1、 人教版人教版選修選修11 3.1 變化率與導(dǎo)數(shù)變化率與導(dǎo)數(shù)3.1.1 變化率問(wèn)題變化率問(wèn)題 一、已知物體運(yùn)動(dòng)的路程作為時(shí)間的函數(shù)，一、已知物體運(yùn)動(dòng)的路程作為時(shí)間的函數(shù)，求物體在任意時(shí)刻的速度與加速度等；求物體在任意時(shí)刻的速度與加速度等； 二、求曲線的切線二、求曲線的切線; ; 三、求已知函數(shù)的最大值與最小值三、求已知函數(shù)的最大值與最小值; ; 四、求長(zhǎng)度、面積、體積和重心等。四、求長(zhǎng)度、面積、體積和重心等。 導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一它是導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大小值等研究函數(shù)增減、變化快慢、最大小值等問(wèn)題最一般、最有效的工具。問(wèn)題最一般、最有效的工具。研究某

2、個(gè)變量相對(duì)于另一個(gè)變量研究某個(gè)變量相對(duì)于另一個(gè)變量變化的快慢程度變化的快慢程度變化率問(wèn)題：變化率問(wèn)題： 氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間的函數(shù)關(guān)系是：34( )3V rr如果將半徑如果將半徑r r表示為體積表示為體積V V的函數(shù)的函數(shù), ,那么那么33( )4Vr Vl當(dāng)當(dāng)V V從從0 0增加到增加到1 1時(shí)時(shí), ,氣球半徑增加了氣球半徑增加了l 氣球的平均膨脹率為氣球的平均膨脹率為l當(dāng)當(dāng)V V從從1 1增加到增加到2 2時(shí)時(shí), ,氣球半徑增加了氣球半徑增加了l 氣球的平均膨脹率為氣球的平均膨脹率為(1)(0)0.62()rrdm(1)(0)(/)100.62rrdm L(2

3、)(1)0.16()rrdm(2)(1)(/)210.16rrdm L顯然顯然0.620.160.620.16 當(dāng)空氣容量從當(dāng)空氣容量從V1增加到增加到V2時(shí)時(shí),氣球的平均氣球的平均膨脹率是多少膨脹率是多少?2121()()r Vr VVV問(wèn)題問(wèn)題2 高臺(tái)跳水問(wèn)題高臺(tái)跳水問(wèn)題 在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時(shí)間t單位：秒）存在函數(shù)關(guān)系： h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用運(yùn)動(dòng)員在某些時(shí)間段內(nèi)的平均速度粗略地描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)?htoh(t)=-4.9t2+6.5t+1000.52:ttv 和1時(shí)的平均速度6 5()(0 )6 54 9006 54 9

4、04 9hhtv時(shí) ：平均變化率定義平均變化率定義:2.若設(shè)x=x2-x1, f=f(x2)-f(x1)（即y） 則平均變化率為121)()f xxx2f(x 1.上述兩個(gè)問(wèn)題中的變化率可用式子上述兩個(gè)問(wèn)題中的變化率可用式子 來(lái)表示來(lái)表示我們稱(chēng)之為函數(shù)我們稱(chēng)之為函數(shù)f(x)f(x)從從x1x1到到x2x2的平均變化率的平均變化率121)()f xfxxx2f(x 考慮? 觀察函數(shù)觀察函數(shù)f(x)f(x)的圖象的圖象平均變化率平均變化率 表示什么表示什么? ?121)()f xyxxx2f(xOABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y 1 、已知函

5、數(shù)f(x)=-x2+x的圖象上的一點(diǎn)A(-1,-2)及臨近一點(diǎn)B(-1+x,-2+y),則y/x= A 3 B 3x-(x)2 C 3-(x)2 D 3-x D2、求、求y=x2在在x=x0附近的平均速度。附近的平均速度。 2x0+x 3 .t2質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律s = t+ 3 , 則在時(shí)間( 3 , 3 +t ) 中相應(yīng)的平均速度為( )9A . 6 +t B . 6 +t +C . 3 +t D . 9 +tA4.4.物體按照物體按照s(t)=3t2+t+4s(t)=3t2+t+4的規(guī)律作直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律作直線運(yùn)動(dòng), ,求在求在4s4s附附近的平均變化率近的平均變化率. . 25+3t25+3t

6、小結(jié)：小結(jié)： 1.函數(shù)的平均變化率121)()f xfxxx2f(x2.2.求函數(shù)的平均變化率的步驟求函數(shù)的平均變化率的步驟: :(1)(1)求函數(shù)的增量：求函數(shù)的增量：f=y=f(x2)-f(x1)f=y=f(x2)-f(x1)f fx1x1xx）f(x1);f(x1);(2)(2)計(jì)算平均變化率計(jì)算平均變化率 3.函數(shù)的平均變化率的幾何意義： 表示函數(shù)圖象上兩點(diǎn)A(x1,f(x1), B(x2,f(x2)連線割線的斜率。121)()fxfxxx2f(x2121ssvttst12,t t4.4.函數(shù)的平均變化率的物理意義：函數(shù)的平均變化率的物理意義：若若s= s(t),s= s(t),則平均變化率表示物體運(yùn)動(dòng)時(shí)在時(shí)間段則平均變化率表示物體運(yùn)動(dòng)時(shí)在時(shí)間段 中的平均速度中的平均速度1.1.過(guò)曲線過(guò)曲線y=f(x)=x3y=f(x)=x3上兩點(diǎn)上兩點(diǎn)P P1 1，1 1和和Q (1+x,1+y)Q (1+x,1+y)作曲線的割線，求出當(dāng)作曲線的割線，求出當(dāng)x=0.1x=0.1時(shí)割線的斜率時(shí)割線的斜率. . 3322(1)13 3()3 3 0.1