1、第十講 策略性博弈與納什均衡第十講1（1）當(dāng)兩企業(yè)進行價格競爭時，邊際成本低的企業(yè)，即廠商 2會勝出，這時，廠商 2 只要出價稍低于廠商1 的邊際成本就可以迫使廠商1市場，所以當(dāng)市場達(dá)到均衡時，其均衡價格為 p* = 10- Î，其中Î為任意小的一個增量；（2）廠商 1 的利潤為零，廠商 2 的利潤為p 2 = 500 - 20(10- Î) - 8× (10- Î)；（3）從直觀而言，要 均衡是否為帕累托有效，是要看看上圖中需求曲線與供給曲線相交的右半部分的 “剩余”是否被消費者與生產(chǎn)者索取完。不言而喻，從圖中，我們可看出廠商在價格競爭所達(dá)到

2、的均衡是帕累托無效的。2 消費者的目標(biāo)是獲得支付水平最大，當(dāng) A 選擇為下時，我們可知， d < c ，知道 B 選擇右時，我們可知b < 1，為（3）。3 根據(jù)題意，構(gòu)造矩陣：（1）當(dāng)知道 John 出 1 時，Smith 的最優(yōu)戰(zhàn)略為 2 或 3；而當(dāng)知道 Smith 出 2 時，John 的最優(yōu)戰(zhàn)略為 2；但如果 Smith 知道 John 出 2 時，他的最優(yōu)戰(zhàn)略則為 1 或 3；如此反復(fù)，以至無窮，仍有最終的均衡結(jié)果。1（2）因為，對于 Smith 而言，John 對 1、2、3 出牌的概率均為 3 ，則為： E= 1 (3 - 1 - 1) = 1Smith 出牌 1

3、的期望S13310-10-12/19/20065:28:21 PMJohn123Smith13， -3-1， 1-1， 12-1， 13， -3-1， 13-1， 1-1， 13， -3P108300 340500Q在圖中，黃色三角形面積為消費者剩余，綠色矩形面積為生產(chǎn)者剩余，系統(tǒng)損失為紫色面積；所以說，當(dāng)兩個邊際成本不等的企業(yè)進行價格競爭時，會導(dǎo)致帕累托無效。QD = 500 - 20 pMC1 = 10··MC2 = 8第十講 策略性博弈與納什均衡Smith 出牌 2 的期望為： E= 1 (3 - 1 - 1) = 1S 233Smith 出牌 3 的期望為：E= 1

4、 (3 - 1 - 1) = 1 ，由此我們得出：E= E= ES 3S1S 2S 333EJ 1 = EJ 2 = EJ 3同理，我們也可得出：æ 1 , 1 , 1 ö ； sæ 1 , 1 , 1 ö 為混合戰(zhàn)略的納什均衡。綜上所述， sç3 ÷ç3 ÷SJè3 3øè3 3ø為了徹底的了解混合戰(zhàn)略的納什均衡，我們再來首先，我們先要了解一下納什均衡的概念：上的的例子：如果局中人所選的戰(zhàn)略處于這樣一種狀態(tài)：在其他的局中人不改變當(dāng)前的戰(zhàn)略前提下，任何一個局中人都無法單方通過

5、改變的戰(zhàn)略而獲得更高的支付。（ 蔣殿春高級微觀學(xué)管理p262）這也是微觀學(xué)十八講 p201 上的定義。而引入混合戰(zhàn)略后，則局中人的目標(biāo)需要修改為“最大化的期望支付”?，F(xiàn)在，我們設(shè)丈夫、妻子看拳擊的概率分別為 p、q，則丈夫的目標(biāo)為：)+ (1 - p)0 ×)- 4(1 - q ) = 0)Maxp 5一階條件：5q = 38而妻子的目標(biāo)為：Maxq4 p + 0 × (1 - p)+ (1 - q)1× p + 5(1 - p)4 p- p + 5(1 - p) = 0一階條件：p = 5853所以，混合戰(zhàn)略的納什均衡為：丈夫以 8 的概率來選擇看拳擊，以 8

