1、題目 第九章(B)直線(xiàn)、平面、簡(jiǎn)單幾何體空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算高考要求 要使學(xué)生理解空間向量、空間點(diǎn)的坐標(biāo)的意義，掌握向量加法、減法、數(shù)乘、點(diǎn)乘的坐標(biāo)表示以及兩點(diǎn)間的距離、夾角公式通過(guò)解題，會(huì)應(yīng)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決立體幾何中有關(guān)平行、垂直、夾角、距離等問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)歸納 1 空間直角坐標(biāo)系：（1）若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)為，這個(gè)基底叫單位正交基底，用表示；（2）在空間選定一點(diǎn)和一個(gè)單位正交基底，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標(biāo)軸我們稱(chēng)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)叫原點(diǎn)，向量 都叫坐標(biāo)向量通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱(chēng)為平面，平面，平

2、面；2空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)： 在空間直角坐標(biāo)系中，對(duì)空間任一點(diǎn)，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，叫橫坐標(biāo)，叫縱坐標(biāo)，叫豎坐標(biāo)3空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：（1）若，則， ，（2）若，則一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線(xiàn)段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)4 模長(zhǎng)公式：若，則，5夾角公式：6兩點(diǎn)間的距離公式：若，則，或 題型講解 例1 已知=（2，2，1），=（4，5，3），求平面ABC的單位法向量解：設(shè)面ABC的法向量，則且，即·=0，且·=0，即2x+2y+z=0且4x+5y+3z=0，解得=z（，1，1），單位法向量

3、=±（，）點(diǎn)評(píng)：一般情況下求法向量用待定系數(shù)法由于法向量沒(méi)規(guī)定長(zhǎng)度，僅規(guī)定了方向，所以有一個(gè)自由度，可把的某個(gè)坐標(biāo)設(shè)為1，再求另兩個(gè)坐標(biāo)平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以本題的單位法向量應(yīng)有兩解例2 已知A（3，2，1）、B（1，0，4），求：（1）線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)和長(zhǎng)度；（2）到A、B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)P（x，y，z）的坐標(biāo)滿(mǎn)足的條件解：（1）設(shè)P（x，y，z）是AB的中點(diǎn)，則= （+）=（3，2，1）+（1，0，4）=（2，1，），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，1，），dAB=（2）設(shè)點(diǎn)P（x，y，z）到A、B的距離相等，則=化簡(jiǎn)得4x+4y6z+3=0（線(xiàn)段A

4、B的中垂面方程，其法向量的坐標(biāo)就是方程中x,y,z的系數(shù)），即為P的坐標(biāo)應(yīng)滿(mǎn)足的條件點(diǎn)評(píng)：空間兩點(diǎn)P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）的中點(diǎn)為（，），且|P1P2|= 例3 棱長(zhǎng)為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在點(diǎn)P使B1D面PAC？解：以D為原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)存在點(diǎn)P（0，0，z），=（a，0，z），=（a，a，0）， =（a，a，a），B1D面PAC，·=0，·=0a2+az=0z=a，即點(diǎn)P與D1重合點(diǎn)P與D1重合時(shí)，DB1面PAC例4 在三棱錐SABC中，SAB=SAC=ACB=90°，AC=2，BC=，S

5、B=（1）求證：SCBC；（2）求SC與AB所成角的余弦值解法一：如圖，取A為原點(diǎn)，AB、AS分別為y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則有AC=2，BC=，SB=，得B（0，0）、S（0，0，2）、C（2，0）， =（2，2），=（2，0） （1）·=0，SCBC（2）設(shè)SC與AB所成的角為，=（0，0），·=4，| |=4，cos=，即為所求解法二：（1）SA面ABC，ACBC，AC是斜線(xiàn)SC在平面ABC內(nèi)的射影，SCBC（2）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CDAB，過(guò)點(diǎn)A作ADBC交CD于點(diǎn)D，連結(jié)SD、SC，則SCD為異面直線(xiàn)SC與AB所成的角四邊形ABCD是平行四邊形，CD=，SA=2，

6、SD=5，在SDC中，由余弦定理得cosSCD=，即為所求 點(diǎn)評(píng)：本題（1）采用的是“定量”與“定性”兩種證法題（2）的解法一應(yīng)用向量的數(shù)量積直接計(jì)算，避免了作輔助線(xiàn)、平移轉(zhuǎn)化的麻煩，但需建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；解法二雖然避免了建系，但要選點(diǎn)、平移、作輔助線(xiàn)、解三角形例5 如圖，直棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，CA=CB=1，BCA=90°，棱AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點(diǎn) （1）求的長(zhǎng)；（2）求cos，的值；（3）求證：A1BC1M（1）解：如圖建立坐標(biāo)系，依題意得B（0，1，0），N（1，0，1），=（2）解：A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0

