1、第四章第四章 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何 第一節(jié)第一節(jié) 向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算 第二節(jié)第二節(jié) 向量的乘法運(yùn)算向量的乘法運(yùn)算 第三節(jié)第三節(jié) 平面與直線平面與直線 第四節(jié)第四節(jié) 曲面與曲線曲面與曲線 向量在數(shù)學(xué)、物理、力學(xué)和工程技術(shù)中有廣泛向量在數(shù)學(xué)、物理、力學(xué)和工程技術(shù)中有廣泛的應(yīng)用的應(yīng)用.本章前一部分側(cè)重學(xué)習(xí)如何用代數(shù)的方法表本章前一部分側(cè)重學(xué)習(xí)如何用代數(shù)的方法表示向量及怎樣用代數(shù)的方法進(jìn)行向量的運(yùn)算示向量及怎樣用代數(shù)的方法進(jìn)行向量的運(yùn)算. 空間解析幾何這門學(xué)科，把代數(shù)方程與空間幾空間解析幾何這門學(xué)科，把代數(shù)方程與空間幾何圖形聯(lián)系起來(lái)，是數(shù)形結(jié)合的典范何圖形聯(lián)系起來(lái)

2、，是數(shù)形結(jié)合的典范.本章第二部分，本章第二部分，學(xué)習(xí)一些空間解析幾何的基本知識(shí)學(xué)習(xí)一些空間解析幾何的基本知識(shí). 1. 1. 空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 在空間內(nèi)取定一點(diǎn)在空間內(nèi)取定一點(diǎn) O，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) O作三條具有相同長(zhǎng)度單位， 且兩兩互相垂直的作三條具有相同長(zhǎng)度單位， 且兩兩互相垂直的 x 軸，軸， y 軸，軸，z 軸，這樣就稱建立了空間直角坐標(biāo)系軸，這樣就稱建立了空間直角坐標(biāo)系Oxyz.點(diǎn)點(diǎn) O 稱為稱為坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)，x 軸，軸，y 軸，軸，z 軸統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸，又分別叫做橫軸統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸，又分別叫做橫軸，縱軸，和豎軸軸，縱軸，和豎軸.一般規(guī)定一般規(guī)定 x 軸，軸， y 軸，軸，z

3、軸的正向要遵循右手軸的正向要遵循右手法則，法則， 即以右手握住即以右手握住 z 軸，當(dāng)軸，當(dāng)右手的四個(gè)右手的四個(gè) 手指從正向手指從正向 x 軸軸以以2角度轉(zhuǎn)向正向角度轉(zhuǎn)向正向 y 軸時(shí)，大拇指的指向是軸時(shí)，大拇指的指向是 z 軸的正向軸的正向. 4.1.1 向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算 一、一、 空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 zxy圖圖71 任意兩條坐標(biāo)軸確定的平面稱任意兩條坐標(biāo)軸確定的平面稱為坐標(biāo)面為坐標(biāo)面.由由x軸和軸和y軸，軸，y軸和軸和z軸，軸，z軸和軸和x軸所確定的坐標(biāo)面分別叫做軸所確定的坐標(biāo)面分別叫做xOy面，面，yOz面和面和zOx面面.三個(gè)坐標(biāo)面三個(gè)坐標(biāo)面把空間分隔成八個(gè)部

4、分，每個(gè)部分把空間分隔成八個(gè)部分，每個(gè)部分稱為一個(gè)卦限，依次叫第一至第八稱為一個(gè)卦限，依次叫第一至第八卦限卦限. 2. 2. 空間內(nèi)一點(diǎn)的坐標(biāo)空間內(nèi)一點(diǎn)的坐標(biāo) 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) M 是空間一點(diǎn)， 過(guò)點(diǎn)是空間一點(diǎn)， 過(guò)點(diǎn) M分別作與三條坐標(biāo)軸垂直的平面，分別交分別作與三條坐標(biāo)軸垂直的平面，分別交 x 軸，軸，y 軸，軸，z軸于軸于 P，Q，R.設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) P，Q，R 在三條坐標(biāo)軸的坐標(biāo)依次為在三條坐標(biāo)軸的坐標(biāo)依次為x，y，z，雖然點(diǎn)，雖然點(diǎn) M 與有序數(shù)組與有序數(shù)組 x，y，z 之間存在一一對(duì)之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系（圖應(yīng)的關(guān)系（圖 7-3）.有序數(shù)組有序數(shù)組 x，y，z 稱為點(diǎn)稱為點(diǎn) M 的坐標(biāo)，的坐標(biāo)，

5、又分別叫做橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)，和豎坐標(biāo)又分別叫做橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)，和豎坐標(biāo).點(diǎn)點(diǎn) M 可用坐標(biāo)點(diǎn)可用坐標(biāo)點(diǎn)表示為表示為, ,M x y z. O x y z 圖圖7-2動(dòng)畫演示動(dòng)畫演示3 3 空空 間間 兩兩 點(diǎn)點(diǎn) 間間 的的 距距 離離 公公 式式 設(shè)設(shè) 點(diǎn)點(diǎn)1(1, 1, 2),M 2( 1,2,0),M3(1,3,1)M和和22,22,Mx yz是是空空間間兩兩點(diǎn)點(diǎn)，從從圖圖 7-4 容容易易看看到到，長(zhǎng)長(zhǎng)方方體體的的對(duì)對(duì)角角線線12M M的的長(zhǎng)長(zhǎng)的的平平方方等等于于三三條條棱棱長(zhǎng)長(zhǎng)的的平平方方和和，由由此此得得點(diǎn)點(diǎn) 1M和和 2M間間的的距距離離公公式式為為 22212212121M Mxx

6、yyzz xyz圖圖74zyOPQRx圖圖73例例 1 1 求點(diǎn)求點(diǎn), ,M x y z到三個(gè)坐標(biāo)面的距離到三個(gè)坐標(biāo)面的距離. 解解 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn) M 作與作與xOy面垂直的直線， 則垂足面垂直的直線， 則垂足 A 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為, ,0A x y，且，且MA的長(zhǎng)的長(zhǎng) 2220MAxxyyzz 就是點(diǎn)就是點(diǎn) M 到到xOy面的距離面的距離. 同理可得，點(diǎn)同理可得，點(diǎn) M 到到y(tǒng)Oz面，面，zOx面的距離分別為面的距離分別為 x和和 y. 例例 2 2 在在 y 軸上求與點(diǎn)軸上求與點(diǎn)1, 3,7A和和5,7, 5B等距離的點(diǎn)等距離的點(diǎn). 解解 所求的點(diǎn)在所求的點(diǎn)在 y 軸上，可設(shè)為軸上，可設(shè)為0,

