1、勾股定理的證明【證法1】（課本的證明）做8個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b,斜邊長為c,再做三個(gè)邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個(gè)正方形.從圖上可以看到，這兩個(gè)正方形的邊長都是 a + b，所以面積相等.即b21 2 14 ab c 4 ab2 2 ，整理得a2 b2c2【證法2】（鄒元治證明）以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積 等于2ab.把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀， 使A、E、B三點(diǎn)在一條直線上，B、F、 C三點(diǎn)在一條直線上，C G D三點(diǎn)在一條直線上.v Rt HAE 坐 Rt EBF,abccccb

2、aba / AHE = / BEFv / AEH + / AHE = 90o, / AEH + / BEF = 90o. / HEF = 180o90o= 90o.四邊形EFGH是一個(gè)邊長為c的 正方形.它的面積等于c2.v Rt GDH坐 Rt HAE, / HGD = / EHAv / HGD + / GHD = 90o, / EHA + / GHD = 900 又v / GHE = 90o, ABCD是一個(gè)邊長為a + b的正方形，它的面積等于ab2a2 b2C / DHA = 90o+ 90o= 180o.2I2a b 4 ab c. 2【證法3】（趙爽證明）以a、b為直角邊（b>

3、;a）,以c為斜 邊作四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角ab三角形的面積等于2.把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀Rt DAH坐 Rt ABE, / HDA = / EAB/ HAD + / HAD = 90o,/ EAB + / HAD = 90o,ABCD是一個(gè)邊長為c的正方形，它的面積等于c2.EF = FG =GH =HE = b a ,/ HEF = 90o.曰一個(gè)邊長為ba的正方形，它的面積等于b ab a2 c2 EFGH疋14 ab 22c .（1876年美國總統(tǒng)Garfield 證明） a2 b2【證法4】以a、b為直角邊，以c為斜邊作兩個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面

4、 積等于2 .把這兩個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使 A、E、B三點(diǎn)在一條直線上.v Rt EAD 坐 Rt CBE, / ADE = / BECv / AED + / ADE = 90o, / AED + / BEC = 90o. / DEC = 180o 90o= 90o. DEC是 一個(gè)等腰直角三角形，1 2c它的面積等于2.又 v / DAE = 90o, / EBC = 90o, AD/ BC1 ABCD是 一個(gè)直角梯形，它的面積等于 22 1 1 22 -ab -c2 2c2.（梅文鼎證明）1 a 2b25】 a2a、b，斜邊長為c.把它 過C作AC的延長線交DF于【證法做四個(gè)全等

5、的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為 們拼成如圖那樣的一個(gè)多邊形，使 D E、F在一條直線上. 點(diǎn)P八、v D、E、F在一條直線上，且Rt GEF幻Rt EBD, / EGF = / BEDv / EGF + / GEF = 90°, / BED + / GEF = 90°, / BEG =180 90o= 90o.-AB = BE = EG = GA = c , G ABEG是一個(gè)邊長為c的正方形. / ABC + / CBE = 90o.-Rt ABC 幻 Rt EBD,a bH a / ABC = / EBD / EBD + / CBE = 90o.即/ CBD=

6、 90o又 v / BDE = 90o,Z BCP = 90o,BC = BD = a . BDPC是一個(gè)邊長為a的正方形. 同理，HPFG是一個(gè)邊長為b的正方形. 設(shè)多邊形GHCB的面積為S,則c2 S12 ab2 , b2 c2.(項(xiàng)明達(dá)證明) a2【證法6】做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為 c.再做一個(gè)邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形， 直線上.E過點(diǎn)Q作QP/ BC交AC于點(diǎn)P.過點(diǎn)B作BML PQ垂足為M；再過點(diǎn)F作FNL PQ垂足為Nv / BCA = 90o, QP/ BC / MPC = 90o,v BM 丄 PQ / BMP = 90o, BCP

7、M是一個(gè)矩形，即/ MBC = 9（v / QBM + / MBA = / QBA = 90o,/ ABC + / MBA = / MBC = 90o, / QBM = / ABC又 v / BMP = 90o,/ BCA = 90o , BQ = BA = c , Rt BMQ坐 Rt BCA同理可證Rt QNF坐Rt AEF從而將問題轉(zhuǎn)化為【證法4】（梅文鼎證明）.【證法7】（歐幾里得證明） 做三個(gè)邊長分別為a、b、 在一條直線上，連結(jié) BF CD 過 C作 CLL DE 交AB于點(diǎn)M交DE于點(diǎn)L.v AF = AC , AB = AD,/FAB = / GAD FAB 坐 GAD1av

