1、1.【2018浙江21】如圖，已知點P是軸左側(cè)（不含軸）一點，拋物線上存在不同的兩點滿足的中點均在上。（1） 設中點為，證明：垂直于軸；（2） 若是半橢圓上的動點，求面積的取值范圍。解析：（1）設中點滿足：中點滿足：所以是方程即的兩個根，所以，故垂直于軸。（2）由（1）可知所以,因此，因為，所以因此，面積的取值范圍是1. 距離型問題2.【2018全國3 理20】已知斜率為的直線與橢圓交于 兩點，線段的中點為（1）證明：；（2）設為的右焦點，為上一點且，證明：為等差數(shù)列，并求出該數(shù)列的公差。解析：（1）由中點弦公式，解得又因為點在橢圓內(nèi)，故，故（2）由題意知，故因為點在橢圓上，代入可得，即根據(jù)第

2、二定義可知， 聯(lián)立即故滿足，所以為等差數(shù)列設其公差為，因為的位置不確定，則有代入得3.【2018全國3 文20】已知斜率為的直線與橢圓交于 兩點，線段的中點為（1）證明：；（2）設為的右焦點，為上一點且，證明。解析：（1）設，則，因為 兩式相減可得： 又因為即代入上式得 ，又因為點在橢圓內(nèi)，故，故 （2），設，即 因為點在橢圓上，代入得，所以因為，同理得故所以注意：文理科題目相同，但是給出的解題思路是不同的。4.【2018天津 理19】設橢圓的左焦點為，上頂點為.已知橢圓的離心率為，點的坐標為，且（1）求橢圓的方程；（2）設直線與橢圓在第一象限的交點為，且與直線交于點，若（為原點），求的值。解

3、析：（1）由題意知：，解得，又因為由知，解得故橢圓方程為（2）設，則（得到一個等量關系，然后用分別表示出）聯(lián)立分別代入上式得，解得或5.【2018江蘇 18】如圖，在平面直角坐標系中，橢圓過點，焦點，圓的直徑為。（1）求橢圓及圓的方程；（2）設直線與圓相切于第一象限內(nèi)的點（i）設直線與橢圓有且只有一個公共點，求點的坐標；（ii）直線與橢圓交于兩點.若的面積為，求直線的方程。解析：（1）設橢圓方程為，其中，又因為點在橢圓上，故 ，所以橢圓的方程為 又因為圓的直徑為，故圓的方程為 （2）（i）本題有兩種解法： 法一：橢圓和圓有公切線時求點的坐標，可先設公切線方程為 然后根據(jù)直線分別與圓和橢圓相切求

4、出的值，再求出點的坐標，這個方法很容易想到，但是需要兩次計算相切時的條件。 法二：題目中讓求點的坐標，不如一開始就設出點的坐標，利用點的坐標表示出切線方程，然后直線與橢圓聯(lián)立，即可求出點的坐標。這里我們選用第二種方法： 設直線與圓的切點，則滿足，故直線的方程為： 即 聯(lián)立 （1） 因為直線與橢圓有且只有一個交點，故，即 因為點位于第一象限，即，故所以點的坐標為（ii）分析：第二問由于的高即為圓的半徑，故由面積可以得出弦長的值，根據(jù)弦長再求出直線方程，最容易想到的就是設出直線方程，根據(jù)直線與圓相切可得，然后直線與橢圓聯(lián)立，根據(jù)韋達定理寫出弦長公式，將或轉(zhuǎn)化成一個，求出即可，但是計算過程很麻煩，下

5、面給出同一個方法的兩種不同解法：解析：設直線方程為，根據(jù)直線與圓相切得 將代入得注意此處，根據(jù)韋達定理得出的兩根和與積的形式本來很復雜，如果利用上式還需要進行平方，再將轉(zhuǎn)化為的形式計算起來相當復雜，因此我們要想辦法避開平方，因此不如直接根據(jù)直線與橢圓聯(lián)立的方程解出兩根，再利用弦長公式，就可以避開平方的出現(xiàn)，解法也會簡單一些。解得所以，直線方程為5.定值問題6.【2018全國1 理】設橢圓的右焦點為，過的直線與交于兩點，點的坐標為（1）當與軸垂直時，求直線的方程；（2）設為坐標原點，證明：分析：第二問兩角度相等如何證明？解析幾何中常出現(xiàn)的量無非是距離長度，斜率，面積，周長，如果你想到了證明兩個角

6、余弦值相等，那么恭喜你，你想到了長度，但是長度不容易求得，本題目點在軸上且角度均從點出發(fā)，兩點一個在軸上方一個在下方，因此可以考慮兩條直線關于軸對稱，而對稱又反應了斜率互為相反數(shù)的關系，因此本題目雖是證明題的形式出現(xiàn)，但本質(zhì)上是求定值問題，即解析：（1）由題意知，當與軸垂直時，此時，所以直線的方程為（2）設直線的斜率分別為當直線斜率不存在時，此時直線的傾斜角互補，則當直線斜率存在時，設聯(lián)立所以（注意，此處為什么不需要整理分母部分，因為證明分式為零，只需要證明分子為零即可）所以所以直線的傾斜角互補，則7.【2018全國1 文20】設拋物線，點，過點的直線與交于兩點（1）當與軸垂直時，求直線的方程

