此整條線段所掃過部分應(yīng)該介于 這兩個點所掃過弧線之間，見如圖中陰影部分：F面來求這部分的面

14、積.觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，所求陰影部分的面積實際上是:扇形ACA'面積+三角形 A'B'C面積一三角形ABC面積一扇形BCB'面積=扇形ACA'面積一扇形2 2BCB'面積5 n 3 n .4 n443、研究AD邊掃過的圖形.由于在整條線段上距離 C點最遠的點是 A，最近的點是 D，所以我們可以畫出 AD邊掃過的圖形,如圖陰影部分所示:2 2用與前面冋樣的方法可以求出面積為：-二-n444旋轉(zhuǎn)圖形的關(guān)鍵，是先從整體把握一下”變化過程”，即它是通過什么樣的基本圖形經(jīng)過怎樣的加減次序得到的先不去考慮具體數(shù)據(jù)，一定要把思路捋清楚最后你會發(fā)現(xiàn)，所有數(shù)據(jù)要么直

15、接 告訴你，要么就”藏”在那兒，一定會有.可以進一步思考，比如平行四邊形的旋轉(zhuǎn)問題、一般三角形的旋轉(zhuǎn)問題等等，此類問題的解決 對提高解決幾何圖形問題的能力是非常有益的.【答案】(1) BC邊掃過圖形的面積為 9n4(2 ) AB邊掃過圖形的面積為 4n(3) AD邊掃過圖形的面積為 弐4(4 ) DC邊掃過圖形的面積為 4 nCDB'【例8】(華杯賽初賽)半徑為25厘米的小鐵環(huán)沿著半徑為 50厘米的大鐵環(huán)的內(nèi)側(cè)作無滑動的滾動，當小 鐵環(huán)沿大鐵環(huán)滾動一周回到原位時，問小鐵環(huán)自身轉(zhuǎn)了幾圈？【考點】曲線型旋轉(zhuǎn)問題【難度】3星【題型】解答【解析】對于這類問題，可以在初始時在小環(huán)上取一點A，觀察

16、半徑OA，如圖，當小環(huán)沿大環(huán)內(nèi)壁滾動到與初始相對的位置，即滾動半個大圓周時，如圖，半徑OA也運動到了與初始時相對的位置這時OA沿大環(huán)內(nèi)壁才滾動了半圈繼續(xù)進行下半圈，直到OA與初始位置重合，這時 OA自身轉(zhuǎn)了 1圈, 因此小鐵環(huán)自身也轉(zhuǎn)了 1圈.【總結(jié)】對于轉(zhuǎn)動的圓來說，當圓心轉(zhuǎn)動的距離為一個圓周長時，這個圓也恰好轉(zhuǎn)了一圈所以本題也可以考慮小鐵環(huán)的圓心軌跡，發(fā)現(xiàn)是一個半徑與小鐵環(huán)相等的圓，所以小鐵環(huán)的圓心轉(zhuǎn)過的距離等于自己的圓周長，那么小鐵環(huán)轉(zhuǎn)動了1圈【答案】1圈【鞏固】如果半徑為 25厘米的小鐵環(huán)沿著半徑為 50厘米的大鐵環(huán)的外側(cè)作無滑動的滾動，當小鐵環(huán)沿大鐵環(huán)滾動一周回到原位時，問小鐵環(huán)自身

17、轉(zhuǎn)了幾圈？【考點】曲線型旋轉(zhuǎn)問題【難度】3星【題型】解答【解析】如圖，同樣考慮小圓的一條半徑 OA，當小圓在大圓的外側(cè)滾動一周，即滾動了大圓的半周時，半徑3圈.也可以考慮小圓圓心轉(zhuǎn)過的距離小圓圓心轉(zhuǎn)過的是一個圓周，半徑是小圓的3倍，所以這個圓的周長也是小圓的3倍，由于小圓的圓心每轉(zhuǎn)動一個自身的周長時，小圓也恰好轉(zhuǎn)了一圈，所以本題 中小圓自身轉(zhuǎn)了 3圈.【答案】3圈【鞏固】如圖所示，大圓周長是小圓周長的n(n .1)倍，當小圓在大圓內(nèi)側(cè)(外側(cè))作無滑動的滾動一圈后又回到原來的位置，小圓繞自己的圓心轉(zhuǎn)動了幾周？【考點】曲線型旋轉(zhuǎn)問題【難度】3星【題型】解答 【解析】為了確定圓繞圓心轉(zhuǎn)動幾周，首先要