8、FAB的面積等于2 GAD勺面積等于矩形ADLM的面積的一半，矩形ADLM勺面積二a同理可證，矩形MLEE的面積v正方形ADEB勺面積ccacAPbbaa、 b (b>a) 使 E、A、的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使C，斜邊長為 C三點(diǎn)在一條=矩形ADLM勺面積+矩形MLEB的面積.c2 a2 b2，即 a2 b2 c2.【證法8】（利用相似三角形性質(zhì)證明） 如圖，在Rt A ABC中，設(shè)直角邊AG BC的長度分別為a、b,斜邊AB的長為c,過點(diǎn)C作CDL AB垂足是D 在 A ADC和 A ACB中,v / ADC = / ACB = 90o, / CAD = / BAC A A

9、DCs A ACBAD： AC = AC : AB, 即 AC2 AD ? AB .同理可證，A CDBs AACB從而有 BC2 BD?AB. AC2 BC2 AD DB ? AB AB2，即 a2 b2 c2.【證法9（楊作玫證明）a、b （b>a）,斜邊長為c. 過A作AF丄AC AF交GT做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為 再做一個(gè)邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形于F, AF交DT于R.過B作BP丄AF,垂足為P.過D作DE與CB的延長線垂直，垂足為 E, DE交 AF于 Hv / BAD = 90o,Z PAC = 90o, / DAH = / BA

10、C又 v / DHA = 90o,/ BCA = 90o, AD = AB = c , Rt A DHA坐 Rt A BCA DH = BC = a , AH = AC = b.由作法可知，PBCA是一個(gè)矩形, 所以 Rt A APB 坐 Rt A BCA 即 PB = CA = b , AP= a,從而 PH = b a.v Rt A DGT 坐 Rt A BCA , Rt A DHA坐 Rt A BCA Rt A DGT坐 Rt A DHA. DH = DG = a , / GDT = / HDA. 又 v / DGT = 90o, / DHF = 90o ,/ GDH = / GDT +

11、 / TDH = / HDA+ / TDH = 90o , DGFH是一個(gè)邊長為a的正方形. GF = FH = a . TF丄AF, TF = GT GF = b a . TFPB是一個(gè)直角梯形，上底 TF=b-a,下底BP= b,高FP=a + （b a）用數(shù)字表示面積的編號(hào)（如圖）Si S2 S3 S4 S5,則以c為邊長的正方形的面積為S8S3S4- b2b2 -abS8S3 S4 b abb2 s2= bSl把代入，得=b2 S2 S9 = b2 a2.a2 b2 c2.【證法10】（李銳證明）設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為 a、b（b>a），斜邊的長為c.做三個(gè)邊長分別為a、

12、 b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使 A E、G三點(diǎn)在一條直線上.用數(shù)字表示 面積的編號(hào)（如圖）.RaAv / TBE = / ABH = 90o,./ TBH = / ABE 又 v / BTH = / BEA = 90o,BT = BE = b ,.Rt HBT 坐 Rt ABE.HT = AE = a .GH = GT HT = b a.又 v / GHF + / BHT = 90o,/ DBC + / BHT = / TBH +v DB = EB ED = b a,/ HGF = / BDC = 90o,.Rt HGF坐 Rt BDC 即 S7 S2.過 Q作 QML AG 垂

13、足是 M 由/BAQ = / BEA = 90o，可知 / ABE =/ QAM 而 AB = AQ = c，所以 Rt ABE 幻 Rt QAM.又 Rt HBT 幻Rt ABE 所以 Rt HBT 幻 Rt QAM.即 S8 S5.由 Rt ABE 坐 Rt QAM 又得 QM = AE = a，/ AQM = / BAEv / AQM + / FQM = 90q / BAE + / CAR = 90o,Z AQM = / BAE ./ FQM = / CAR又 v / QMF = / ARC = 90o, QM = AR = a,.Rt QM皆Rt ARC 即 S4 S6.-c2S1S2