7、 ,0My.根據(jù)題意有根據(jù)題意有 MAMB， 即有即有 2221 0370y 22250750y 解得解得 2y ，則所求的點(diǎn)為，則所求的點(diǎn)為0,2,0M. 二、二、 向量與向量的線性運(yùn)算向量與向量的線性運(yùn)算 1 1 向量的概念向量的概念 既有大小，又有方向的量稱為向量既有大小，又有方向的量稱為向量或矢量或矢量.幾何上常用的有向線段表示向量， 有向線段的長(zhǎng)幾何上常用的有向線段表示向量， 有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向，度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向，有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別叫做向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別叫做向量的起點(diǎn)和終點(diǎn).以以點(diǎn)點(diǎn) A

8、 為起點(diǎn)，點(diǎn)為起點(diǎn)，點(diǎn) B 為終點(diǎn)的向量記作為終點(diǎn)的向量記作 AB .向量也常用向量也常用一個(gè)字母表示，如一個(gè)字母表示，如, , ,a b c i ，等，等. 向量向量a的大小又稱為向量的模， 記作的大小又稱為向量的模， 記作 a.模為模為 1 的向的向量叫做單位向量；模為零的向量叫做零向量量叫做單位向量；模為零的向量叫做零向量. 兩個(gè)向量?jī)蓚€(gè)向量a和和b的大小相同， 方向一致， 就稱向量的大小相同， 方向一致， 就稱向量 a和和b相等，記作相等，記作ab. 將兩個(gè)非零向量將兩個(gè)非零向量 a和和 b平移到同一起點(diǎn)，它們所平移到同一起點(diǎn)，它們所在射線間的夾角在射線間的夾角0稱為向量稱為向量 a與

9、與 b的夾角的夾角 （圖（圖 7-5） ，記作） ，記作, a b . 當(dāng)當(dāng),a b 或或,0a b 時(shí)，就稱時(shí)，就稱 向量向量 a與與 b平行，記作平行，記作/ab； 當(dāng)當(dāng),2a b 時(shí)時(shí) ，就稱，就稱 a與與b垂垂 直，記作直，記作ab. 規(guī)定零向量規(guī)定零向量 0與任意向量都平行或垂直與任意向量都平行或垂直. 圖圖75aab2 2 向量的線性運(yùn)算向量的線性運(yùn)算 向量的加法，數(shù)與向量的乘法，統(tǒng)稱為向量的線性向量的加法，數(shù)與向量的乘法，統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算運(yùn)算. 向量向量ab與的和的和ab，按圖，按圖 7-6 的方法確定（稱為平行的方法確定（稱為平行四邊形法則） ， 或按圖四邊形法則） ， 或

10、按圖 7-7 的方法確定 （稱為三角形法則）的方法確定 （稱為三角形法則） .向量向量ab與的差，按圖的差，按圖 7-8 的方法確定的方法確定. 圖圖7-6CbaoABab圖圖7-7AOC圖圖7 - 8-bbBa數(shù)數(shù) 與與向向量量 a的的積積a規(guī)規(guī)定定為為平平行行向向量量 a的的一一個(gè)個(gè)向向量量.當(dāng)當(dāng)0時(shí)時(shí)，它它與與 a方方向向相相同同；當(dāng)當(dāng)0時(shí)時(shí)，它它與與 a方方向向相相反反；當(dāng)當(dāng)0時(shí)時(shí)，它它為為零零向向量量.它它的的模模為為aa. 向量的線性運(yùn)算有以下性質(zhì)：向量的線性運(yùn)算有以下性質(zhì)： (1)交換律交換律 abba； (2)結(jié)合律結(jié)合律abcabc， aa , 是數(shù)；是數(shù)； (3)分配律分配

11、律 aaa abab , 是數(shù)是數(shù). 3 3 向向量量平平行行的的充充分分必必要要條條件件 定定理理 向向量量 b與與非非零零向向量量 a平平行行的的充充分分必必要要條條件件是是，存存在在惟惟一一的的數(shù)數(shù) ，使使 ba. 例例 3 3 已知 平行四邊形已知 平行四邊形ABCD的對(duì) 角線向量的對(duì) 角線向量ABa ，BDb ，試用向量，試用向量,a b表示向量表示向量 AB 和和 DA . 解解 設(shè)設(shè)AC ，BD 的交點(diǎn)為的交點(diǎn)為 O（圖（圖 7-9） ，由于平行四） ，由于平行四邊形對(duì)角線互相平行，故邊形對(duì)角線互相平行，故 1122AOACa ，1122ODBOBDb ， 根據(jù)三角形法則，有根據(jù)

12、三角形法則，有 12ABAOOBAOBOab 12DAADAOODab BAC圖圖7 - 9DO三三 向量的坐標(biāo)表達(dá)式及其線性運(yùn)算向量的坐標(biāo)表達(dá)式及其線性運(yùn)算 zyOPQRxMyOzxa2 2 用坐標(biāo)表示向量的線性運(yùn)算用坐標(biāo)表示向量的線性運(yùn)算 設(shè)向量設(shè)向量,xyzaa a a，,xyzbb b b，則，則 xxyyzzababiabjabk ， 或?qū)懗苫驅(qū)懗?,xxyyzzabab ab ab xyzaa ia ja k 或?qū)懗苫驅(qū)懗?,xyzaaaa， 其中其中 是數(shù)是數(shù). 3 3. .用用坐坐標(biāo)標(biāo)表表示示向向量量平平行行的的充充要要條條件件 前前面面已已提提到到向向量量ba與平平行行的的充

13、充要要條條件件為為，存存在在惟惟一一的的數(shù)數(shù) 使使 ba 引引入入向向量量坐坐標(biāo)標(biāo)以以后后，此此條條件件又又能能寫寫成成 ,xyzxyzb b baaa， 即即 ,xxyyzzbababa 即即 yxzxyzbbbaaa 四、四、 用坐標(biāo)表示向量的模和方向余弦用坐標(biāo)表示向量的模和方向余弦 設(shè)向量設(shè)向量,xyzaa a a，由兩點(diǎn)距離公式知，由兩點(diǎn)距離公式知，a的模為的模為 222212121222xyzaxxyyzzaaa 向量向量a與三條坐標(biāo)軸與三條坐標(biāo)軸 x，y，z 軸正向的夾角軸正向的夾角, 稱稱為為 a的方向角，三個(gè)方向角的余弦的方向角，三個(gè)方向角的余弦cos , cos, cos稱為