6、的概率來看芭蕾；而妻子以 8 的概率來選擇看拳擊，以 8 的概率來看芭蕾，即：35æ 5 , 3 ö ； s æ 3 , 5 ösç8 ÷ç8 ÷HWèø8èø810-10-22/19/20065:28:21 PM丈夫看拳擊看芭蕾妻子看拳擊4， 50， 0看芭蕾1， 15， 4第十講 策略性博弈與納什均衡這個是很湊巧的嗎？我們再來以混合戰(zhàn)略的納什均衡的概念來檢驗一下其答案，當(dāng)一個局中人依其均衡戰(zhàn)略行為行事時，另一個局中人的戰(zhàn)略選擇問題：當(dāng)æ 3 , 5 ö

7、35sç8 ÷ （妻子以 8 的概率來選擇看拳擊，以 8 的概率來看芭蕾）時，丈夫選擇任Wèø8意一個概率 p 所得到的支付為：pé5 × 3 + 5ù +- p) 20 = 20êë8 úû888這時，注意這個支付與丈夫的戰(zhàn)略 p 無關(guān)，同樣可驗證，如果丈夫選擇其均衡戰(zhàn)略時，妻子任意選擇一個概率所得到的支付都是20 8 ，這樣，我們就可驗證混合戰(zhàn)略的納什均衡的概念了：當(dāng)妻子（丈夫）不改變其均衡戰(zhàn)略的前提下，無論丈夫（妻子）如何選擇的戰(zhàn)略，都使獲得更高的支付。56 設(shè) S 為棒子（st

8、ick），T 為陣為：（tiger），C 為雞（cock），W 為蟲子（worm），則其支付矩10-10-32/19/20065:28:21 PM為了方便分析，我們從 2 開始，（因為 1 的戰(zhàn)略中不存在明顯的占優(yōu)戰(zhàn)略）對于 2 而言，R 優(yōu)于 M，所以 2 將會在 R、L 戰(zhàn)略中進行選擇，而對于 1 來說，知道了 2 是在 L、R 中選擇，則他的 U 戰(zhàn)略要優(yōu)于 M、D 戰(zhàn)略，他會選擇 U 戰(zhàn)略，當(dāng) 2 知道 1 選擇了 U 戰(zhàn)略時，他則最終會選擇 L 戰(zhàn)略，所以，最終的占優(yōu)均衡為（U，L）；2LMR1U4， 35， 16， 2M2， 18， 43， 6D3， 09， 62， 8而不是像某些

9、同學(xué)（主要是前一段時間的我）所想的，當(dāng)丈夫以 5/8 的概率來選擇看拳擊，以3/8 的概率來看芭蕾；而妻子以5/8 的概率來選擇看拳擊，以 3/8 的概率來看芭蕾時，矩陣為:這矩陣中的混合戰(zhàn)略的納什均衡為：（丈夫看拳擊，妻子看拳擊）、（丈夫看芭蕾，妻子看芭蕾）。丈夫看拳擊看芭蕾妻子看拳擊3 × 4,5 × 5883 × 0,3 × 088看芭蕾5 ×1,5 ×1885 × 5,3 × 488第十講 策略性博弈與納什均衡設(shè) 1、2 出 S、T、C、W 的概率分別為 p1, p2 , p3 , p4 和2,4 ，則矩陣

10、達(dá)到均衡，2 的期望必須滿足：0 × p1 + 1× p2 + 0 × p3 - 1× p4 = - 1× p1 + 0 × p2 + 1× p3 + 0 × p4= 0 × p1 - 1× p2 + 0 × p3 + 1× p4 = 1× p1 + 0 × p2 - 1× p3 + 0 × p4- p2 + p4 = p2 - p4 = p1 - p3 = - p1 + p3整理為：把前兩項移項得： 2 p2 = 2 p4 ；后兩項移