18、明確圓心轉(zhuǎn)動的距離.設(shè)小圓的半徑為“單位 1 ”，則大圓的半徑為“ n ”.在內(nèi)測滾動時，如圖所示，因為圓心滾動的距離為2 n (n-1).所以小圓繞自己的圓心轉(zhuǎn)動了：2n (n ")= n-1(圈).2 n圖(1)圖(2)在外側(cè)滾動時，如圖所示.因為圓心滾動的距離為 2 n (n 1).所以小圓繞自己的圓心轉(zhuǎn)動了:【答案】n-1和n+1【例9】 如圖，15枚相同的硬幣排成一個長方形，一個同樣大小的硬幣沿著外圈滾動一周，回到起始位 置問：這枚硬幣自身轉(zhuǎn)動了多少圈？【考點】曲線型旋轉(zhuǎn)問題【難度】3星【題型】解答【解析】當硬幣在長方形的一條邊之內(nèi)滾動一次時，由于三個硬幣的圓心構(gòu)成一個等邊

19、三角形，所以這枚硬幣的圓心相當于沿著半徑為硬幣2倍的圓旋轉(zhuǎn)了 180 -60 -60 60 而硬幣上的每一點都是半徑等于硬幣的圓旋轉(zhuǎn)，所以硬幣自身旋轉(zhuǎn)了120° .當硬幣從長方形的一條邊滾動到另一條邊時，這枚硬幣的圓心相當于沿著半徑為硬幣2倍的圓旋轉(zhuǎn)了 360 -60 -60 -90 =150 而硬幣上的每一點都是半徑等于硬幣的圓旋轉(zhuǎn)，所以硬幣自身旋轉(zhuǎn)了 300o.長方形的外圈有12個硬幣，其中有4個在角上，其余8個在邊上，所以這枚硬幣滾動一圈有 8次是 在長方形的一條邊之內(nèi)滾動， 4次是從長方形的一條邊滾動到另一條邊.120 8 300 4 =2160 ,所以這枚硬幣轉(zhuǎn)動了 216

20、00,即自身轉(zhuǎn)動了 6圈.另解：通過計算圓心軌跡的長度，每走一個2 n即滾動了一周.【答案】6圈【鞏固】12個相同的硬幣可以排成下面的4種正多邊形（圓心的連線）.幣自身轉(zhuǎn)動的圈數(shù)最多，最多轉(zhuǎn)動了多少圈？【考點】曲線型旋轉(zhuǎn)問題【難度】3星 【題型】解答【解析】對于同樣是12個硬幣，所轉(zhuǎn)動的圓心軌跡其實分為兩部分，一是在”角”上的轉(zhuǎn)動，一是在”邊” 上的滾動.抓住關(guān)鍵方法：圓心軌跡長度一'2冗二自身轉(zhuǎn)動圈數(shù).結(jié)論：一樣多；都是 6圈.【答案】一樣多；都是6圈 【例10】一枚半徑為1cm的圓形硬幣相互緊靠著平放在桌面上，讓一枚硬幣沿著它們的外輪廓滾過后回到原來的位置，那么與原 A點重合的點是

