1、.數(shù)的創(chuàng)生之哈密爾頓的四元數(shù)先說復(fù)數(shù)。我們知道復(fù)數(shù)可以用矢量表示，復(fù)數(shù)x+yi對應(yīng)到平面矢量x,y.復(fù)數(shù)的加法和矢量的加法一致顯然。因為都是把分量相加。復(fù)數(shù)的乘法對應(yīng)到矢量的旋轉(zhuǎn)和伸縮。在物理學(xué)中，更為廣泛使用的是三維矢量，x,y,z.尋找一種“數(shù)來與三維矢量1-1對應(yīng)，是很自然的想法。對19世紀(jì)初的愛爾蘭人威廉.哈密爾頓來說，假如能找到這種數(shù)，他就可以更方便地表述牛頓力學(xué)和電磁學(xué)了。哈密爾頓試圖定義三維矢量之間的四那么運算。加減法毫無問題，矢量是自然可以加減的。至于乘法，當(dāng)時人們也知道三維矢量的“內(nèi)積和“外積，或者稱為“標(biāo)量積和“矢量積，又或者稱為“點乘和“叉乘。但是這兩種運算都不能滿足哈密

2、爾頓的需要：“點乘的結(jié)果并不是矢量，所以這種運算并非是對三維矢量這個集合封閉的運算；叉乘的結(jié)果雖然仍然是矢量，但是每個矢量跟自己叉乘的結(jié)果都是0,0,0，使得除法無從定義。假定除法可以定義，比方，a/b=c,那么a=c×b.但是因為b×b=0,0,0,從而a=c+b×b,即a/b=c+b.可見這樣的定義會引起矛盾.如何定義三維矢量之間自洽的乘除法運算公式困擾了哈密爾頓很多年。終于，1843年某一天他沿著都柏林皇家運河步行，一組公式閃如今他頭腦中，他興奮之余擔(dān)憂忘記，就在經(jīng)過布魯翰橋的時候?qū)⑦@組公式刻在橋上：i2=j2=k2=ijk=-1其中i,j,k分別是沿著x,

3、y,z軸方向的單位矢量。這組公式定義的運算其實不完全滿足哈密爾頓原先的想法：其一：由于-1的出現(xiàn)，運算對三維矢量這個集合不封閉。事實上，在復(fù)數(shù)的情形，x+yi對應(yīng)到平面矢量x,y，即，實數(shù)1對應(yīng)到矢量1,0,虛數(shù)i對應(yīng)到矢量0,1.也就是說，實數(shù)填充了其中一維空間，而純虛數(shù)填充了另一維空間。與此類似，哈密爾頓定義的運算實際上是四維矢量這個集合上的運算，1,i,j,k分別張成這四個維度。為了跟復(fù)數(shù)記號類比，以下表達將不采用黑體的矢量記號，代之以i,j,k.如今所有四維矢量之間定義了加減乘運算除法容后再議，每個四維矢量x,y,z,w將寫為x+yi+zj+wk,稱為一個“四元數(shù)。顯然，它包含了復(fù)數(shù)只

4、要令z=0,w=0,就得到復(fù)數(shù)。其二：乘法運算不再滿足交換律。由ijk=-1,等式兩邊都在右邊乘上k,有ijk2=-k,再應(yīng)用k2=-1,得到-ij=-k,從而ij=k.同理可得jk=i,ki=j.最后一式等式兩邊都在右邊乘上i,有ki2=ji,即-k=ji.所以我們看到j(luò)i=-ij.不遵從交換律。事實上，后來人們證明，不可能比哈密爾頓做得更好：假如要求擴大的數(shù)系既包含實數(shù)在內(nèi)，又可以做加減乘除，并且滿足乘法結(jié)合律和交換律，那么唯一的可能就是復(fù)數(shù)。假如要進一步擴大，就只能犧牲交換律。無論如何，“四元數(shù)誕生了。它是如此美妙以致于哈密爾頓將此后的大部分時間都投入到對四元數(shù)的研究中。所有這些研究匯成