11、項得： 2 p1 = 2 p3 ；把之代入原式，我們就可以得到： p1 = p2 = p3 = p4 ，又 p1 + p2 + p3 + p4 = 1，可得出： p1 = p2 = p3 = p4 = 1 4 ；同理,我們也可得出： 綜上所述，混合戰(zhàn)略的納什均衡為：=4 = 1 42s æ 11 öæ 11 ö1 11 1s 2 ç,1ç,÷ ；÷è 4 4 4 4 øè 4 4 4 4 ø4（1）題目相當(dāng)于：歐佩克組織是由 20 個組成的，每個的石油貯量為 10000，它們

12、從地里開采出的原油成本忽略不計，如果歐佩克的總產(chǎn)量太多的話，市場一下子不可能全部吸納，從而會導(dǎo)致其價格的下降，歐佩克為了尋求總利潤最大化，而合謀定價， 這樣會有：Maxp = é1 -1êë1000û¶¶= 1一階條件：Q = 500 ； p = 1 ；= 2520（2）因為每個成員國都會考慮到如果其他成員國的產(chǎn)量不變的情況下，增加產(chǎn)量會使得的利潤上升，所以，每個成員國都有增產(chǎn)的沖動，而當(dāng)某個成員國開始增產(chǎn)，其他的成員國就會效仿，最終，市場會由于產(chǎn)量的增多而使得價格下降。所以，這種合謀定價是不穩(wěn)定的。（3）在通過改變產(chǎn)出和不存在成員國

13、的超額利潤的情況下所達(dá)到的均衡為：其價格為零， 市場上的總供應(yīng)量為 1000，每個成員國的產(chǎn)量為 50。7（1）此矩陣有兩個納什均衡：（低，高）；（高，低）；10-10-42/19/20065:28:21 PM當(dāng) 1 知道 2 出 S 時，1 的最優(yōu)的戰(zhàn)略為 W；而當(dāng) 2 知道 1 出 W 時，2 的最優(yōu)戰(zhàn)略則為 C；當(dāng) 1 知道2 出 C 時，1 的最優(yōu)戰(zhàn)略為 T；而當(dāng) 2 知道 1 出 T 時，2 的最優(yōu)戰(zhàn)略為 S如此反復(fù)，以至無窮，仍有最終的均衡結(jié)果；2STCW1S00，1， -10， 0-1， 1T-1， 10， 01， -10， 0C00，-1， 10， 01， -1W1， -10，

14、 0-1， 10， 0第十講 策略性博弈與納什均衡（2）最大最小戰(zhàn)略均衡為：（高，高）；（3）如果選擇合作的話，則以企業(yè)的總最大化為目標(biāo)，其結(jié)果為（低，高）；（4）在現(xiàn)存的兩個納什均衡中，如果廠商 1 選擇低時，它會比選擇高的要多出 800，而廠商 2 選擇高時，則會降低 200，所以要廠商 1 說服廠商 2 選擇高，廠商必須過渡給廠商 2 的8 為了更好的闡述，我們把要不少于 200。上的條件寫為：如果所有的廠商都生產(chǎn)大型車，則所有的廠商的利潤為 r； 如果所有的廠商都生產(chǎn)小型車，則所有的廠商的利潤為 r；如果一家廠商生產(chǎn)大型車，其它兩家廠商生產(chǎn)小型車，則生產(chǎn)大型車的廠商的利潤為，而生產(chǎn)小型