7、），B1（0，1，2），=（1，1，2），=（0，1，2），·=3，=，=cos，=（3）證明：C1（0，0，2），M（，2），=（1，1，2），=（，0），·=0，A1BC1M例6 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn) （1）證明ADD1F；（2）求AE與D1F所成的角；（3）證明面AED面A1D1F解：取D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1為x軸、y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系，取正方體棱長(zhǎng)為2，則A（2，0，0）、A1（2，0，2）、D1（0，0，2）、E（2，2，1）、F（0，1，0）（1）· =（2，0，0）·（0，1，2

8、）=0，ADD1F（2）·=（0，2，1）·（0，1，2）=0，AED1F，即AE與D1F成90°角（3）·=（2，2，1）·（0，1，2）=0，DED1FAED1F，D1F面AEDD1F面A1D1F，面AED面A1D1F點(diǎn)評(píng)：通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)用三維坐標(biāo)表示，向量用坐標(biāo)表示，進(jìn)行向量的運(yùn)算，輕而易舉地解決立體幾何問(wèn)題，不需要添加輔助線(xiàn)一個(gè)需要經(jīng)過(guò)嚴(yán)密推理論證的問(wèn)題就這樣被簡(jiǎn)單機(jī)械的運(yùn)算代替了本題是高考題，標(biāo)準(zhǔn)答案的解法較為復(fù)雜，而運(yùn)用代數(shù)向量求解則輕而易舉，充分顯示出代數(shù)化方法研究幾何圖形的優(yōu)越性，這應(yīng)作為立體幾何復(fù)習(xí)的一個(gè)重點(diǎn)去掌握

9、通過(guò)坐標(biāo)法計(jì)算數(shù)量積去證垂直，求夾角、距離，是高考的重點(diǎn)例7 如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的底邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱長(zhǎng)為a建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫(xiě)出A，B，A1，B1的坐標(biāo)；求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角分析：（1）所謂“建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系”，一般應(yīng)使盡量多的點(diǎn)在數(shù)軸上或便于計(jì)算，（2）首先要找出所求的角，或找出平面的法向量與直線(xiàn)所成的角，然后再求之解：（1）建系如圖，則A（0，0，0） B（0，a,0）A1（0，0，a),C1（-a,)(2)解法一：在所建的坐標(biāo)系中，取A1B1的中點(diǎn)M，于是M（0，），連結(jié)AM，MC1則有 ，所以，MC1平面ABB1A1因此，AC1與AM所成的角就是AC1與側(cè)面

10、ABB1A1所成的角，,而|由cos<>=,<>=30°解法二：， 平面ABB1A1的一個(gè)法向量AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角的正弦為：=AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為30°例8 棱長(zhǎng)為2的正方體A1B1C1D1-ABCD中，E、F分別是C1C和D1A1的中點(diǎn)，（1）求EF長(zhǎng)度；（2）求<>；3）求點(diǎn)A到EF的距離分析：一般來(lái)說(shuō)，與長(zhǎng)方體的棱或棱上的點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題，建立空間直角坐標(biāo)系比較方便，適當(dāng)建立坐標(biāo)系后，正確地寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)及向量然后進(jìn)行運(yùn)算即可得解解：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1分別為x軸，y軸，z軸建立直角坐標(biāo)系，則A（

11、2，0，0），B（2，2，0），E（0，2，1），F(xiàn)（1，0，2）由此可得：=（0，2，0），=（1，-2，1）=（1，0，-2），|=2，|=，= - 4, =1-2=-1，所以（1）=（2）cos<>=-,所以<>=-arccos(3)在上的射影的數(shù)量cos<>=A到EF的距離=點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的向量求法，就是先求出該點(diǎn)與直線(xiàn)上某點(diǎn)連線(xiàn)在直線(xiàn)上的射影，再用勾股定理求對(duì)應(yīng)的距離例9 平面ABCD平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且G是EF的中點(diǎn)，（1）求證平面AGC平面BGC；（2）求GB與平面AGC所成角正弦值；（3）求二面角BACG的

12、大小解：如圖，以A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），G（a，a，0），F(xiàn)（a，0，0）（1）證明：， 設(shè)平面AGC的法向量為，設(shè)平面BGC的法向量為， 即 平面AGC平面BGC；（2）由知平面AGC的法向量為， （3）因是平面AGC的法向量，又AF平面ABCD，平面ABCD的法向量， 得二面角BACG的大小為求平面法向量的另一種方法：由 A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），G（a，a，0），F(xiàn)（a，0，0）設(shè)平面AGC的方程為：則平面AGC的法向量為設(shè)平面BGC的方程為：則平面BGC的法向量為點(diǎn)評(píng)：平面平行于哪一個(gè)軸，其