14、稱為 a的方向余弦的方向余弦.由圖由圖 7-12 知，當(dāng)知，當(dāng) 是銳角時(shí)，直角三角形是銳角時(shí)，直角三角形12M M P中，中， 1212,2PM MM PM12121xM Pxxxxa， 12M Ma， yzxPQR圖圖712M2M1122212cosxxxyzM PaaM Maaaa 當(dāng)當(dāng) 是鈍角時(shí)，上式也成立是鈍角時(shí)，上式也成立. 類似地，有類似地，有 222cosyyxyzaaaaaa， 222coszzxyzaaaaaa 三個(gè)等式平方相加，有三個(gè)等式平方相加，有222coscoscos1. 如果以如果以a的三個(gè)方向余弦構(gòu)成一個(gè)向量，的三個(gè)方向余弦構(gòu)成一個(gè)向量， cos ,cos,cos

15、,yxzaaaeaaa 那么那么e是與是與a方向相同的單位向量方向相同的單位向量. 例例 4 4 已已知知點(diǎn)點(diǎn)21, 1,2M和和12,0,1M，求求向向量量12M M 的的模模和和方方向向余余弦弦. 解解 因?yàn)橐驗(yàn)?121 2, 1 0,2 11, 1,1M M 所以所以 222121113M M 111cos,cos,cos333 例例 5 5 已知向量已知向量23,5aijkbij ，向量，向量2cab， 求： （求： （1）c； （2）與）與 c方向相同的單位向量方向相同的單位向量. 解解 （1） 2 2,3,11,5,0c 4,6,21,5,0 3,1,2 故故 22231214c

16、. （2）與）與 c方向相同的單位向量為方向相同的單位向量為 312,141414e 例例 6 設(shè)設(shè)向向量量a的的方方向向角角,42為為銳銳角角，且且2a ，求求向向量量a的的坐坐標(biāo)標(biāo)表表達(dá)達(dá)式式. 解解 因?yàn)橐驗(yàn)?222coscoscos142 解得解得2cos2 （ 是銳角，負(fù)的舍去）是銳角，負(fù)的舍去）.所以所以 cos2cos2,cos2cos042xyaaaa， 2cos2cos22zaa. 向量向量a的坐標(biāo)表示式為的坐標(biāo)表示式為 2,0, 2a . 例例 7 設(shè)設(shè)向向量量,2,1 ,0, 1,ab，問(wèn)問(wèn), 為為何何值值時(shí)時(shí)，ab與平平行行？ 解解 由由平平行行的的充充要要條條件件，得

17、得 0121， 即即 10,21 解解得得 10,2 作作業(yè)業(yè)： 習(xí)習(xí)題題 7 7- -1 1 3,4,5,9,11,14,15 1.數(shù)量積的定義數(shù)量積的定義 先看一個(gè)實(shí)例：設(shè)有一個(gè)物體在常力先看一個(gè)實(shí)例：設(shè)有一個(gè)物體在常力 F的作用沿直的作用沿直線運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生了位移線運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生了位移 S，實(shí)驗(yàn)證明力，實(shí)驗(yàn)證明力 F所做的功為所做的功為 cosWF S 其中其中 是力是力 F與位移與位移 S的夾角的夾角. . 上式的右邊可看成向量上式的右邊可看成向量 F 和和 S進(jìn)行了某種運(yùn)算，這種運(yùn)進(jìn)行了某種運(yùn)算，這種運(yùn) 算叫做向量的數(shù)量積算叫做向量的數(shù)量積. . Fs 圖圖7-13定定義義 1 設(shè)設(shè),a b

18、 是是兩兩個(gè)個(gè)向向量量，它它們們的的模模及及夾夾角角的的余余弦弦的的乘乘積積為為向向量量ab與的的數(shù)數(shù)量量積積（又又稱稱點(diǎn)點(diǎn)積積或或內(nèi)內(nèi)積積） ，記記做做cos( , )a ba ba b 由由圖圖 7 7- -1 14 4 知知，數(shù)數(shù)cos( , )aa b 等等于于 有有向向線線段段OB的的值值，它它稱稱為為向向量量ab在 上上的的投投影影，記記做做Pr jba，即即 cos( , )Prjbaaa b 類類似似地地，向向量量ba在上上的的投投影影為為cos( , )Prjabba b . . 數(shù)數(shù)量量積積又又能能表表示示成成prjprjbaa bbaab . . 圖圖714BabO2.

19、數(shù)數(shù)量量積積性性質(zhì)質(zhì) （1 1）2a aa ； （2 2）00a ； （3 3）交交換換律律 a bb a ； （4 4）結(jié)結(jié)合合律律 ()()aba b ，其其中中 是是實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)； （5 5）分分配配律律 ()abca cb c . . 例例 1 已知已知2( , ),3,4,3a bab 求向量求向量32cab的模的模. 解解 根根據(jù)據(jù)數(shù)數(shù)量量積積的的定定義義和和性性質(zhì)質(zhì)，有有 22222(32 ) (32 )(32 ) 3(32 ) 29664912cos( , )42912 3 4cos434381 726473cc cabababaabba ab aa bb baba bab 所所以

20、以 73c 3 數(shù)量積的坐標(biāo)表示式數(shù)量積的坐標(biāo)表示式 設(shè)設(shè),xyzxyzaijk bijkaaabbb 利用數(shù)量積的利用數(shù)量積的性質(zhì)及性質(zhì)及, ,i j k 是兩兩互相垂直的單位向量，有是兩兩互相垂直的單位向量，有 2221,1,10,0,0i ij jk kijki jj ki kk ij kk j 通過(guò)計(jì)算通過(guò)計(jì)算 () ()xyzxyza bijkijkaaabbb 后可得后可得 xxyyzza ba ba ba b 上式稱為數(shù)量積的坐標(biāo)表示式上式稱為數(shù)量積的坐標(biāo)表示式 222222cos( , )xxyyzzxyzxyza ba ba ba baaabbb 例例 2 設(shè)向量設(shè)向量,22

21、 ,aij bijk 求求 ,cos( , )prjba baa b . . 解解 ( 1) 2 1 1 0 21a b 因?yàn)橐驗(yàn)?222222( 1)13( 2)21ab 所以所以 1prj31cos( , )3 2ba baba ba ba b 二二 、向量的向量積、向量的向量積 1.向量積的定義向量積的定義 先看一個(gè)實(shí)例：設(shè)先看一個(gè)實(shí)例：設(shè) O 為一杠桿的支為一杠桿的支點(diǎn)，有一力點(diǎn)，有一力F作用于杠桿的點(diǎn)作用于杠桿的點(diǎn) A 處，由力處，由力學(xué)知道， 力學(xué)知道， 力F對(duì)支點(diǎn)對(duì)支點(diǎn) O 的力矩是一個(gè)向量的力矩是一個(gè)向量M ，它的模為，它的模為 sin( ,)MF OPF OAF OA ， O

