1、 在在1.1節(jié)的例節(jié)的例9中我們看到中我們看到,用分步乘用分步乘法計數(shù)原理解決這個問題時法計數(shù)原理解決這個問題時,因做了因做了一些重復性工作而顯得繁瑣一些重復性工作而顯得繁瑣,能否對能否對這一類計數(shù)問題給出一種簡捷的方這一類計數(shù)問題給出一種簡捷的方法呢法呢?探究：探究：問題問題1：從甲、乙、丙從甲、乙、丙3名同學中選出名同學中選出2名參加一項活名參加一項活動，其中動，其中1名同學參加上午的活動，另名同學參加下名同學參加上午的活動，另名同學參加下午的活動，有多少種不同的選法？午的活動，有多少種不同的選法？問題問題2：從從1，2，3，4這這4個數(shù)中，每次取出個數(shù)中，每次取出3個排成個排成一個三位數(shù)

2、，共可得到多少個不同的三位數(shù)？一個三位數(shù)，共可得到多少個不同的三位數(shù)？上面兩個問題有什么共同特征？可以用上面兩個問題有什么共同特征？可以用怎樣的數(shù)學模型來刻畫？怎樣的數(shù)學模型來刻畫？探究：探究：問題問題1：從甲、乙、丙從甲、乙、丙3名同學中選出名同學中選出2名參加一項活名參加一項活動，其中動，其中1名同學參加上午的活動，另名同學參加下名同學參加上午的活動，另名同學參加下午的活動，有多少種不同的選法？午的活動，有多少種不同的選法？分析：分析：把題目轉(zhuǎn)化為從甲、乙、丙把題目轉(zhuǎn)化為從甲、乙、丙3名同學中選名同學中選2名，名，按照參加上午的活動在前，參加下午的活動在后的按照參加上午的活動在前，參加下午

3、的活動在后的順序排列，求一共有多少種不同的排法？順序排列，求一共有多少種不同的排法？ 上午上午下午下午相應的排法相應的排法甲乙丙乙甲丙丙甲乙甲丙甲乙乙甲乙丙丙甲丙乙第一步：確定參加上午活動的同學即從第一步：確定參加上午活動的同學即從3 3名中任名中任 選選1 1名，有名，有3 3種選法種選法. .第二步：確定參加下午活動的同學，有第二步：確定參加下午活動的同學，有2 2種方法種方法根據(jù)分步計數(shù)原理：根據(jù)分步計數(shù)原理：3 32=6 2=6 即共即共6 6種方法。種方法。把上面問題中被取的對象叫做把上面問題中被取的對象叫做元素元素,于是問于是問題就可以敘述為：題就可以敘述為： 從從3個不同的元素個

4、不同的元素a,b,c中任取中任取2個，然后按照一定個，然后按照一定的順序排成一列，一共有多少種不同的排列方法？的順序排成一列，一共有多少種不同的排列方法？ab, ac, ba, bc, ca, cb問題問題2：從從1，2，3，4這這4個數(shù)中，每次取出個數(shù)中，每次取出3個排成個排成一個三位數(shù)，共可得到多少個不同的三位數(shù)？一個三位數(shù)，共可得到多少個不同的三位數(shù)？1234443322444333111244431112224333111222 從從4個不同的元素個不同的元素a,b,c,d 中任取中任取3個，然后按照一定的順個，然后按照一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法？序排成一列，共有多少

5、種不同的排列方法？abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc;cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.有此可寫出所有的三位數(shù)：有此可寫出所有的三位數(shù)：123，124，132，134，142，143; 213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342; 412，413，421，423，431，432?；靖拍罨靖拍?、排列：、排列：一般地，從一般地，從n個不同中取出個不同中取出m (m n)個元素，個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從按

6、照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元個不同元素中取出素中取出m個元素的一個排列。個元素的一個排列。說明：說明：1 1、元素不能重復。、元素不能重復。n n個中不能重復，個中不能重復，m m個中也不能重復。個中也不能重復。2 2、“按一定順序按一定順序”就是與位置有關，這是判斷一個問題是就是與位置有關，這是判斷一個問題是否是排列問題的關鍵。否是排列問題的關鍵。3 3、兩個排列相同，當且僅當這兩個排列中的元素完全相同，兩個排列相同，當且僅當這兩個排列中的元素完全相同，而且元素的排列順序也完全相同。而且元素的排列順序也完全相同。4 4、m mn n時的排列叫選排列，時的排列叫選排列，m mn n時

7、的排列叫全排列。時的排列叫全排列。5 5、為了使寫出的所有排列情況既不重復也不遺漏，最好采用、為了使寫出的所有排列情況既不重復也不遺漏，最好采用“樹形圖樹形圖”。例例1 1、下列問題中哪些是排列問題？、下列問題中哪些是排列問題？（1 1）1010名學生中抽名學生中抽2 2名學生開會名學生開會（2 2）1010名學生中選名學生中選2 2名做正、副組長名做正、副組長（3 3）從）從2,3,5,7,112,3,5,7,11中任取兩個數(shù)相乘中任取兩個數(shù)相乘（4 4）從）從2,3,5,7,112,3,5,7,11中任取兩個數(shù)相除中任取兩個數(shù)相除（5 5）2020位同學互通一次電話位同學互通一次電話（6