15、車的廠商的利潤為 b ；如果一家廠商生產(chǎn)小型車，其它兩家廠商生產(chǎn)大型車，則生產(chǎn)小型車的廠商的利潤為，而生產(chǎn)大型車的廠商的利潤為 b ；根據(jù)題意，所得矩陣為：為了使得我們的分析沒有遺漏，讓我們逐個驗證（最后，會得到：只要其中一個汽車生產(chǎn)廠商與其他廠商的生產(chǎn)決策不同，則均為納什均衡的結(jié)論）：（以下的右邊的兩個小矩陣是為了更好的讓我們方便觀察：當(dāng)企業(yè)知道其它的廠商的生產(chǎn)決策時，（1）當(dāng)> b >應(yīng)該如何達(dá)到自身的利潤最大化；）時，10-10-52/19/20065:28:21 PMA： 當(dāng) 3 大，2 大時，則 1 ?。?當(dāng) 1 小，3 大時，則 2 隨意；當(dāng) 1 小，2 大時，則 3

16、隨意；把三列圖形重疊，所得到的重疊部分便為納什均衡（小，大，大）；bbbb當(dāng) 3 生產(chǎn)大型車時：當(dāng) 3 生產(chǎn)小型車時：2大小1大b , b ,aa , b , b小b ,a , b,2大小1大,b ,a , b小a , b , bb , b ,a第十講 策略性博弈與納什均衡10-10-62/19/20065:28:21 PMD： 當(dāng) 2 大，1 大時，則 3 ??； 當(dāng) 1 大，3 小時，則 2 隨意；當(dāng) 2 大，3 小時，則 1 隨意；把三列圖形重疊，所得到的重疊部分便為納什均衡（大，大，?。籦bbbC： 當(dāng) 1 小， 3 小時，則 2 大；當(dāng) 1 小， 2 大時，則 3 隨意；當(dāng) 2 大，

17、3 小時，則 1 隨意；把三列圖形重疊，所得到的重疊部分便為納什均衡（小，小，大）；bbbbB：當(dāng) 1 大，3 大時，則 2 ?。?當(dāng) 1 大，2 小時，則 3 隨意；當(dāng) 2 小，3 大時，則 1 隨意；把三列圖形重疊，所得到的重疊部分便為納什均衡（大，小，大）；bbbb第十講 策略性博弈與納什均衡（2）當(dāng)a > g > b 時，從（1）中可知，在我們的分析中，只涉及到、b 之間；、之間的比較，而沒有涉及、b 之間的比較，所以，我們可斷定；（2）的分析過程與結(jié)論和（1）是一致的。（這是我根據(jù)（2）的條件分析完畢所得出的結(jié)論）10-10-72/19/20065:28:21 PM綜上所

18、述，當(dāng)a > b > g 時，我們一共可以得出六個納什均衡，分別為（小，大，大）、（大，小， 大）、（小，小，大）與（大，大，小）、（小，大，?。ⅲù?，小，?。籥 , b , bb , b ,ab ,a , bb ,a , bb , b ,aa , b , bF：當(dāng) 2 小， 3 小時，則 1 大；當(dāng) 2 小， 1 大時，則 3 隨意；當(dāng) 1 大，3 小時，則 2 隨意；把三列圖形重疊，所得到的重疊部分便為納什均衡（大，小，?。?；bbbbE： 當(dāng) 1 小， 3 小時，則 2 大；當(dāng) 1 小， 2 大時，則 3 隨意；當(dāng) 2 大，3 小時，則 1 隨意；把三列圖形重疊，所得到的重

19、疊部分便為納什均衡（小，大，?。?；bbbb第十講 策略性博弈與納什均衡910（1）第一個矩陣得出（上，左）和（下，右）兩個納什均衡；第二個矩陣得出（上，左） 和（下，右）兩個納什均衡；因為這時，在其他的局中人不改變當(dāng)前的戰(zhàn)略前提下，任何一個局中人都無法單方通過改變的戰(zhàn)略而獲得更高的支付；（2）因為者 3 在兩個矩陣的期望是一樣的，但兩個矩陣的方差不同：第一個大于第二個矩陣，而對于型；者 3 更傾向于哪一個矩陣，則是要看他是哪一種風(fēng)險類當(dāng)者 3 為風(fēng)險規(guī)避者時，他會更傾向于第二個矩陣；為風(fēng)險中性者時，則是無所謂；而為風(fēng)險者時，他會選擇第一個矩陣；兩個人結(jié)盟時是追求總最大，當(dāng)者 1、2 結(jié)盟時，會