22、APF(a)OFM(b)A圖圖7-15其 中其 中 sin( ,)OPOAF OA 是 力 臂是 力 臂 ( 圖圖7-15(a)，力矩，力矩M 的方向規(guī)定為：的方向規(guī)定為：M 同時(shí)垂同時(shí)垂直于直于F和和OA ，且，且,OA F M 構(gòu)成右手系，構(gòu)成右手系，即當(dāng)右手的四個(gè)手指指向即當(dāng)右手的四個(gè)手指指向OA 的方向的方向，握拳握拳轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)向向F時(shí)時(shí)，大母指所指的方向是力矩的方大母指所指的方向是力矩的方向向(圖圖 7-15(b). 物理力學(xué)中常會(huì)遇到由兩個(gè)物理力學(xué)中常會(huì)遇到由兩個(gè)已知已知向量按上述方式確向量按上述方式確定另一個(gè)向量，數(shù)學(xué)上稱這個(gè)向量是兩個(gè)定另一個(gè)向量，數(shù)學(xué)上稱這個(gè)向量是兩個(gè)已知已知向量的

23、積向量的積. 定義定義 2 兩個(gè)向量?jī)蓚€(gè)向量ab和的向量積（又稱叉積或外積）的向量積（又稱叉積或外積）是一個(gè)向量，記作是一個(gè)向量，記作a b，它按下列方式確定：，它按下列方式確定： （1）模模 sin( , )a ba ba b ； （2） 方向） 方向 ,a ba a bb 且且, ,a b a b 構(gòu)成右手系 （圖構(gòu)成右手系 （圖7-16） 2.向向量量積積的的幾幾何何意意義義 ab與的的向向量量積積的的模模a b等等于于以以, a b 為為鄰鄰邊邊的的平平行行四四邊邊形形的的面面積積（圖圖 7-17） baba圖圖716ba圖圖7-173.向量積的性質(zhì)向量積的性質(zhì) （1）0,00aaa

24、（2）()b aa b （3）結(jié)合律）結(jié)合律 ()()()aba bab，其中，其中 是數(shù)；是數(shù)； （4）分配律）分配律 ()abca cb c . 4.向量積的坐標(biāo)表示式向量積的坐標(biāo)表示式 設(shè)設(shè),xyzxyzaijk bijkaaabbb， 利用向量積的， 利用向量積的性質(zhì)及性質(zhì)及, ,i j k 兩兩互相垂直，且構(gòu)成右手系，有兩兩互相垂直，且構(gòu)成右手系，有 0,i ijjkkijk i kjjik kji ikj 通過(guò)計(jì)算通過(guò)計(jì)算() ()xyzxyza bijkijkaaabbb后，可得后，可得 )()()yzzyzxxyxyyxa ba ba b ia ba bja ba b k, 或

25、簡(jiǎn)寫成三階行列式的形式或簡(jiǎn)寫成三階行列式的形式 xyzxyzijka baaabbb 上式稱為向量積的坐標(biāo)表示式上式稱為向量積的坐標(biāo)表示式. 解解 （1）211112121110101011ijka bijk ijk （2）a bijk 和和()b aa bijk 都是與都是與 a和和b均垂直的向量，所以與均垂直的向量，所以與 a和和 b同時(shí)垂直的單位向量為同時(shí)垂直的單位向量為 ,a bea b 而而 2223,( 1)( 1)1a b 因此因此 111(,)333e或或111(,)333e. 解解（1）作向量）作向量,BA BC 則則 ( 1 1,2 1,3 1)( 2,1,2)(0 1,0

26、 1,5 1)( 1, 1,4)BABC 三角形三角形 ABC 的面積為的面積為 12SBA BC 因?yàn)橐驗(yàn)?22221212141411114ijkBA BCijk 663ijk， 所以所以2221966322S . 任何曲面或空間都可看作滿足一定任何曲面或空間都可看作滿足一定 幾何條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方幾何條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方 程叫做曲面或空間曲線的方程程叫做曲面或空間曲線的方程. 1.曲面及其方程曲面及其方程 如果曲面如果曲面 S 與三元方程與三元方程 ( , , )0F x y z 有如下關(guān)系有如下關(guān)系 (1)曲面曲面 S 上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)滿

27、足方程， (2)不在曲面不在曲面 S 上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足方程，上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足方程， 那么稱方程那么稱方程( , , )0F x y z 是曲面是曲面 S 的方程，曲面的方程，曲面 S 稱為稱為方程方程( , , )0F x y z 的圖形（圖的圖形（圖 7-18）. 平面與直線平面與直線 一、一、點(diǎn)的軌跡方程的概點(diǎn)的軌跡方程的概念念 圖圖 7-18SxOyz( , , )0F x y z 2 空間曲線及其方程空間曲線及其方程 空間曲線可看作兩個(gè)曲面的交線（圖空間曲線可看作兩個(gè)曲面的交線（圖 7-19）因此空）因此空間曲線的方程是方程組的形式間曲線的方程是方程組的形式.如果空間曲線與方程組如

28、果空間曲線與方程組 ( , , )0,( , , )0F x y zG x y z 有如下關(guān)系：在曲線上的坐標(biāo)滿足方程組，不在曲線上有如下關(guān)系：在曲線上的坐標(biāo)滿足方程組，不在曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足方程組，那么稱此方程組是曲線的方的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足方程組，那么稱此方程組是曲線的方程，曲線是方程組的圖形程，曲線是方程組的圖形. TOzyx圖圖 7-19二、平面及其方程二、平面及其方程 1.平平面面的的點(diǎn)點(diǎn)法法式式方方程程 平平面面法法向向量量的的概概念念 凡凡是是垂垂直直平平面面的的向向量量都都稱稱為為平平面面的的法法向向量量，顯顯然然，一一個(gè)個(gè)平平面面的的法法向向量量有有無(wú)無(wú)窮窮多多個(gè)個(gè)，它它們們