7、；（2）證明：解析：（1）當與軸垂直時，此時，直線的方程為（2）具體過程可以參考32題，在上題中是分情況討論直線斜率不存在與存在的情況，其實無需討論斜率是否存在，可以直接將直線方程設為設，直線的斜率分別為聯(lián)立所以所以直線的傾斜角互補，則8.【2018全國3 理16】已知點和拋物線，過的焦點且斜率為的直線與拋物線交于兩點，若，則=_.解析：用到結論：在拋物線中以焦點弦為直徑的圓與準線相切 所以，設，根據(jù)焦點弦斜率公式可得9.【2018北京 理 19】已知拋物線經(jīng)過點，過點的直線與拋物線有兩個不同的交點，且直線交軸于，直線交軸于.（1）求直線的斜率的取值范圍；（2）設為原點，求證：為定值。解析：（

8、1）因為拋物線經(jīng)過，則，拋物線方程為 由題意可知直線的斜率存在且不為0，設直線的方程為由解得或又與軸相交，故直線不過點，故【最容易遺漏的地方】所以直線斜率的取值范圍是（2）第二問考察有關向量系數(shù)的定值問題，很顯然需要將用兩點的坐標表示出來然后在利用直線與拋物線聯(lián)立即可，實際運算起來發(fā)現(xiàn)和兩點的縱坐標有關系，所以需要建立和坐標的關系，此時就需要根據(jù)兩點坐標大膽寫出的直線方程，求出兩點坐標即可，不要想什么便捷方法，怎么問怎么想就可以。設，由直線的方程為，令得點的縱坐標為，同理得點的縱坐標為，由得所以 故為定值。10.【2018北京文 20】已知橢圓的離心率為，焦距為，斜率為的直線與橢圓有兩個不同的

9、交點（1）求橢圓的方程；（2）若，求的最大值；（3）設，直線與橢圓的另一個交點為，直線與橢圓的另一個交點為，若和點共線，求解析：（1）由題意知（2）設 聯(lián)立 令，則故當時，最大。（3）題目給出共線，則用向量共線即可，但是需要知道兩點的坐標，因此大膽設出的方程，求出的坐標（坐標與坐標產(chǎn)生關聯(lián)之后即可） 設，又，所以可設，直線的方程為： 則即，又，代入得【注意此處也可以不轉(zhuǎn)化，直接將轉(zhuǎn)化為的形式，但是不如一開始就轉(zhuǎn)化簡單】故，同理可得故因為三點共線，所以將坐標代入化簡可得，即11.【2018天津文 19】橢圓的右頂點為，上頂點為。已知橢圓的離心率為，（1）求橢圓的方程；（2）設直線與橢圓交于兩點，

10、與直線交于點，且點均在第四象限，若的面積是面積的2倍，求的值。解析：（1） （2）設【需要的等量關系】，接下來用表示出即可，所以，解得或當時，不符合題意，當時，符合題意，所以2. 極坐標與參數(shù)方程問題12.【2018全國1 選做22】在直角坐標系中，曲線的方程為，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立坐標系，曲線的極坐標方程為（1）求的直角坐標方程；（2）若與有且僅有三個公共點，求的方程。解析：（1） （2）恒過點，當時不符合題意當時，當時，與恒有兩個交點，所以只需當時，與只有一個交點即可，聯(lián)立令解得所以的方程為13.【2018全國2 選修22】在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為，直線的參數(shù)方程為

11、（1）求和的直角坐標方程；（2）若曲線截直線所得線段的中點坐標為，求的斜率。解析：（1）曲線的直角坐標方程為 當時，的直角坐標方程為 當時，的直角坐標方程為 （2）考察中點弦問題，因此可以利用中點弦求斜率公式，設中點坐標為，則 常規(guī)做法如下： 將的參數(shù)方程代入的直角坐標方程，整理得關于的方程 因為曲線截直線所得線段的中點在內(nèi)，故上式有兩個解，設為，則又因為，故所以直線的斜率【此處用到了直線的參數(shù)方程的兩個用法之一】14.【2018 全國3 選做22】在平面直角坐標系中，的參數(shù)方程為，過點且傾斜角為的直線與交于兩點（1）求的取值范圍；（2）求中點的軌跡的參數(shù)方程。解析：（1）當斜率不存在時，此時

12、符合要求 當斜率存在時，若要滿足直線與圓相切只需要保證圓心到直線的距離小于半徑即可。設直線，所以根據(jù)正切函數(shù)圖像可知綜上可知（2）可以用直線的普通方程來做，但是如果那樣題目就失去意義了。既然是中點，就應該想到直線的參數(shù)方程應用中關于中點的用法。、設直線的參數(shù)方程為（）將直線的參數(shù)方程代入得設點對應 的參數(shù)為，故所以所以點的軌跡方程為3. 探究性問題15.【2018 上海 20】設常數(shù)，在平面直角坐標系中，已知點，直線，曲線，與軸交于點，與交于點，分別是曲線與線段上的動點。（1）用表示點到點的距離；（2）設，線段的中點在直線上，求的面積；（3）設，是否存在以為鄰邊的矩形，使得點在上？若存在求出點的坐標，若不存在說明理由。解析：（1）點是拋物線的焦點，所