5、將近800頁的著作“四元數(shù)根底。我們?nèi)缃窬蛠砀?xì)致地看看四元數(shù)運算。類比復(fù)數(shù)絕對值運算公式|x+yi|2=x+yix-yi=x2+y2,有四元數(shù)絕對值運算|x+yi+zj+wk|2=x+yi+zj+wkx-yi-zj-wk=x2+y2+z2+w2除法因此也類似a+bi+cj+dk/x+yi+zj+wk=a+bi+cj+dkx-yi-zj-wk/x2+y2+z2+w2四元數(shù)集中有個子集對乘法和除法封閉。這個子集就是絕對值等于1的那些四元數(shù)。它們滿足方程x2+y2+z2+w2=1從而組成四維空間中的單位球面三維球面。一個集合假如既有微分流形的構(gòu)造，其元素又可以做光滑的乘法運算并且滿足一定的條件構(gòu)成

6、一個“群，這個集合就稱為一個“李群。絕對值為1的所有四元數(shù)就構(gòu)成一個李群。這種構(gòu)造在復(fù)數(shù)集中有類比：絕對值為1的所有復(fù)數(shù)構(gòu)成一個李群，它在幾何上看是復(fù)平面里的單位圓周，群運算就是復(fù)數(shù)的乘法。這個群通常記為U1.它是最簡單的李群。由于絕對值為1的復(fù)數(shù)乘上其它復(fù)數(shù)就相當(dāng)于把相應(yīng)的平面矢量旋轉(zhuǎn)一個角度，所以這個群實際上等同于平面的旋轉(zhuǎn)群，記為SO2.就是說，絕對值為1的復(fù)數(shù)構(gòu)成的群可以解釋為實數(shù)平面即二維實數(shù)空間的旋轉(zhuǎn)群。讓我們更真切地看看這個對應(yīng)。實際上這個對應(yīng)可以從復(fù)數(shù)的矩陣表示導(dǎo)出。從復(fù)數(shù)的乘法公式x+yiz+wi=xz-yw+xw+yzi可以看到，乘積的兩個分量很像矩陣乘積的元素。不難猜測這

7、個乘法可以由形如的矩陣實現(xiàn)。這種矩陣的主對角線對應(yīng)復(fù)數(shù)的實部，副對角線對應(yīng)復(fù)數(shù)的虛部。它們之間的乘法如下乘積矩陣的主對角線正好對應(yīng)到復(fù)數(shù)乘積的實部，副對角線正好對應(yīng)到復(fù)數(shù)乘積的虛部。因此，復(fù)數(shù)之間的加減乘除運算完全可以由這類形狀特殊的實數(shù)矩陣之間的加減乘除運算來重現(xiàn)。絕對值為1的復(fù)數(shù)可以表示為cos+isin,從而對應(yīng)到矩陣，它恰好是二維實數(shù)平面的旋轉(zhuǎn)矩陣。絕對值為1的四元數(shù)構(gòu)成的群，同樣也可以等同于二維復(fù)數(shù)空間的某種“旋轉(zhuǎn)群。我們類比復(fù)數(shù)的情況，來建立四元數(shù)的“復(fù)數(shù)矩陣表示。四元數(shù)可以表示為兩個復(fù)數(shù)的組合：x+yi+zj+wk=x+yi+z+wij=+j.由于乘法的不交換性，j=z+wij=

8、zj+wij=jz-jwi=jz-wi=j*.兩個四元數(shù)相乘可以計算如下：+j+j=+jj+j+j=+*jj+*j+j=-*+*+j非常類似復(fù)數(shù)的乘法公式，只是要注意額外的復(fù)共軛運算。同樣不難猜測和驗證，形如的復(fù)數(shù)矩陣之間的乘法可以重現(xiàn)四元數(shù)之間的乘法。這種矩陣的主對角線對應(yīng)四元數(shù)的第一個復(fù)數(shù)部分，副對角線對應(yīng)四元數(shù)的第二個復(fù)數(shù)部分。絕對值為1的四元數(shù)+j滿足條件|2+|2=1.它們對應(yīng)的矩陣因此滿足條件線性代數(shù)課程中，這種矩陣被稱為“酉矩陣。它是保持二維復(fù)數(shù)矢量長度的變換。它們構(gòu)成一個李群，記為SU2.我們來看幾個特殊的四元數(shù)對應(yīng)到哪些酉矩陣：熟悉物理學(xué)的讀者可能認(rèn)出這三個矩陣很像量子力學(xué)里