21、 硬幣自己轉(zhuǎn)動 ,硬幣圓心的運動軌跡周長為.CDBCBAF【考點】曲線型旋轉(zhuǎn)問題【難度】3星【題型】解答【解析】先計算軌跡的長度：三個半徑為 2的半圓，1 （2 2 n 3=6 n,6n 2n= 3，即為3周，所以答案為A點，3周，6n.【答案】A點，3周，6n【例11】先做一個邊長為2cm的等邊三角形，再以三個頂點為圓心，2cm為半徑作弧，形成曲邊三角形 （如左圖）再準備兩個這樣的圖形，把一個固定住（右圖中的陰影），另一個圍繞著它滾動，如右圖那樣，從頂點相接的狀態(tài)下開始滾動請問此圖形滾動時經(jīng)過的面積是多少平方厘米？（ n 3.14）【題型】解答【解析】在處理圖形的運動問題時，描繪出物體的運動

22、軌跡是解決問題的第一步，只有大的方向確定了，才能實施具體的計算.圖222222A C2 B :圖在數(shù)學中，本題所作出的這個曲邊三角形叫“萊洛三角形”，“萊洛三角形”有一個重要的性質(zhì)就是它在所有方向上的寬度都相同.為了求出“萊洛三角形”滾動時經(jīng)過的面積，可以分2步來思考：第1步：如圖所示，當“萊洛三角形”從頂點A的上方滾動到頂點 A的左邊時，這時陰影“萊洛三角形”滾動的這部分面積是以 A為圓心、2cm為半徑、圓心角為60°的扇形.在頂點A、B、C處 各有這樣的一個扇形；第2步：如圖所示，當“萊洛三角形”在邊AB上滾動時，這時可以把陰影“萊洛三角形”看作是以圖中D點為圓心的圓的一部分，這

23、個圓在以 C點為圓心的弧 AB上滾動，可知此時圓心 D運動 的軌跡是圖中的弧 DD'，所以此時陰影“萊洛三角形”滾動的這部分面積是以C為圓心、4cm為半徑、圓心角為60°的扇形減去半徑為 2cm的60°的扇形；綜上所述，去掉圖中陰影“萊洛三角形”后所形成的組合圖形就是要求的面積.( 2 60 ( 2 60 2 60 2滾動時經(jīng)過的面積是：3 n 223 n 42n 228n = 25.12(cm2).V 360 丿 I360360 丿【答案】25.12【例12】下圖為半徑20厘米、圓心角為144°的扇形圖.點C、D、E、F、G、H、J是將扇形的B、K弧線分

24、為8等份的點.求陰影部分面積之和.【考點】曲線型旋轉(zhuǎn)問題【難度】3星【題型】解答【解析】如下圖，做出輔助線，F(xiàn)B KMA與厶ANG形狀相同（對應(yīng)角相等），大小相等（對應(yīng)邊相等）,有厶KMAANG, S kma二S Ang 而 LMA是兩個三角形的公共部分，所以上圖中的陰影部分面積相等.所以,GNMK與扇形KGA的面積相等,那么KGEB的面積為2倍扇形KGA的面積.144°54扇形KGA的圓心角為X3=54°,所以扇形面積為20°二=60二平方厘米.8360那么KGEB的面積為60二2 =120二平方厘米.如下圖，做出另一組輔助線.F JQA與厶ARH形狀相同（對應(yīng)

25、角相等），大小相等（對應(yīng)邊相等）,有厶JQA ARH, Sjqa =S_arh =5 A,而厶PQA是兩個三角形的公共部分，所以右圖中的陰影部分面積相等所以,JHRQ與扇形JHA的面積相等，那么JHDC的面積為2倍扇形JHA的面積.01440182扇形JHA的圓心角為180，所以扇形面積為20- - 20二平方厘米.8360那么JHDC的面積為20二2 =40二平方厘米.所以，原題圖中陰影部分面積為Skgeb -Sjhdc =120二-40二=80二-80 X 3.14=251 平方厘米.【答案】251.2【例13】10個一樣大的圓擺成如圖所示的形狀過圖中所示兩個圓心A, B作直線，那么直線右上方圓內(nèi)圖形面積總和與直線左下圓內(nèi)圖形