1、柯西不等式與平均值不等式一、比較法1 求差比較法知道 a b? a b0, avb? a bv0,因此要證明 a b,只要證明 a b 0 即可，這種方法稱為求差比較法.2.求商比較法aa由 a b 0?二二1 且 a 0, b 0，因此當(dāng) a 0, b 0 時要證明 ab，只要證明1即可，這種方法稱為bb求商比較法.二、 分析法從所要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實， 從而得出要證的命題成立，這種證明方法稱為分析法，即執(zhí)果索因”的證明方法.三、 綜合法從已知條件出發(fā)，禾 U 用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理，論證而得出命題成立

2、，這種證明 方法稱為綜合法即 由因?qū)す钡姆椒?四、 放縮法在證明不等式時，有時我們要把所證不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡化不等式，從而達(dá)到證明的 目的.這種方法稱為放縮法.五、 反證法的步驟1.作出否定結(jié)論的假設(shè)；2.進(jìn)行推理，導(dǎo)出 矛盾；3 .否定假設(shè)，肯定結(jié)論.六、柯西不等式的二維形式1.柯西不等式的代數(shù)形式：設(shè)a, b, c, d 都是實數(shù)，則（a2*圧）“2* d2）（abd）2，其中等號當(dāng)且僅當(dāng) aib2=a2bi時成立.a B為平面上的兩個向量，則|a|3IP其由等號I且僅當(dāng)兩個向量方向xi, yi, X2, y2 R，那么 x2+ y1+寸 x2+ y2(xi X2)2+

3、 (yi y2)22.柯西不等式的向量形式：設(shè)相同或相反時成立.3.二維形式的三角不等式：設(shè)七、柯西不等式的一般形式柯西不等式的一般形式：設(shè)b2）pibi+a2b2+ +anbn）2.ai, a2,，an,bi,b2,bn為實數(shù)，則(a2+a2+an) (b2+ b2+八、基本不等式的一般形式ai+ a2+annn)例 i：設(shè) a, b 是非負(fù)實數(shù)，求證：a3+ b3 ab(a2+ b2).證明：由 a, b 是非負(fù)實數(shù)，作差得 a3+ b3 ab(a2+ b2)= a2；a(a. b) + b2.：b( b a) =7b)(h/a)5h/b)5).當(dāng) aPb 時，誦pb，從而(占)5晶5，得

4、血Vb)(fa)5 b)5)邛 當(dāng) ab 時，.a.b，從而(：a)5n(k= i,2,，n)，得亦斥孑當(dāng) k= i 時，齊帝不孑 當(dāng) k= 2 時,.in”i 丄 i 丄.1n 彳_ =一+-+ +一v - =1.2 2n n+ in + 22n ni i i當(dāng)k=n時，2n=n+n 0,故 ab+ 1 a+ b. 本例條件不變，試比較logm(ab + 1)與 logm(a + b)(m 0 且m1)的大小.解： 0vav1,0vbv1 , (ab+ 1) (a+ b) = (a 1)(b 1)0.故 ab+ 1a+ b.當(dāng) m 1 時，y= logmX 在(0, + )上遞增， logm

5、(ab + 1) logm(a + b)當(dāng) 0vmv1 時 logmX 在(0, + 上單調(diào)遞減，logm(ab+1)vlogm(a+b).例 5：設(shè) n N, n 1，試比較 logn(n + 1)與 logn+1(n + 2)的大小.2 21 2 322logn 1n 2 logn 1nlogn 1n2nlogn 1n 1等式成立.2例 8:已知 m 0, a, b R,求證：a mb1 m證明：因為 m0,所以 1 + m0,所以要證2 m2ab+ b2)0即證(a-b)2 0 而(a-b)20顯然成立，故a mb1 m例 9:設(shè) x, y, z 為正數(shù)，求證：2(x3 * * * *+

6、 y3+ z3)Xy + z) + y2(x + z) + z2(x+ y) 證明：因為 x2+ y2 2xy0所以 x3+ y3= (x + y)(x2 xy + y2) xy(+y)，同理 y3+ z3 yz(+ z), z3+ x3 zx(z + x)，三式相加即可得 2(x3+ y3+ z3) xy(+ y) + yz(y + z) + zx(z + x)，又因為 xy(x + y) + yz(y + z) + zx(z + x)=x2(y+z)+y2(x+z)+z2(x+y)所以 2(x3+y3+z3)Xy+z)+y2(x+z)+z2(x+y)1 利用綜合法證明不等式時， 應(yīng)注意對已

7、證不等式的使用，常用的不等式有：(1)a20(2)|a| ；(3)a2+ b22b;2等；ab(aQb0,)它的變形形式又有l(wèi)ogn+1( n+ 2)logn(n + 1)解:=logn+1(n + 2) logn+mW=v2 2 2=1因此，logn(n + 1)logn+i(n + 2)a2 b2a一 b例 6：設(shè) ab 0，求證：2丄h2-.2+ b2a+ b證明： 法一： a b0,A左邊右邊=(a-皿丫+第-(1+旳=廠+2一% 0，故原不等式成立2|從亠，(a2+b2)(a+b)a2 b2、,亠一a2+ b2a2 b2a+ b (a+ b)2* , 2ab、* 口亠c a b .