14、S3S4S5aS1S6bS3S7S8又v S7S2S8S5S4S62.I ab2S1S6S3S7 S8=S1_2S4S3S2S5即a2b2=cc2.【證法11】（利1用切割線定理證明）在Rt ABC中,設(shè)直角邊BC = a , AC =b ,斜邊 AB = c .如圖，以B為圓心a為半AB?DCAD?BCAC?BD ,v AB =DC =c ,AD = BC = a ,AC =BD =b ,.AB2BC2AC2,即 c2 a2 b2baaAbCCECD即abc2r ,ab2rc.-ab22r2 c即2 ab22ab4 r2rc2 cSABC12ab2ab4SABC又vSABCSAOBS BOC

15、SAOC :. AC BC AB AE CE BD CD AF BFr + r = 2r,12r c c r 2=2= r rc111 ,1 ,crarbra b222 =:2c r徑作圓，交AB及AB的延長線分別于 D E,貝S BD = BE = BC = a .因?yàn)? BCA = 90o, 點(diǎn)C在。B上，所以ACM© B的切線.由切割線定理，得.過點(diǎn)A作AD/ CB過點(diǎn)B作BD/CA則ACBD為矩形，矩形ACBD內(nèi)接于一個(gè)圓.根據(jù)多列米定理，圓內(nèi)接 四邊形對(duì)角線的乘積等于兩對(duì)邊乘積之和，有/. a2 b2 c2.【證法13】（作直角三角形的內(nèi)切圓證明）在Rt ABC中，設(shè)直角邊

16、 BC = a , AC = b，斜邊AB = c.作Rt ABC的內(nèi)切圓© O, 切點(diǎn)分別為D E、F （如圖），設(shè)© O的半徑為r.v AE = AF , BF = BD, CD = CE,2-4 rrc 4S abc >-4 r2 rc 2ab >a2 b2 2ab 2ab c2/. a2 b2 c2> 【證法14】（利用反證法證明）如圖，在Rt ABC中，設(shè)直角邊AC BC的長度分別為a、b,斜邊AB的長為c ,過 點(diǎn)C作CDL AB垂足是DBC AB2，則由BD =AB?AD AB?BDAB?BD.即 AD: AO AC AB 或者 BD: BO

17、 BC AB假設(shè)a2 b2 c2，即假設(shè)AC2AB2 AB?AB二AB AD可知 AC2 AB?AD，或者 BC2 在厶 ADCF" ACB中,v Z A = Z A,.若 AD: AO AG ABZ ADCZ ACB 在厶 CDBF" ACB中,v Z B = Z B,.若 BD BC BC AB,貝SZ CDBZ ACB 又v Z ACB = 90o,. Z AD字90o,Z CD字90o.AC2 BC2 AB2的假設(shè)不能成立.這與作法CD!AB矛盾.所以，/. a2 b2 c2.【證法15】（辛卜松證明）ABCD劃分成上方左圖所示的幾個(gè)部分，則正方形ABCD的面積為2

18、b 2ab ;把正方形ABCD劃分成上方右圖所示的幾個(gè)部分，則正方形ABCD勺1 . 24 ab c22= 2ab c .22ab 2ab c2c .（陳杰證明）設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為 a、b,斜邊的長為c.作邊長是a+b的正方形ABCD 把正方形面積為a b 2b2b216】a2a2【證法a、H、M三點(diǎn)在一條直線上.用數(shù)字表設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為 a、b（b>a），斜邊的長為c.做兩個(gè)邊長分別為E、B5bAC23baac 7E b D H a MPFGp4cb的正方形（b>a）,把它們拼成如圖所示形狀，使 示面積的編號(hào)（如圖）.在EH = b上截取ED = a，連結(jié)DA DC 貝卩AD = c .v EM = EH + HM = b + a , ED = a.DM = EM ED = b a a = b .又v / CMD = 90o CM = a, / AED = 90o, AE = b , Rt AED 坐 Rt DMC / EAD = / MDC DC = AD = c .-/ ADE + / ADC+Z MDC =180o/ ADE + Z MDC =Z ADE + Z EAD = 90o, Z ADC = 90o.作AB/ DC CB/ DA則ABCD一個(gè)邊長為c的正方形.-Z BAF + Z FA