8、6）2020位同學互通一封信位同學互通一封信（7 7）以圓上的）以圓上的1010個點為端點作弦個點為端點作弦（8 8）以圓上的）以圓上的1010個點中的某一點為起點，作過另一個點的個點中的某一點為起點，作過另一個點的射線射線（9 9）有）有1010個車站，共需要多少種車票？個車站，共需要多少種車票？（1010）有）有1010個車站，共需要多少種不同的票價？個車站，共需要多少種不同的票價？2、排列數(shù)：、排列數(shù)： 從從n n個不同的元素中取出個不同的元素中取出m(mn)m(mn)個元素個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從的所有排列的個數(shù)，叫做從n n個不同的元素中個不同的元素中取出取出m m個元素的排列

9、數(shù)。用符號個元素的排列數(shù)。用符號 表示。表示。mnA“排列排列”和和“排列數(shù)排列數(shù)”有什么區(qū)別和聯(lián)有什么區(qū)別和聯(lián)系？系？排列數(shù)，而不表示具體的排列。所有排列的個數(shù)，是一個數(shù)；mn“排列數(shù)”是指從 個不同元素中，任取個元素的mnA所以符號只表示nm“一個排列”是指：從個不同元素中，任取按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；個元素233 26A 問題中是求從個不同元素中取出個元素的問題中是求從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，記為排列數(shù)，記為 ,已經(jīng)算得已經(jīng)算得23A344 3 224A 問題問題2中是求從中是求從4個不同元素中取出個不同元素中取出3個元素的個元素的排列數(shù)，記為，已經(jīng)算出排列數(shù)，記為，已經(jīng)

10、算出34A探究：探究：從從n n個不同元素中取出個不同元素中取出2 2個元素的排列個元素的排列數(shù)數(shù) 是多少？是多少？2nA呢呢？mnA呢呢？3nA 第第1位位第第2位位第第3位位第第m位位n種種(n-1)種種(n-2)種種(n-m+1)種種2(1)nAn n3(1)(2)nAn nn(1)(2)(1)mnAn nnnm(1)(1)排列數(shù)公式（排列數(shù)公式（1 1）：）：)*,)(1() 2)(1(nmNnmmnnnnAmn當當m mn n時，時，123) 2)(1(nnnAnn正整數(shù)正整數(shù)1 1到到n n的連乘積，叫做的連乘積，叫做n n的階乘，用的階乘，用 表示。表示。! nn n個不同元素的

11、全排列公式：個不同元素的全排列公式：! nAnn(2)(2)排列數(shù)公式（排列數(shù)公式（2 2）：）：)!(!mnnAmn說明：說明：1 1、排列數(shù)、排列數(shù)公式公式的第一個常用來計算，第二個常用來證明。的第一個常用來計算，第二個常用來證明。為了使當為了使當m mn n時上面的公式也成立，規(guī)定：時上面的公式也成立，規(guī)定：1! 0 2 2、對于、對于 這個條件要留意，往往是解方程時的隱含條這個條件要留意，往往是解方程時的隱含條件。件。nm例例1 1、計算：、計算：（1 1）（2 2）（3 3）48A66A316A例例2 2、解方程：、解方程：232100 xxAA 例例3 3、求證：、求證：11mnm

12、nmnmAAA例例5 5、求、求 的值的值. .1432nnnAA17 16 155 4mnA 例例4 4若，則m ，n 1714 排列問題，是取出排列問題，是取出m m個元素后，還要按一個元素后，還要按一定的順序排成一列，取出同樣的定的順序排成一列，取出同樣的m m個元素，只個元素，只要要，就視為完成這件事的兩種，就視為完成這件事的兩種不同的方法（兩個不同的排列）不同的方法（兩個不同的排列） 由排列的定義可知，由排列的定義可知，也就是說與位置有關的問題才能歸結(jié)為排，也就是說與位置有關的問題才能歸結(jié)為排列問題當元素較少時，可以根據(jù)排列的意義列問題當元素較少時，可以根據(jù)排列的意義寫出所有的排列寫

13、出所有的排列 325454AA1計算：（1）12344444AAAA（2）課堂練習課堂練習2從4種蔬菜品種中選出3種，分別種植在不同土質(zhì)的3塊土地上進行試驗，有種不同的種植方法？4信號兵用3種不同顏色的旗子各一面，每次打出3面，最多能打出不同的信號有（ ）D.27種 C.6種 種 B.3 種1 .A3483443455452435 AA348643從參加乒乓球團體比賽的5名運動員中選出3名進行某場比賽，并排定他們的出場順序，有種不同的方法？64123423434444342414AAAA24602423434A6034535AC612333A 排列問題，是取出排列問題，是取出m m個元素后，還要按一個元素后，還要按一定的順序排成一列，取出同樣的定的順序排成一列，取出同樣的m m個元素，只個元素，只要要，就視為完成這件事的兩種，就視為完成這件事的兩種不同的方法（兩個不同的排列）不同的方法（兩個不同的排列） 由排列的定義可知，由排列的定義可知，也就是說與位置有關的問題才能歸