29、之之間間相相互互平平行行. 現(xiàn)現(xiàn)在在，在在已已知知平平面面 上上一一點(diǎn)點(diǎn),0000()Mx y z和和一一個(gè)個(gè)法法向向量量( , ,)nA B C的的幾幾何何條條件件下下， 建建立立平平面面 的的方方程程. OyxnMz圖圖 7-20M0 設(shè)設(shè)點(diǎn)點(diǎn)( , , )M x y z是是平平面面 上上一一點(diǎn)點(diǎn)，因因?yàn)闉橄蛳蛄苛?0000(,)M Mxxyy zz 在在平平面面 上上，故故0nM M，(圖圖 7-20) 由向量垂直的充要條件，得由向量垂直的充要條件，得 000()()()0A xB yC zyxz 容易驗(yàn)證，在平面容易驗(yàn)證，在平面 上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，不在上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，不在平面

30、平面 上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足方程上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足方程.所以該方程是平面所以該方程是平面 的的方程，它稱為平面方程，它稱為平面 的點(diǎn)法式方程的點(diǎn)法式方程. 2.平面的一般方程平面的一般方程 在平面的點(diǎn)法式方程中， 另在平面的點(diǎn)法式方程中， 另000()DABCyxz ，那么方程可寫成那么方程可寫成 0AxByCzD， 反之，設(shè)有三元一次方程反之，設(shè)有三元一次方程 0AxByCzD 任取一組滿足該方程的數(shù)任取一組滿足該方程的數(shù)000,yxz，代入方程后，得，代入方程后，得 0000AxByCzD, 兩式相減，得兩式相減，得 000()()()0A xxB yyC zz， 它恰是通過(guò)它恰是通過(guò)000(

31、,)xy z， 法向量為， 法向量為( , ,)A B Cn的平面方程，的平面方程，方程方程 0AxByCzD 稱為稱為平面的一般方程平面的一般方程，其中，其中( , ,)A B Cn是平面的法向量，是平面的法向量， 下面討論一些特殊情況：下面討論一些特殊情況： （1） 當(dāng)當(dāng)0D 時(shí)時(shí)，顯然原點(diǎn)，顯然原點(diǎn)(0,0,0)O的坐標(biāo)滿足方的坐標(biāo)滿足方程程 0AxByCz， 因此，它表示的平面通過(guò)原點(diǎn)因此，它表示的平面通過(guò)原點(diǎn). （2） 當(dāng)當(dāng)0A 時(shí)，方程時(shí)，方程 0ByCzD 表示的平面的法向量表示的平面的法向量(0, ,)B Cn.由于法向量由于法向量 n 在在 x 軸上軸上的投影的投影0A ，故

32、，故 n 垂直垂直 x 軸，所以平面平行軸，所以平面平行 x 軸，類似軸，類似地，當(dāng)?shù)?，?dāng)0B 時(shí)或時(shí)或0C 時(shí)，方程時(shí)，方程 0AxCzD 或或 0AxByD 分別表示與分別表示與 y 軸平行和與軸平行和與 z 軸平行的平面軸平行的平面. （3） 當(dāng)當(dāng)0A ，0B 時(shí)，方程時(shí)，方程 0CzD 表示的平面的法向量表示的平面的法向量(0,0,)Cn，這時(shí)，這時(shí) n 與與 x 軸，軸，y 軸都軸都垂直，即與垂直，即與xOy面垂直面垂直，因此平面與，因此平面與xOy面平行，類似地，面平行，類似地，當(dāng)當(dāng)0A ，0C 或或0B ，0C 時(shí)，方程時(shí)，方程 0ByD 或或 0AxD 分別表示與分別表示與zO

33、x面和與面和與yOz面平行的平面面平行的平面. 例例 1 求通過(guò)點(diǎn)求通過(guò)點(diǎn)(1, 2,1)，且與平面，且與平面2310 xyz 平平行的平面方程行的平面方程. 解解 已已知知平平面面的的法法向向量量(1, 2,3)n垂垂直直所所求求的的平平面面，于于是是它它是是所所求求平平面面的的法法向向量量，所所以以平平面面方方程程為為 1(1)2(2)3(1)0 xyz， 即即 2380 xyz. 例例 2 求通過(guò)三點(diǎn)求通過(guò)三點(diǎn)123(1, 1, 2),( 1,2,0),(1,3,1)MMM 的平面方程的平面方程. 解解 向量向量12M M ，13M M 均在平面上，而向量積均在平面上，而向量積1213M

34、 MM M 同時(shí)與同時(shí)與12M M ，13M M 垂直，故與平面垂垂直，故與平面垂直，它是平面的法向量，直，它是平面的法向量， 因?yàn)橐驗(yàn)?12( 2,3,2)M M ，13(0,4,3)M M ， 121323268043M MM M ijkijk 所以，所求平面的方程為所以，所求平面的方程為 (1)6(1)8(2)0 xyz 即即 68110 xyz 一般一般地地， 若平面與向量， 若平面與向量 a 和和 b 都平行， 則向量都平行， 則向量積積ab是是平面的一個(gè)法向量平面的一個(gè)法向量. 例例 3 求求通通過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)(1,1,1)A和和(2, 1,1)B，且且與與 z 軸軸平平行行的的平平面面

35、方方程程. 解解 因?yàn)槠矫媾c因?yàn)槠矫媾c z 軸平行，可設(shè)它的方程為軸平行，可設(shè)它的方程為 0AxByD， 又點(diǎn)又點(diǎn)(1,1,1)A，(2, 1,1)B在平面內(nèi)，故在平面內(nèi)，故 020ABDABD 解方程組，求得解方程組，求得 21,33AD BD ，于是，于是 21(1)033Dxy， 注意到平面不通過(guò)原點(diǎn)，注意到平面不通過(guò)原點(diǎn)，0D ，所以，所求平面方程為，所以，所求平面方程為 211033xy 即即 230 xy. 例例 3 3 也也能能按按例例 2 2 的的方方法法求求解解，平平面面與與z軸軸的的單單位位向向量量(0,0,1)e及及向向量量(1, 2,0)AB 都都平平行行， 故故平平面

36、面的的法法向向量量為為 1202001AB ijkeij 所所以以平平面面方方程程為為 2(1)(1)0 xy， 即即 230 xy. . 解解 設(shè)平面方程為設(shè)平面方程為 0AxByCzD 將點(diǎn)將點(diǎn) P，Q，R 的坐標(biāo)代入方程，得的坐標(biāo)代入方程，得 0,0,0,AaDBbDCcD 解得解得 ,DDDABCabc 代入方程中，消去代入方程中，消去 D，最，最后求得平面方程為后求得平面方程為 1xyzabc 此方程稱為此方程稱為平面的截距式方程平面的截距式方程，, ,a b c叫做叫做平面平面在坐標(biāo)軸上在坐標(biāo)軸上的截距的截距. 例例4 設(shè) 一 平 面 與設(shè) 一 平 面 與, ,x y z軸 的 交

