1、聽課正文 第 45 講 空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系課前雙基鞏1.空間向量及其有關(guān)概念名稱語言描述共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線(平行向量)共面向量平行于的向量共線向量定理對空間任意兩個向量a,b(b工 0),a/b? 存在 入eR 使共面向量右兩個向量a,b不共線，則向量p與向量a,b共面？存在唯一的有序頭定理數(shù)對(x,y)，使p=xa+yb(1)疋理:如果一個向量a,b,c不共面，那么對空間任一向量p,存在有序頭空間向量數(shù)組x,y,z,使得p=.基本定理(2)推論:設(shè)O,A,B,C是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)P都存在唯一的二個有序?qū)崝?shù)x,y,z,使=x +y +z，且x+y+

2、z=2.兩個向量的數(shù)量積(1)ab=_ .(2)a丄b? _(a,b為非零向量).|a|2=_,|a|=3.向量的坐標(biāo)運(yùn)算a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)向量和a+b=向量差a-b =數(shù)量積a-b=共線a/b?(入eR” 0)垂直a丄b?夾角公式cos=-。對點(diǎn)演練題組一常識題1.教材改編已知向量a=(2,-3,5),b= 且a/b,則入等于.2._ 教材改編若直線I的方向向量為a=(1,0,2),平面a的法向量為n=(-2,0,-4),則I與a的位 置關(guān)系為.3.教材改編如圖 7-45-1 所示,在平行六面體ABCD-AiBiCiDi中M為AiCi與BiDi的交點(diǎn).若=a,

3、=b,=c,貝U可用a,b,c表示為_.4._ 教材改編已知a=(2,-i,3),b=(-i,4,-2),c=(7,5,若a,b,c三向 量共面，則實(shí)數(shù) 入等 于_.題組二 常錯題索引：忽略向量共線與共面的區(qū)別；使用向量的數(shù)量積公式出錯.5給出下列命題：1若向量a,b共線則向量a,b所在的直線平行；2若三個向量a,b,c兩兩共面，則向量a,b,c共面；3已知空間的三個向量a,b,c,則對于空間的任意一個向量p,總存在實(shí)數(shù)x,y,z使得p=xa+yb+zc;4若A,B,C,D是空間任意四點(diǎn) 則有+=0.其中為真命題的是_6._ 教材改編與向量a=(-3,-4,5)共線的單位向量是 _.7._ 教

4、材改編 已知向量a=(i ,2,-2),b=(0,2,4),則a,b夾角的余弦值為 _.圖 7-45-28.教材改編如圖 7-45-2 所示，在大小為 45。的二面角A-EF-D中,四邊形ABFE,CDEF都是邊長為 i 的正方形 則B,D兩點(diǎn)間的距離是 _. 課皇考昶籠I-理咧號解法總堵歸*型+O探究點(diǎn)一 空間向量的線性運(yùn)算例 1 如圖 7-45-3 所示，在平行六面體ABCD-AiBiCiDi中，設(shè)=a,=b,是AAi,BC,CiDi的中點(diǎn) 試用a,b,c表示以下各向量=c,M,N,P分別圖 7-45-3(1)；(2)；(3)+總結(jié)反思進(jìn)行向量(2)正確運(yùn)用向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意

5、義(3)平面向量的三角形法則、平行四邊形法則在空間中仍然成立/、厲/變式題 如圖 7-45-4,在長方體ABCD-AiBiCiDi中,0為AC的中點(diǎn).(i)化簡：-_-_=_.R圖 7-45-4圖 7-45-6o 探究點(diǎn)二共線、共面向量定理的應(yīng)用例 2 如圖 7-45-5,已知E,F,G,H分別是空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)，用向量 方法證明：(1)E,F,G,H四點(diǎn)共面；(2)BD/ 平面EFGH.用表示，則圖 7-45-5圖 7-45-8=k=k(0kw1),則向量是否與向量共面？總結(jié)反思證明點(diǎn)共面問題可轉(zhuǎn)化為證明向量共面問題，如要證明P,A,B,C四點(diǎn)共面，只要能證

6、明=x +y即可.對空間任意一點(diǎn)0,若=x +y +z(x+y+z=1),則PA,B,C四點(diǎn)共面.變式題 如圖 7-45-6 所示，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)M,N分別在AC1和BC上且滿足o探究點(diǎn)三 利用空間向量證明平行或垂直例 3 如圖 7-45-7,在棱長為a的正方體ABCD-AiBiCiDi中,G為厶BCiD的重心.(1)試證Ai,G,C三點(diǎn)共線;試證AiC丄平面BCiD;(3)求點(diǎn)C到平面BCiD的距離.圖 7-45-7總結(jié)反思(1)選取空間不共面的三個向量為基底，用基底表示已知條件和所需解決問題的圖 8-45-8過程就是將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題的過程(2) 通過計(jì)算向量的數(shù)量積為0,可證明垂直問題；(3) 要證線面平行，證明該直線的方向向量