8、a2 b2a ba- ba2+ b2a ba2+ b2a2+ b2a + ba2+ b2a+ ba + b例 7：(1)設(shè) xl,y1,證明y+x+(xy)2xy(x+y)+1;(2)設(shè) 1vawbc 證明 logab+ logbc+ logca4ogba+ logcb+ logac.111解：(1)由于 x1y1,所以 x+y+xy1,y1,所以(xy 1)(x 1)(y 1) ，從而所要證明的不等式成立.1 1 1(2)設(shè) logab = x, logbc= y,由對數(shù)的換底公式得logca = y, logba=;, logcb=y logac= xy.111于疋，所要證明的不等式即為x

9、+ y +x_1,y= logbc做由(1)可知所要證明的不a+-23a(a2+ b2)(a + b)a2+ mb2仝1 + m a2+ mb2三 1 + m ，即證(a + mb)2w(+ m)(a2+ mb2),即證 m(a22+ b2它的變形形式又有(a+ b)24b, 節(jié)鳥 乞上2222+ m311111例 12：求證：2 n+v1+ 2+32+孑 k2 k(k 1), k2, 將上述不等式相加得:1111即廠即廠n+T尹尹尹尹11111 v2v ；34322311+11+ + 2334,1d1- + 遼3丄丄v1+存存存存+v2 丄丄(1)在不等式的證明中，放”和縮”是常用的推證技巧

10、.放”和縮”的方向與放”和縮”的量的大小是由題目 分析得出的常見的放縮變換有變換分式的分子和分母，如1,g ,一,1k2k(k 1) k2k(k+1)k 1 Vka a + mN+, k 1.利用函數(shù)的單調(diào)性， 真分?jǐn)?shù)性質(zhì) 若 Ovavb, m0,則 b .上面不等式中 k.i k + ： ； k+ 1放”和解：因為 x0 , y 0, x y 0, 2x+x12 2xy+y1 12y= 2(x y) +2= (x y) + (x y) +2x yx yx y22= 3，所以 2x+1x2 2xy+ y22+3.1113 _1 _11113證明：因為 a, b, c 為正實數(shù)，由平均不等式可得

11、+ 73 + -33盲盲二，即二+仁+二蘆匸abc V a b c abc abc a/ abc= 2 近.所以卡+*+g+abc3.11133所以 了+ b+ 臣+ abc養(yǎng)匕。養(yǎng)匕。+ abc.而 ObC + abc2、例 15:若 n 為大于 1 的自然數(shù)，求證：nn+ 1vn+ 1 +: +；+ - +123n證明：由柯西不等式右邊二1+1+1+2+1+1+1+n=2+2+十十5+專專:223咋=n %+ 1 =左邊. 2 尋器故不取等號.不等式 n*n+ 1vn+1 +* + 3+半成立.1例 16：已知 f(x)= x2+ px + q,求證f(1), f(2), f(3)中至少有

12、一個不小于？.號a b例 10:設(shè) m 是a, b和 1 中最大的一個，當(dāng)x m 時，求證：&+ x2證明由已知ma, m 羽| m 又兇m,. |x| |a|, |x| |b|, |x|=1+右右v1+N=2.迸迸+?|v2成立.例 11：已知 a0, b0, c0, a+ bc.求證：+1 + a 1 + b 1 + caabbaba + b- -,- -1- -1 + a 1 + a +b1 + b 1 + a+ b 1 + a 1+ b 1 + a + b1+x=11+x在O+s上遞增，且a+bc,f(a+b)f(c),則1+b1+c所以宀+-L-?-，則原不等式成立.1 +

13、a 1 + b 1 + cv2.+x2=計曽v憐詩證明： a 0, b 0,而函數(shù) f(x)=例 13:已知 x, y 均為正數(shù)，且xy，2x+ x2 2xy+ y2(2)在用放縮法證明不等式時,1111例14：設(shè)a,b,c為正實數(shù)，求證：蘆蘆?+abc23.添加或減少項，利用有界性等.1證明：假設(shè) f|, |f(2)|, |f(3)|都小于2，則 |f(1)| + 2|f(2)| + |f(3)|V2.而 f(1)|+ 2|f(2)|+ |f(3)| 我| + f(3) - 2f(2)| = |(1 + p+ q)+ (9 + 3p + q) - (8 + 4p+ 2q)|= 2，與 |f(

14、1)| + 2|f(2)| + |f(3)|v2 矛盾, |f(1)|, |f(2)|, |f(3)| 中至少有一個 不小于；1111 1 1例 17： 設(shè) a、b、c 均為正數(shù)，求證： ；A- 1- 1- .2a2b2cb；cc；a a； b1111111111一z，當(dāng) a = b 時等號成立；-(；)汽一,2b2 ab a ； b22b 2c 丿 2 . be b ； c一. . 1 . 1 . 1、1 . 1 .2a 2b 2c b； c c+證明：Ta、b、c 均為正數(shù)，22a1 , , , , ,A，當(dāng) a = c 時等號成立. 三個不等式相加即得 才；益；TTA 1c； a片“ _

15、，一+吉，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時等號成立.1=彳 12+12+12)21111c _2(1； 9)abc3a2b21-X2x2例 20：已知 a, b 為正實數(shù).(1)求證：匚+ %+ b; (2)利用(1)的結(jié)論求函數(shù) y=；(0VXV1)b aX1 X的最小值.a2b2a3b3解: (1)證明：法一：Ta0, b 0, (a； b) 一 一 = a2； b2；初2+ b2； 2ab= (a； b)2babab ab a“(a 0),尹 b 2(b 0),；+ 0,由(1)的結(jié)論，函數(shù) y=-；ab.又Ta 0, b0,ab，a2刊當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立 7+：溯+ b2X11 一X2當(dāng)且僅當(dāng) 1 X=X即X=1時等號成立.函數(shù) y=- ；2Xx21A(X)；X=1.21 - x(0VXV1)的最小值為1.n n+12例 18：已知：an=1 X2+2X3 +3 用+ n n+ 1