37、 點(diǎn) 依 次 為軸 的 交 點(diǎn) 依 次 為( ,0,0),( ,0,0), (0,0, ),(0)P aQ bRcabc ，求它的方程，求它的方程. 三、三、 空間直線及其方程空間直線及其方程 1.直線的一般方程直線的一般方程 空間直線空間直線 l，可看成兩個(gè)平面，可看成兩個(gè)平面 11111:0AxB yC zD 與平面與平面22222:0A xB yC zD的交線，所以方程組的交線，所以方程組 1111222200AxB yC zDA xB yC zD 是直線是直線 l 的方程，它稱為的方程，它稱為直線的一般方程直線的一般方程. 2.直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程 方向

38、向量的概念方向向量的概念 凡是與直線平行的非零向量都凡是與直線平行的非零向量都稱為直線的方向向量，顯然，一條稱為直線的方向向量，顯然，一條直線的方向向量有無(wú)直線的方向向量有無(wú)窮多個(gè)，它們之間相互平行窮多個(gè)，它們之間相互平行. 現(xiàn)現(xiàn)在在已已知知直直線線 l 的的方方向向向向量量( , , )m n ps和和直直線線上上一一點(diǎn)點(diǎn)0000(,)Mxyz的的幾幾何何條條件件下下，建建立立空空間間直直線線 l 的的方方程程. 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)( , , )M x y z是直線是直線 l 上任意一點(diǎn)，由于向量上任意一點(diǎn)，由于向量0000(,)M Mxxyy zz在直線在直線 l 上，它是直線上，它是直線 l 的一

39、的一個(gè)方向向量，故個(gè)方向向量，故0/M MS（圖（圖 7-21） 則則 000 xxyyzzmnp 該方程組稱為該方程組稱為直線直線 l 的對(duì)稱式的對(duì)稱式 （或點(diǎn)向式）方程（或點(diǎn)向式）方程. OyMzxs圖圖7-21M0注注 方程中， 若有個(gè)別分母等于零， 應(yīng)理解為分子也方程中， 若有個(gè)別分母等于零， 應(yīng)理解為分子也為零，例如，為零，例如，0,(0,0)mnp時(shí)方程時(shí)方程 0000 xxyyzznp 應(yīng)等價(jià)于方程組應(yīng)等價(jià)于方程組0000,xxyyzznp 引入變量引入變量 t，令，令000,xxyyzztmnp 則有則有 000,xxmtyyntzzpt 該方程組稱為該方程組稱為直線直線 l

40、的參數(shù)方程的參數(shù)方程，t 叫做參數(shù)叫做參數(shù). 解解 取取00,x 代入一般方程，得代入一般方程，得 40,29,yzyz 解方程組，求得解方程組，求得001,4yz，則點(diǎn)，則點(diǎn)(0,1,4)在直線在直線 l 上上,因因?yàn)橹本€與兩個(gè)平面的法向量為直線與兩個(gè)平面的法向量12(2, 4,1),(3, 1, 2) nn都垂直都垂直,故向量積故向量積12nn與直線與直線 l 平行平行,它是直線它是直線 l 的一個(gè)的一個(gè)方向向量方向向量,而而 122419710312ijknnijk 例例 5 把直線把直線 l 的一般方程的一般方程 240,3290 xyzxyz化為對(duì)稱式方程和參數(shù)方程化為對(duì)稱式方程和參

41、數(shù)方程. 所以所以,直線直線 l 的對(duì)稱式方程為的對(duì)稱式方程為 14,9710 xyz 參數(shù)方程為參數(shù)方程為 9 ,1 7 ,4 10 .xtytzt 例例 6 求通過(guò)點(diǎn)求通過(guò)點(diǎn)( 3,2,5),且與兩個(gè)平面且與兩個(gè)平面3xz和和251xyz都平行的直線方程都平行的直線方程. 解解 直直線線與與兩兩平平面面的的法法向向量量1(1,0,1),n2(2, 1, 5) n都都垂垂直直,則則向向量量積積12nn與與直直線線平平行行,它它是是直直線線的的方方向向向向量量,因因?yàn)闉?121017215 ijknnijk 因因此此,所所求求直直線線的的方方程程為為, 325,171xyz 一一般般,若若直直

42、線線與與兩兩個(gè)個(gè)向向量量a和和b都都垂垂直直,則則向向量量積積 ab是是直直線線的的一一個(gè)個(gè)方方向向向向量量. 四、平面與直線間的夾角四、平面與直線間的夾角 1.平面的夾角平面的夾角 兩平面法向量的夾角中的銳角兩平面法向量的夾角中的銳角,稱稱為為兩平面的夾角兩平面的夾角. 設(shè)平面設(shè)平面1和和2的方程依次為的方程依次為 11110AxB yC zD和和22220A xB yC zD 則平面夾角的余弦為則平面夾角的余弦為 121212coscos(,)n nn nn n 121212222222111222A AB BC CABCABC 3.直直線線與與直直線線的的夾夾角角 兩兩直直線線方方向向向

43、向量量夾夾角角中中的的銳銳角角稱稱為為兩兩直直線線的的夾夾角角. 設(shè)設(shè)直直線線 1l與與 2l的的方方向向向向量量依依次次為為1111(,)m n ps和和222(,)m np2s,則則直直線線的的夾夾角角余余弦弦為為 12121212222222111222coscos( ,)m mn np pmnpmnps s 2.平面平行、垂直的充要條件平面平行、垂直的充要條件 (1)平面平面1和和2平行的充分必要條件為法向量平行，平行的充分必要條件為法向量平行，即有即有 111222ABCABC. (2)平面平面1和和2垂直的充分必要條件為法向量垂直，垂直的充分必要條件為法向量垂直，即有即有 1212

44、120A AB BC C 4.兩直線平行、垂直的充要條件兩直線平行、垂直的充要條件 (1) 兩直線兩直線 1l和和 2l平行的充分必要條件是方向向量平行的充分必要條件是方向向量平行，即有平行，即有 111222mnpmnp, (2) 兩直線兩直線 1l和和 2l垂直的充分必要條件是方向向量垂直的充分必要條件是方向向量垂直，即有垂直，即有 1212120m mn np p 圖圖7-22lnl1 5. 直線與平面的夾角直線與平面的夾角 當(dāng)直線當(dāng)直線 l 和平面和平面 不垂直時(shí)，直線不垂直時(shí)，直線 l 與它在平面與它在平面 的投影直線的投影直線 1l的夾角的銳角的夾角的銳角 (圖圖 7-22)， 稱