9、描繪角動量的泡利矩陣。所以它們應(yīng)該跟三維旋轉(zhuǎn)有關(guān)系。確實，我們可以從另一個角度來對待這個絕對值為1的四元數(shù)構(gòu)成的李群。這個李群在幾何上是一個三維球面，它在1,0,0,0點的切空間是一個三維平直空間。群的元素在整個三維球面上的作用也會部分化為對這個切空間的作用。因此每個絕對值為1的四元數(shù)都可以表示為三維空間的旋轉(zhuǎn)。這種表示實際上是如今四元數(shù)在數(shù)學(xué)之外的其他學(xué)科里的主要應(yīng)用。哈密爾頓當(dāng)年尋找四元數(shù)的動機本來是更簡潔地描繪力學(xué)和電磁學(xué)。但是后來的開展說明19世紀(jì)中葉流行起來的矢量分析更合適描繪物理學(xué)。因此對四元數(shù)的研究漸漸只局限于純數(shù)學(xué)的部分領(lǐng)域，成為非主流。然而，四元數(shù)的創(chuàng)生拓展了人們對“數(shù)的認(rèn)識

10、，開啟了對非交換的乘法構(gòu)造的系統(tǒng)研究。開展至今，四元數(shù)成為連接諸多數(shù)學(xué)研究子領(lǐng)域的橋梁。我們知道以復(fù)數(shù)為變量的復(fù)值函數(shù)可以做微積分，形成一個理論稱為“復(fù)分析，它在純數(shù)學(xué)、物理、工程領(lǐng)域都有非常重要的應(yīng)用。既然四元數(shù)是復(fù)數(shù)的一種擴展，我們是否也可以建立“四元數(shù)分析呢？顯然，這里的難點在于非交換性。微積分最根本的概念“導(dǎo)數(shù)是由除法定義的，而如今乘法除法都依賴于因子或除子的順序。理論證明這是一個很本質(zhì)的困難，以致于人們至今還無法建立一個令人滿意的“四元數(shù)分析理論。有興趣、有時間、對復(fù)分析有一定理解的讀者也答應(yīng)以嘗試一下。細(xì)心的讀者可能會問，既然實數(shù)可以擴大到復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)可以擴大到四元數(shù)，那么四元數(shù)還可

11、以繼續(xù)擴大嗎？答案是肯定的：數(shù)學(xué)家凱萊發(fā)現(xiàn)了一種“八元數(shù)，它們之間也可以做加減乘除運算，但是乘法的性質(zhì)更差了，甚至都不滿足結(jié)合律，也就是說，XYZXYZ.然而，畢竟這樣的運算存在于八維空間。更高維數(shù)呢？存在“十六元數(shù)嗎？答案是否認(rèn)的：這是因為更高維的球面不具有某種幾何拓?fù)湫再|(zhì)。高維空間矢量之間乘除運算的存在性竟然跟高維球面的幾何拓?fù)湫再|(zhì)有關(guān)！這真是風(fēng)馬牛不相及啊。但數(shù)學(xué)就是這么不可思議。對此感興趣的讀者可以理解一下代數(shù)拓?fù)洹⑹噶繀埠褪拘灶?。陳省身、吳文俊等中國?shù)學(xué)家在這些領(lǐng)域做出過創(chuàng)始性的工作。下篇繼續(xù)介紹其他在物理學(xué)中用到的性質(zhì)特異的“數(shù)?！皫熤拍?，大體是從先秦時期的“師長、師傅、先生而來

12、。其中“師傅更早那么意指春秋時國君的老師。?說文解字?中有注曰：“師教人以道者之稱也?！皫熤x，如今泛指從事教育工作或是傳授知識技術(shù)也或是某方面有特長值得學(xué)習(xí)者?！袄蠋煹脑獠⒎怯伞袄隙稳荨皫煛！袄显谂f語義中也是一種尊稱，隱喻年長且學(xué)識淵博者?！袄稀皫熯B用最初見于?史記?，有“荀卿最為老師之說法。漸漸“老師之說也不再有年齡的限制，老少皆可適用。只是司馬遷筆下的“老師當(dāng)然不是今日意義上的“老師，其只是“老和“師的復(fù)合構(gòu)詞，所表達的含義多指對知識淵博者的一種尊稱，雖能從其身上學(xué)以“道，但其不一定是知識的傳播者。今天看來，“老師的必要條件不光是擁有知識，更重于傳播知識。我國古代的讀書人,從上學(xué)之