13、法向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)就是0； 平面經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)平面方程中的常數(shù)項(xiàng)等于0； 平面法向量的兩種求法的區(qū)別小結(jié)：1運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決幾何問(wèn)題時(shí)，首先要恰當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而寫(xiě)出向量的坐標(biāo)，再結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算，最后轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論2本節(jié)知識(shí)是代數(shù)化方法研究幾何問(wèn)題的基礎(chǔ)，向量運(yùn)算分為向量法與坐標(biāo)法兩類(lèi)，以通過(guò)向量運(yùn)算推理，去研究幾何元素的位置關(guān)系為重點(diǎn)利用兩個(gè)向量（非零）垂直數(shù)量積為零，可證明空間直線(xiàn)垂直；利用數(shù)量積可計(jì)算兩異面直線(xiàn)的夾角，可求線(xiàn)段的長(zhǎng)度；運(yùn)用共面向量定理可證點(diǎn)共面、線(xiàn)面平行等；利用向量的射影、平面的法向量，可求點(diǎn)面距、線(xiàn)面角、異面直線(xiàn)的距離等學(xué)生練習(xí)

14、1若=（2x，1，3），=（1，2y，9），如果與為共線(xiàn)向量，則Ax=1，y=1 Bx=，y=Cx=，y=Dx=，y=解析：=（2x，1，3）與=（1，2y，9）共線(xiàn)，故有=x=，y=應(yīng)選C 答案：C2在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（x，y，z），下列敘述中正確的個(gè)數(shù)是點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是P1（x，y，z） 點(diǎn)P關(guān)于yOz平面對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是P2（x，y，z） 點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是P3（x，y，z） 點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是P4（x，y，z）A3 B2 C1 D0解析：P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P1（x，y，z），關(guān)于yOz平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P2（x，y，z），關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P3（x，y

15、，z）故錯(cuò)誤 答案：C3已知向量=（1，1，0），=（1，0，2），且k與2互相垂直，則k值是A1BCD 解析：k+=k（1，1，0）（1，0，2）=（k1，k，2），2=2（1，1，0）（1，0，2）=（3，2，2）兩向量垂直，3（k1）2k2×2=0k= 答案：D4設(shè)OABC是四面體，G1是ABC的重心，G是OG1上一點(diǎn)，且OG=3GG1，若 =x+y+z，則（x，y，z）為A（，） B（，）C（，） D（，）解析：= = （ +）=+ ·（+）=+ （）+（）=+ + ，而=x+y+z，x=，y=，z=答案：A5在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別

16、為A1B1和BB1的中點(diǎn)，那么直線(xiàn)AM與CN所成的角為AarccosBarccosCarccos Darccos解：建立坐標(biāo)系，把D點(diǎn)視作原點(diǎn)O，分別沿、方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向，則A（1，0，0），M（1，1），C（0，1，0），N（1，1，）=（1，1）（1，0，0）=（0，1），=（1，1，）（0，1，0）=（1，0，）故·=0×1+×0+1×=，|= ，|=cos=arccos 答案：D6已知空間三點(diǎn)A（1，1，1）、B（1，0，4）、C（2，2，3），則與的夾角的大小是_解析：=（2，1，3），=（1，3，2），cos，=，=，=120&

17、#176; 答案：120°7已知點(diǎn)A（1，2，1）、B（1，3，4）、D（1，1，1），若=2，則| |的值是_解析：設(shè)點(diǎn)P（x，y，z），則由=2，得（x1，y2，z1）=2（1x，3y，4z），即則|= 答案： 8設(shè)點(diǎn)C（2a+1，a+1，2）在點(diǎn)P（2，0，0）、A（1，3，2）、B（8，1，4）確定的平面上，求a的值解： =（1，3，2），=（6，1，4）根據(jù)共面向量定理，設(shè) =x+y（x、yR），則（2a1，a+1，2）=x（1，3，2）+y（6，1，4）=（x+6y，3xy，2x+4y），解得x=7，y=4，a=16另法：先求出三點(diǎn)確定的平面方程，然后代入求a的值9已知正

18、方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，P、Q分別是BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且|PQ|=，建立坐標(biāo)系，把D點(diǎn)視作原點(diǎn)O，分別沿、方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向，（1）確定P、Q的位置，使得B1QD1P；（2）當(dāng)B1QD1P時(shí)，求二面角C1PQA的大小解：（1）設(shè)BP=t，則CQ=，DQ=2B1（2，0，2），D1（0，2，2），P（2，t，0），Q（2，2，0）， =（，2，2）， =（2，2t，2）B1QD1P等價(jià)于·=0，即22（2t）+2×2=0，整理得=t，解得t=1此時(shí)，P、Q分別是棱BC、CD的中點(diǎn)，即P、Q分別是棱BC、CD的中點(diǎn)時(shí)，B1QD1P；（2）二面角C1PQA的大小是arctan210已知三角形的頂點(diǎn)是A（1，1，1），B（2，1，1），C（1，1，2）試求這個(gè)三角形的面積解：S=|AB|AC|sin，其中是AB與AC這兩條邊的夾角則S=|=| =在本題中，=（2，1，1）（1，1，1）=（1，2，2），=（1，1，2）（1，1，1）=（2，0，3），|2=12+22+（2）2=9，|2=（2）2+02+（3）2=13，·=1·（