45、為直線稱為直線 l 與平面與平面 的夾角的夾角. 當(dāng)直線當(dāng)直線 l 和平面和平面 垂直時(shí)垂直時(shí),規(guī)定規(guī)定2. 設(shè)直線的方向向量設(shè)直線的方向向量( , , )m n ps,平面平面 的法向量的法向量( , ,)A B Cn,則直線則直線 l 與平面與平面 的夾角的正弦為的夾角的正弦為 222222sincos( , )AmBnCpABCmnps ns ns n 注注 所謂直線所謂直線l在平面在平面 上的投影直線上的投影直線 1l,是過(guò)直線是過(guò)直線l且垂且垂直于直于 的平面的平面 1的交線的交線. 例例 7 求兩平面求兩平面260 xyz和和250 xyz的夾角的夾角. 解解 因?yàn)橐驗(yàn)?22222

46、21 2( 1) 12 11cos21( 1)2211 所以?shī)A角所以?shī)A角3. 解解 過(guò)直線過(guò)直線 l 作平面作平面1與平面與平面 垂直垂直,則直線則直線 l 的方向向的方向向量量(2, 1,2)s及平面及平面 的法向量的法向量(2, 1,0)n都與平面都與平面1平平行行,故向故向量積量積sn是平面是平面1的法向量的法向量,因?yàn)橐驗(yàn)?21224210ijksnij 又直線又直線 l 上的點(diǎn)上的點(diǎn)(1, 1,0)在平面在平面1上上,于是平面于是平面1的方程為的方程為 2(1)4(1)0 xy 即即 210 xy 所以投影直線方程為所以投影直線方程為210,20,xyxy 例例 8 求直線求直線11

47、:212xyzl在平面在平面:20 xy的的投影直線方程投影直線方程. 曲面與曲線曲面與曲線 一、一、幾種常見(jiàn)的曲面及其方程幾種常見(jiàn)的曲面及其方程 1. 球面球面 空間一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為定值，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為空間一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為定值，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為球球面面，定值叫做，定值叫做半徑半徑，定點(diǎn)，定點(diǎn)叫叫做做球心球心. 球心為球心為0000(,)Mxy z，半徑為，半徑為 R 的球面方程為的球面方程為 2222000()()()xxyyzzR （此方程曲面兩點(diǎn)距離公式易推得）特別地，球心在原（此方程曲面兩點(diǎn)距離公式易推得）特別地，球心在原點(diǎn)點(diǎn)(0,0,0)O，半徑，半徑為為 R 的球面方程為的球面方

48、程為 2222xyzR 例例 1 1 方程方程22242210 xyzxyz 表示怎樣表示怎樣的曲面？的曲面？ 解解 通過(guò)配方，方程寫成通過(guò)配方，方程寫成 222(2)(1)(1)5xyz 所以，它表示從點(diǎn)所以，它表示從點(diǎn)(2, 1,1)為球心，半徑為為球心，半徑為5的球面的球面. 2.柱面柱面 一動(dòng)直線一動(dòng)直線 L 沿曲線沿曲線 C 移動(dòng)，且始終與定移動(dòng)，且始終與定直線直線 l 平行，動(dòng)直線的軌跡稱為柱面平行，動(dòng)直線的軌跡稱為柱面, 定曲線定曲線 C 稱為柱稱為柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 L 稱為柱面的母線稱為柱面的母線. 現(xiàn)在討論母線平行于現(xiàn)在討論母線平行于 z 軸， 準(zhǔn)線是軸，

49、準(zhǔn)線是 xOy面上的曲線面上的曲線C： ( , )00F x yz 的柱面方程的柱面方程. 設(shè)設(shè)( , , )M x y z是是柱柱面面上上任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)，過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn) M 作作與與 z 軸軸平平行行的的直直線線，交交準(zhǔn)準(zhǔn)線線 C 于于點(diǎn)點(diǎn)1M（圖圖 7-24）.顯顯然然，點(diǎn)點(diǎn)1M和和點(diǎn)點(diǎn)M 有有相相同同的的橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)及及縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)，由由于于點(diǎn)點(diǎn)1( , ,0)M x y在在準(zhǔn)準(zhǔn)線線 C上上，它它的的坐坐標(biāo)標(biāo)滿滿足足準(zhǔn)準(zhǔn)線線 C 的的方方程程( , )0F x y ，而而方方程程中中不不出出現(xiàn)現(xiàn)z， 所所以以點(diǎn)點(diǎn)( , , )M x y z， 也也滿滿足足此此方方程程， 即即方方程程( ,

50、)0F x y 是是母母線線平平行行于于 z 軸軸，準(zhǔn)準(zhǔn)線線是是 曲曲線線 C 的的柱柱面面方方程程. y圖圖7-24zxOM(x,y.z)F(x,y)=0DM1(x,y,0)類類似似地地，母母線線與與 x 軸軸平平行行，準(zhǔn)準(zhǔn)線線 是是yOz面面上上的的曲曲線線 C ( , )00G y zx 的的柱柱面面方方程程為為( , )0G y z ； 母母線線與與 y 軸軸平平行行，準(zhǔn)準(zhǔn)線線是是zOx面面 上上的的曲曲線線 C( , )00H x zy的的柱柱面面方方程程 為為( , )0H x z . 例如，母線與例如，母線與 z 軸平行，準(zhǔn)線為軸平行，準(zhǔn)線為xOy面上的圓周面上的圓周222xya

51、的的圓柱面圓柱面（圖（圖 7-25）的方程為）的方程為 222xya 母線與母線與 y 軸平行，準(zhǔn)線是軸平行，準(zhǔn)線是zOx面的拋物線面的拋物線21zx 的的拋拋物柱面物柱面（圖（圖 7-26）的方程為）的方程為 21zx zxyOa圖圖7-25Ozyx圖圖7-26xyzO圖圖7-27MM1所以所以( , , )M x y z的坐標(biāo)滿足方程的坐標(biāo)滿足方程 22(, )0fxyz 它就是曲面它就是曲面 S 的方程，類似地，旋轉(zhuǎn)軸為的方程，類似地，旋轉(zhuǎn)軸為 y 軸，準(zhǔn)線仍軸，準(zhǔn)線仍是曲線是曲線 C 的旋轉(zhuǎn)面方程為的旋轉(zhuǎn)面方程為 22( ,)0f yxz 用同樣的方法，可推得，準(zhǔn)線是用同樣的方法，可推