13、日起,就日誦不輟,一般在幾年內(nèi)就能識記幾千個漢字,熟記幾百篇文章,寫出的詩文也是字斟句酌,瑯瑯上口,成為滿腹經(jīng)綸的文人。為什么在現(xiàn)代化教學(xué)的今天,我們念了十幾年書的高中畢業(yè)生甚至大學(xué)生,竟提起作文就頭疼,寫不出像樣的文章呢?呂叔湘先生早在1978年就鋒利地提出:“中小學(xué)語文教學(xué)效果差,中學(xué)語文畢業(yè)生語文程度低,十幾年上課總時數(shù)是9160課時,語文是2749課時,恰好是30%,十年的時間,二千七百多課時,用來學(xué)本國語文,卻是大多數(shù)不過關(guān),豈非咄咄怪事!尋根究底,其主要原因就是腹中無物。特別是寫議論文,初中程度以上的學(xué)生都知道議論文的“三要素是論點、論據(jù)、論證,也通曉議論文的根本構(gòu)造:提出問題分析

14、問題解決問題,但真正動起筆來就犯難了。知道“是這樣,就是講不出“為什么。根本原因還是無“米下“鍋。于是便翻開作文集錦之類的書大段抄起來,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不參考作文書就很難寫出像樣的文章。所以,詞匯貧乏、內(nèi)容空洞、千篇一律便成了中學(xué)生作文的通病。要解決這個問題,不能單在布局謀篇等寫作技方面下功夫,必須認(rèn)識到“死記硬背的重要性,讓學(xué)生積累足夠的“米。附記：說到這位威廉.哈密爾頓，不能不提到他對于物理學(xué)的偉大奉獻。我們可能比較熟悉20世紀(jì)初量子力學(xué)的創(chuàng)立留下的種種傳說。其中之一是關(guān)于所謂“波粒二象性，是說這個世界的根本組成部分既具有“粒子的形態(tài)，又具有“波的性質(zhì)。最初的量子力學(xué)也是海

15、森堡和薛定諤各自從“粒子和“波的角度創(chuàng)立的，分別稱為“矩陣力學(xué)和“波動力學(xué)。之后這些量子力學(xué)的創(chuàng)立者們才發(fā)現(xiàn)，原來它們只是同一個理論的不同形態(tài)。當(dāng)年海森堡和薛定諤都很自信，認(rèn)為只有自己的理論才是真命天子。這種自信很可能源于他們對哈密爾頓的崇敬。海森堡的“矩陣力學(xué)沿襲了哈密爾頓的“動力學(xué)方程體系；薛定諤的“波動力學(xué)那么從“哈密爾頓-雅可比方程“衍生而來。兩個理論都有著高貴的血統(tǒng)。但是他們似乎忽略了一個事實：哈密爾頓的動力學(xué)方程和“哈密爾頓-雅可比方程本來就是等價的。假如哈密爾頓在世，他一眼就能看出矩陣力學(xué)和波動力學(xué)是同一個理論的不同表述。它們正是他本人在量子力學(xué)創(chuàng)立的一個世紀(jì)之前對經(jīng)典力學(xué)做出的兩種等價表述的晉級版。實際上哈密爾頓也早就意識到了“粒子和“光的統(tǒng)一：正是他首先指出粒子動力學(xué)遵從的最小作用量原理“和幾何光學(xué)遵從的最短光程原理“在形式上是一致的，哈密爾頓-雅可比方程正是解釋這種統(tǒng)一性的關(guān)鍵。只不過他可能沒有想到這種統(tǒng)一不只限于其理論表述形式的統(tǒng)一，而是作為物質(zhì)實體的統(tǒng)一。我們可以猜測：假如不是四元數(shù)吸引了哈密爾頓，令其在生命的后半段全心投入該研究，他也許會更深化地改變物理學(xué)。唐宋或更早之前，針對“經(jīng)學(xué)“律學(xué)“算學(xué)和“書學(xué)各科目，其相應(yīng)傳授者稱為“博士，這與當(dāng)今