20、迫使者 3 選擇來威脅），第一個矩陣（因為當(dāng)者 3 選擇B 矩陣時，者 1、2 則會以放棄這時的納什均衡為（下，右）；而只有當(dāng)者 3 為風(fēng)險愛好者或風(fēng)險中性者時，才會與者 1 或者 2 結(jié)盟（因為當(dāng)者 3 為風(fēng)險規(guī)避者時，他與其他準(zhǔn)的者首先在自身內(nèi)部都不能達(dá)成一致的意見），的納什均衡為（上，左）；者 1、3 結(jié)盟時（這與者 2、3 結(jié)盟時的決策一致）很遺憾，在這題中不存在這樣的均衡，因為通過我們的以上分析，在兩結(jié)盟時的最終達(dá)成的兩個均衡是不一致的。這說明他們的決策目標(biāo)是有差異的。者12（1）正確，因為占優(yōu)均衡是納什均衡的一個特例；（2）不正確，因為對于一個犯知道另一個犯不揭發(fā)時，他的最優(yōu)的戰(zhàn)略

21、為揭發(fā)，每個犯都會有背叛同伴的沖動。（3）因為系統(tǒng)中只存在一個行為者，這連博弈都稱不上，何來的混合戰(zhàn)略。1110-10-82/19/20065:28:21 PM2左右1左-2，-2，0-5，-5，0右-5，-5，0-1，-1，52左右1左0，0，10-5，-5，0右-5，-5，01，1，-5讓我們先分析這塊區(qū)域，通過分析，我們會得出的結(jié)果；當(dāng)A 出上時，B 的最優(yōu)戰(zhàn)略為中;而當(dāng)B 出中時，A 出中；當(dāng)B 出中時，B 出左；當(dāng)B 出左時，A 出上如此反復(fù)，以至無窮，仍有最終的均衡結(jié)果。而當(dāng)A 知道B 會出右時，A 會出下，當(dāng)B 知道A 出下時，B 會出右，所以，該博弈里只有一個納什均衡。第十講

22、策略性博弈與納什均衡13小鎮(zhèn)上的居民的目標(biāo)是追求自身的利潤最大化，但自身的利潤又是取決于行為，這相當(dāng)于犯困境的問題。和別人的我們先化簡問題，而會更有利于我們得出一般性的結(jié)論；假設(shè)這個小鎮(zhèn)只存在兩個居民 1、2，他們有兩個選擇：出 100 元或是不出錢，根據(jù)題目所提供的條件，我們可得出一個矩陣：當(dāng)我們推廣到小鎮(zhèn)上有 n 個居民時，我們會發(fā)現(xiàn)如果某一居民出錢的話，有可能他會出現(xiàn)虧損，這更會使居民堅持不出錢的“最優(yōu)”戰(zhàn)略。最終，會達(dá)到每人都不出錢的一個無效的均衡。有人會說，如果他們相互的話呢？其結(jié)果應(yīng)是一樣的。因為在相互的情況下，每個人都不可能清楚的知道其他人的真正行為。一種更嚴(yán)密的證明：一個小鎮(zhèn)上有 N 個人，第i 個人的捐贈為 Fi ，捐贈總額為 FNN= å Fi ，記 F-ii=1= å Fj ；j=1 i¹ j2 × (F + F )第i 個人的凈收入為： Õ(F ) =- Fi-iiiNÕi¢ = 2- 1N當(dāng) N = 2 時，凈收入不隨捐贈數(shù)額的變化而變化；當(dāng) N > 2 時，凈收入是隨著捐贈數(shù)額的增多而減少；此時，他的最優(yōu)選擇為不捐贈；10-10-92/19/20065:28:21 PM如果大家都出