52、得，準(zhǔn)線是xOy面上的曲線：面上的曲線： ( , )00g x yz旋轉(zhuǎn)軸分別是旋轉(zhuǎn)軸分別是 x軸和軸和 y軸的旋轉(zhuǎn)曲面方程分別軸的旋轉(zhuǎn)曲面方程分別是是22( ,)0g xyz和和22(, )0gxzy;準(zhǔn)線是準(zhǔn)線是zOx面面上的曲線：上的曲線：( , )0,0,h x zy旋轉(zhuǎn)軸分別是旋轉(zhuǎn)軸分別是 x 軸和軸和 z 軸的旋轉(zhuǎn)曲軸的旋轉(zhuǎn)曲面方程分別是面方程分別是22( ,)0h xyz和和22(, )0hxyz. 例例 2 2 將將yOz面上的橢圓面上的橢圓22221yzab分別繞分別繞 z 軸和軸和 y 軸軸旋轉(zhuǎn)，求所形成的旋轉(zhuǎn)曲面方程旋轉(zhuǎn)，求所形成的旋轉(zhuǎn)曲面方程. 解解 繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)而

53、形成的旋轉(zhuǎn)曲面（圖軸旋轉(zhuǎn)而形成的旋轉(zhuǎn)曲面（圖 7-28）方程）方程為為 222221xyzab， 即即 2222221xyzaab. 繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而形成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為軸旋轉(zhuǎn)而形成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為 222221yxzab， 即即 2222221xyzbab. yxzaab圖圖7-28xyz圖圖7-29zyxO圖圖7-30二、二、 二次曲面二次曲面 三元二次方程表示的曲面稱為三元二次方程表示的曲面稱為二次曲面二次曲面.給定一個(gè)給定一個(gè)三元二次方程，要研究表示的二次曲面的形狀和特征，三元二次方程，要研究表示的二次曲面的形狀和特征，可采用可采用“截痕法截痕法”, ,即用平行于坐標(biāo)面的截面去截曲面

54、，即用平行于坐標(biāo)面的截面去截曲面，考察它們的交線（叫做截痕）的形狀，然后綜合分析考察它們的交線（叫做截痕）的形狀，然后綜合分析. 1.1.球面球面 方程方程2222221xyzabc表示的曲面稱為表示的曲面稱為橢球面橢球面., ,a b c叫做叫做橢球面的半軸，橢球面的半軸，原點(diǎn)叫做原點(diǎn)叫做橢球面的中心橢球面的中心.當(dāng)當(dāng)abc時(shí)，方程變?yōu)闀r(shí)，方程變?yōu)?2222xyza， 它是球心在原點(diǎn)，半徑為它是球心在原點(diǎn)，半徑為 a 的球面方程的球面方程. 橢球面與三個(gè)坐標(biāo)面的交線：橢球面與三個(gè)坐標(biāo)面的交線： 222210 xyabz ，222210 xzacy，222210yzbcx 分別是三個(gè)坐標(biāo)面上的

55、橢圓分別是三個(gè)坐標(biāo)面上的橢圓. 用平行于用平行于xOy的平面的平面()zh hc去截橢球面，交線為去截橢球面，交線為 2222221xyhabczh ， 它是它是zh的一個(gè)橢圓的一個(gè)橢圓.當(dāng)當(dāng)h由由 0 逐漸增大到逐漸增大到 c 時(shí)， 橢圓逐漸時(shí)， 橢圓逐漸變小，最后變成一點(diǎn)，這些橢圓形成了球面變小，最后變成一點(diǎn)，這些橢圓形成了球面. 用平行于用平行于yOz的平面的平面()xd da或平行于或平行于zOx的平的平面面()yk kb分別去截橢球面時(shí)，也有類似的結(jié)果分別去截橢球面時(shí)，也有類似的結(jié)果.橢球橢球面的形狀如圖面的形狀如圖 7-31 所示所示. yxz圖圖7-31hO2 2. .橢橢圓圓拋

56、拋物物面面 方方程程 22( ,)22xyz p qpq同號(hào) 所所表表示示的的曲曲面面稱稱為為橢橢圓圓拋拋物物面面.0,0pq時(shí)，z0，它它在在xOy面面上上方方，0,00,pqz時(shí)，它它在在xOy面面下下方方，原原點(diǎn)點(diǎn)是是橢橢圓圓拋拋物物面面似似的的最最高高或或最最低低點(diǎn)點(diǎn)，稱稱為為頂頂點(diǎn)點(diǎn). 設(shè)設(shè)0,0pq， 用平行于， 用平行于xOy面的平面面的平面(0)zh h去去截橢圓拋物面，交線為截橢圓拋物面，交線為 22122xyphqhzh， 它是平面它是平面zh上的一個(gè)橢圓上的一個(gè)橢圓.當(dāng)當(dāng) h 逐漸由小變大時(shí)， 橢圓逐漸由小變大時(shí)， 橢圓也逐漸有小變大，這些橢圓就形成了橢圓拋物面也逐漸有小

57、變大，這些橢圓就形成了橢圓拋物面. 橢圓拋物面與橢圓拋物面與yOz面及面及zOx面的交線分別為面的交線分別為 220yqzx ， 220 xpzy 旋轉(zhuǎn)它們分別是旋轉(zhuǎn)它們分別是yOz面及面及zOx面的拋物線面的拋物線. 用平行于用平行于zOx的平面的平面yk去截橢圓拋物面，交線為去截橢圓拋物面，交線為 222 ()2kxp zqyk 它是平面它是平面yk上的一條拋物線上的一條拋物線.同樣，用平行于同樣，用平行于yOz面面xd去截橢圓拋物面， 交線也是拋物線的圖形， 如圖去截橢圓拋物面， 交線也是拋物線的圖形， 如圖 7-32 和圖和圖 7-33 所示所示. p0,q0,q0的情形的情形圖圖7-

58、32yOxz三、空間曲線三、空間曲線 1.曲線方程曲線方程 如果曲線如果曲線 的方程是方程組的方程是方程組 ( , , )0,( , , )0,F x y zG x y z 此方程組成為此方程組成為曲線曲線 的一般方程的一般方程. 如果曲線如果曲線 上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn)( , , )M x y z的坐標(biāo)都用參數(shù)的坐標(biāo)都用參數(shù) t表示，表示， ( ),( ),( ),xx tyy tzz t 此方程組稱為此方程組稱為曲線曲線 的參數(shù)方程的參數(shù)方程. 例例 5 5 方程組方程組22225,3,xyzz 表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？ 解解 因?yàn)橐驗(yàn)?2225xyz表示球心在原點(diǎn)，半徑為表示球心在原點(diǎn)，半徑為5 的球面，方程的球面，方程3z 表示通過(guò)點(diǎn)表示通過(guò)點(diǎn)(0,0,3)，且與，且與 xOy面平面平行的平面， 所以方程組表示球面與平面