1、3232點群點群推導(dǎo)推導(dǎo)1 具有不多于一個高次軸的對稱組合2 具有一個以上高次軸的對稱組合3 具有一個以上高次軸的對稱軸與對稱面組合3232點群點群 在有限數(shù)目的晶體對稱元素間存在著嚴格的組合規(guī)律，這將預(yù)示著晶體對稱元素的可能組合數(shù)目也是有限的。 研究晶體多面體中晶面之間的關(guān)系，只需要研究在投影球面研究晶體多面體中晶面之間的關(guān)系，只需要研究在投影球面上一群點內(nèi)部點與點之間的關(guān)系就足夠了上一群點內(nèi)部點與點之間的關(guān)系就足夠了。因此，幾何晶體學(xué)中每一個對稱類型可以由具有特定對稱關(guān)系的一群點所代替，這一群點充分表達了相應(yīng)的對稱類型的對稱特征。從這個意義上，我們更習(xí)慣于將32個對稱類型稱為32個點群。

2、上一章我們討論了有關(guān)對稱元素組合的規(guī)律，這一章我們討論晶體中一切可能點群的推導(dǎo)。10 unique 3-D symmetry elements: And possible combinations of these elementsTotally, point groups6, 4, 3,2,1 6; 4, 3, , 2 , 1mi3232點群點群晶體形態(tài)中，全部對稱要素的組合，稱為該晶體的對稱類型 或 點群。一般來說，當強調(diào)對稱要素時稱對稱類型，強調(diào)對稱操作時稱點群。因為對稱類型中所有對稱操作可構(gòu)成一個群，符合數(shù)學(xué)中群的概念，并且操作時有一點不動，所以稱為點群(與空間群對應(yīng))。（點群中，每一

3、個操作可作為一個群元素，操作的復(fù)合就相當于群元素與群元素的乘積，這樣就可對點群中的操作進行運算）3232點群點群群是一組元素的集合,這些元素滿足4個條件: (1)封閉性: a,b,c,d. ab=c, ac=b, bd=a. (2)結(jié)合律: (ab)c=a(bc) (3)單位元: ea=ae=a (4)逆元素: a的逆元素a-1, aa-1=e例如：所有的整數(shù)構(gòu)成一個群-3,-2,-1,0,1,2,3。所對應(yīng)的乘法為加和.對應(yīng)對應(yīng)到點群中，一個群元素就是一個對稱操作。所對應(yīng)的乘法到點群中，一個群元素就是一個對稱操作。所對應(yīng)的乘法是操作的復(fù)合是操作的復(fù)合. .例: 點群2/m (L2PC), 里

4、面有4個群元素: 驗證封閉性:2/ 2, , 1, 1mm21, 2 1, 12mmm= = =因此A A類：只具有一個對稱元素的組合類：只具有一個對稱元素的組合(10(10個個) )極射赤平投影圖請參考第四章B B類：一個類：一個2 2次軸與次軸與A A類的對稱元素垂直相交（類的對稱元素垂直相交（8 8個）個）B B類對稱類型各點群的極射赤平投影圖（類對稱類型各點群的極射赤平投影圖（8 8個）個）點群的推導(dǎo)點群的推導(dǎo)D D類：一個對稱面與類：一個對稱面與A A類的對稱元素垂直相交（類的對稱元素垂直相交（2 2個）個）D D類對稱類型各點群的極射赤平投影圖（類對稱類型各點群的極射赤平投影圖（2

5、 2個）個）E E類：兩個對稱面（一個垂直，一個平行）與類：兩個對稱面（一個垂直，一個平行）與A A類的對稱元類的對稱元素垂直相交（素垂直相交（3 3個）個）F F類：一個以上高次軸的組合（類：一個以上高次軸的組合（2 2個）個）按照晶體對稱性原理，當體系內(nèi)部有2個以上高次軸時，為了滿足組合的封閉性（有限性），（即必須讓對稱軸的相交角度為一些特殊值，使得派生出的新對稱軸的數(shù)目是有限的），對稱軸的數(shù)目和相交夾角就具有一定的限制。可能存在的高次軸的組合只有下述2種： 1. L1. L4 4、L L3 3、L L2 2 2. L 2. L3 3、L L3 3、L L2 24次軸與3次軸夾角54448

6、，4次軸與2次軸夾角45，3次軸與2次軸的夾角351552,這種組合的最終對稱元素為3L44L36L2，點群符號為43；由于4個三次軸的存在，此點群必須處于正交坐標系中，3個四次軸與坐標軸重合。點群點群4343立體圖立體圖一個一個4 4次軸、一個次軸、一個3 3次軸和一個次軸和一個2 2次軸的組合次軸的組合點群的推導(dǎo)點群的推導(dǎo)2. 2. 兩個兩個3 3次軸和一個次軸和一個2 2次軸的組合次軸的組合三次軸和三次軸夾角703144，三次軸與2次軸夾角54448，這種組合的最終具有對稱元素為3L24L3，點群國際符號為23；（注意和點群32的區(qū)別）由于4個三次軸的存在，此點群必須處于正交坐標系中，3

7、個二次軸與坐標軸重合。點群點群2323空間立體圖空間立體圖兩個兩個3 3次軸和一個次軸和一個2 2次軸的組合次軸的組合G G類：一個以上高次軸與對稱面的組合（類：一個以上高次軸與對稱面的組合（3 3個）個）1.對稱面和點群43的對稱軸的組合： 對稱面與同一個大圓上2個四次軸和2個二次軸同時平行相交，或者與2個三次軸、一個四次軸及1個二次軸同時平行相交，組合結(jié)果都派生出9個對稱面；mm3這種組合的最終對稱元素為3L44L36L29PC，點群符號為點群 空間立體圖mm3 （1）點群23中兩個2次軸與一個對稱面平行相交：其結(jié)果是派生出3個對稱面，組合的對稱元素為3L24L33PC，點群符號為：m3點群點群 空間立體圖空間立體圖3m（2）點群23中2個三次軸、1個二次軸與一個對稱面平行相交：結(jié)果是派生出6個對稱